2023-2024学年人教A版数学选择性必修第二册同步练习 4.1 第2课时 数列的通项公式与递推公式（含解析）

第四章　4.1　第2课时数列的通项公式与递推公式
A　组·基础自测
一、选择题
1．已知数列{an}中，an＋1＝an＋2＋an，a1＝2，a2＝5，则a6＝( )
A．－3　　　　　　　　　 B．－4
C．－5 D．2
2．在数列{an}中，a1＝，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则a5等于( )
A．－ B．
C．－ D．
3．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－6n＋5，则该数列中最小项的序号是( )
A．3　　　 B．4　　　
C．5　　　 D．6
4．(多选题)下列叙述中，正确的是( )
A．通项公式为an＝2的数列是常数列
B．数列是摆动数列
C．数列是递增数列
D．若数列{an}是递增数列，则数列{an·an＋1}也是递增数列
5．数列{an}的构成法则如下：a1＝1，如果an－2为自然数且之前未出现过，则用递推公式an＋1＝an－2，否则用递推公式an＋1＝3an，则a6＝( )
A．－7 B．3
C．15 D．81
二、填空题
6．数列{an}满足an＝＋2(n≥2，n∈N*)，当a1＝1时，a4＝　.
7．对于正项数列{an}中，定义：Gn＝为数列{an}的“匀称值”已知数列{an}的“匀称值”为Gn＝n＋2，则该数列中的a10＝　.
8．已知数列{an}的通项公式an＝3n－1(n∈N*)，通过公式bn＝构造一个新数列{bn}，那么{bn}的前5项为　.
三、解答题
9．已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)判断数列{an}的单调性．
10．已知数列{an}满足a1＝1，其前n项和是Sn，对任意正整数n，Sn＝n2an，求此数列的通项公式．
B　组·素养提升
一、选择题
1．(多选题)如果{an}为递增数列，则{an}的通项公式可以为( )
A．an＝2n＋3 B．an＝－n2－3n＋1
C．an＝n D．an＝1＋log2n
2．若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则该数列的前2 021项的乘积是( )
A．－2　　　 B．－1　　　
C．2　　　 D．1
3．观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样10条直线相交，交点的个数最多的是( )
A．40 B．45
C．50 D．55
二、填空题
4．函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x1＝5，且对任意的正整数n均有xn＋1＝f(xn)，则x2 024＝___.
x 1 2 3 4 5
f(x) 5 1 3 4 2
5．若数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋13n，关于该数列，有以下四种说法：
(1)该数列有无限多个正数项．
(2)该数列有无限多个负数项．
(3)该数列的最大项就是函数f(x)＝－2x2＋13x的最大值．
(4)－70是该数列中的一项．
其中正确说法的序号为___.
三、解答题
6．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n＋1，求{an}的通项公式an.
7．已知数列{an}满足a1＝，n≥2时，anan－1＝an－1－an，求数列{an}的通项公式．
C　组·探索创新
已知函数f(x)＝若数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,2]
C．(2,3) D．
第四章　4.1　第2课时数列的通项公式与递推公式
A　组·基础自测
一、选择题
1．已知数列{an}中，an＋1＝an＋2＋an，a1＝2，a2＝5，则a6＝( A )
A．－3　　　　　　　　　 B．－4
C．－5 D．2
[解析]　由an＋1＝an＋2＋an得a3＝3，
a4＝－2，a5＝－5，a6＝－3.
2．在数列{an}中，a1＝，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则a5等于( B )
A．－ B．
C．－ D．
[解析]　∵a1＝，an＝(－1)n·2an－1，
∴a2＝(－1)2×2×＝，
a3＝(－1)3×2×＝－，
a4＝(－1)4×2×＝－，
a5＝(－1)5×2×＝.
3．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－6n＋5，则该数列中最小项的序号是( A )
A．3　　　 B．4　　　
C．5　　　 D．6
[解析]　因为an＝(n2－6n＋9)－4＝(n－3)2－4，故当n＝3时，an取得最小值－4，所以数列的第3项是最小项．
4．(多选题)下列叙述中，正确的是( ABC )
A．通项公式为an＝2的数列是常数列
B．数列是摆动数列
C．数列是递增数列
D．若数列{an}是递增数列，则数列{an·an＋1}也是递增数列
[解析]　A中每一项均为2，是常数列；B中项的符号由(－1)n为调整，是摆动数列；C中可变形为，为递增数列；D中若an＝n－3，则anan＋1＝(n－3)(n－2)＝n2－5n＋6，不是递增数列．
5．数列{an}的构成法则如下：a1＝1，如果an－2为自然数且之前未出现过，则用递推公式an＋1＝an－2，否则用递推公式an＋1＝3an，则a6＝( C )
A．－7 B．3
C．15 D．81
[解析]　由a1＝1，a1－2＝－1 N，得a2＝3a1＝3.
又a2－2＝1＝a1，故a3＝3a2＝9.
又a3－2＝7∈N，故a4＝a3－2＝7.
又a4－2＝5∈N，则a5＝a4－2＝5.
又a5－2＝3＝a2，所以a6＝3a5＝15.故选C．
二、填空题
6．数列{an}满足an＝＋2(n≥2，n∈N*)，当a1＝1时，a4＝ 　.
[解析]　由a1＝1，an＝＋2(n≥2，n∈N*)，得a2＝3，a3＝，a4＝.
7．对于正项数列{an}中，定义：Gn＝为数列{an}的“匀称值”已知数列{an}的“匀称值”为Gn＝n＋2，则该数列中的a10＝ 　.
[解析]　Gn＝＝n＋2，即nGn＝n＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nan，
故a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝10×；a1＋2a2＋3a3＋…＋9a9＝9×；
两式相减得10a10＝21，所以a10＝.
8．已知数列{an}的通项公式an＝3n－1(n∈N*)，通过公式bn＝构造一个新数列{bn}，那么{bn}的前5项为 ，，，，　.
[解析]　∵an＝3n－1(n∈N*)，
∴an＋1＝3(n＋1)－1＝3n＋2，
∴bn＝＝.
∴b1＝，b2＝，b3＝，b4＝，b5＝.
三、解答题
9．已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)判断数列{an}的单调性．
[解析]　(1)因为f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n，
所以2log2an－2－log2an＝－2n，即an－＝－2n，
所以a＋2nan－1＝0，解得an＝－n±.
因为an>0，所以an＝－n，n∈N*.
(2)＝
＝<1.
因为an>0，所以an＋110．已知数列{an}满足a1＝1，其前n项和是Sn，对任意正整数n，Sn＝n2an，求此数列的通项公式．
[解析]　∵Sn＝n2an，∴n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1，化为＝，
∴an＝···…···a1
＝···…···1
＝，
n＝1时也成立，∴an＝.
B　组·素养提升
一、选择题
1．(多选题)如果{an}为递增数列，则{an}的通项公式可以为( AD )
A．an＝2n＋3 B．an＝－n2－3n＋1
C．an＝n D．an＝1＋log2n
[解析]　A是n的一次函数，一次项系数为2，所以为递增数列；
B是n的二次函数，二次项系数为－1，且对称轴为n＝－，所以为递减数列；
C是n的指数函数，且底数为，是递减数列；
D是n的对数型函数，且底数为2，是递增数列．
2．若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则该数列的前2 021项的乘积是( C )
A．－2　　　 B．－1　　　
C．2　　　 D．1
[解析]　因为数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，所以a2＝＝＝－3，同理可得a3＝－，a4＝，a5＝2，…，所以数列{an}每四项重复出现，即an＋4＝an，且a1·a2·a3·a4＝1，而2 021＝505×4＋1，所以该数列的前2 021项的乘积是a1·a2·a3·a4·…·a2 021＝1505×a1＝2.
3．观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样10条直线相交，交点的个数最多的是( B )
A．40 B．45
C．50 D．55
[解析]　交点个数依次组成数列为1,3,6，即，，，由此易得an＝，
∴a10＝＝45.
二、填空题
4．函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x1＝5，且对任意的正整数n均有xn＋1＝f(xn)，则x2 024＝_2__.
x 1 2 3 4 5
f(x) 5 1 3 4 2
[解析]　由题意可知x1、x2、x3、x4、x5、…的值分别为5,2,1,5,2，…，{xn}周期为3.
∴x2 024＝x3×674＋2＝x2＝2.
5．若数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋13n，关于该数列，有以下四种说法：
(1)该数列有无限多个正数项．
(2)该数列有无限多个负数项．
(3)该数列的最大项就是函数f(x)＝－2x2＋13x的最大值．
(4)－70是该数列中的一项．
其中正确说法的序号为_(2)(4)__.
[解析]　令－2n2＋13n>0，得0令－2n2＋13n＝－70，得n＝10，或n＝－(舍去)．
即－70是该数列的第10项，所以(4)正确．
三、解答题
6．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n＋1，求{an}的通项公式an.
[解析]　因为数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n＋1，
所以a1＝S1＝2×12－3×1＋1＝0，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n＋1)－[2(n－1)2－3(n－1)＋1]＝4n－5.
n＝1时，4n－5＝－1≠a1，所以{an}的通项公式an＝(n∈N*)．
7．已知数列{an}满足a1＝，n≥2时，anan－1＝an－1－an，求数列{an}的通项公式．
[解析]　因为anan－1＝an－1－an，
所以n≥2时，＝＋＋＋…＋＝＝n＋1.所以＝n＋1，所以当n≥2时，an＝.当n＝1时，a1＝也适合上式，所以an＝(n∈N*)．
C　组·探索创新
已知函数f(x)＝若数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是( C )
A．(1,3) B．(1,2]
C．(2,3) D．
[解析]　由题意知an＝
因为数列{an}是递增数列，所以当n≤10时，3－a>0，即a<3，
当n>10时，a>1，且a10由上可得a的取值范围为{a|2