2023-2024学年人教A版数学选择性必修第二册同步练习 4.2.1 第2课时 等差数列的性质及应用（含解析）

第四章　4.2.1　第2课时等差数列的性质及应用
A　组·基础自测
一、选择题
1．已知{an}为等差数列，a1＝－1，a5＝5，则a3＝( )
A．1　　 B．2　　
C．3　　 D．4
2．等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程：x2＋(a4＋a6)x＋10＝0( )
A．无实根
B．有两个相等实根
C．有两个不等实根
D．不能确定有无实根
3．公差不为0的等差数列{an}中，a4－ax＝ay－a7，则xy的值不可能是( )
A．10 B．24
C．22 D．30
4．《九章算术》一书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为( )
A．13 B．14
C．15 D．16
5．已知数列{an}满足an＋1>an≥0，对任意p≤q，都有aq－ap是数列{an}中的项，则( )
A．a3＝a1＋a2 B．a4＝a2＋a3
C．a5＝a3＋a4 D．a6＝a4＋a5
二、填空题
6．若lg 2，lg(2x－1)，lg(2x＋3)成等差数列，则x＝___.
7．已知x－5，－3x－4，－6x－5依次是等差数列{an}的第2项、第4项和第6项，则实数x的值是___.
8．等差数列{an}是递增数列，若a2＋a4＝16，a1·a5＝28，则通项an＝___.
三、解答题
9．在等差数列{an}中，a1＋a3＋a5＝－12，且a1·a3·a5＝80，求通项an.
10．已知数列{an}，an＝2n－1，bn＝a2n－1.
(1)求{bn}的通项公式；
(2)数列{bn}是否为等差数列？说明理由．
B　组·素养提升
一、选择题
1．已知函数f(x)是定义在R上的严格增函数且为奇函数，数列{an}是等差数列，a1 011>0，则f＋f＋f＋…＋f＋f的值( )
A．恒为正数 B．恒为负数
C．恒为0 D．可正可负
2．(多选题)已知单调递增的等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则下列各式一定成立的有( )
A．a1＋a101>0 B．a2＋a100＝0
C．a3＋a100≤0 D．a51＝0
3．设{an}是等差数列，下列结论中正确的是( )
A．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0
B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0
C．若0＜a1＜a2，则a2＞
D．若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0
二、填空题
4．已知各项都为正数的等差数列{an}中，a5＝3，则a3a7的最大值为___.
5．数列{an}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1,2]，且a4＋λa10＋a16＝15，则实数λ的最大值为　.
三、解答题
6．设数列{an}是等差数列，bn＝an又b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求通项an.
7．已知数列{an}的前n项和Sn＝－an－n－1＋2(n为正整数)．令bn＝2nan，求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式．
C　组·探索创新
　(多选题)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)，二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始，已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法正确的是( )
A．小寒比大寒的晷长长一尺
B．春分和秋分两个节气的晷长相同
C．小雪的晷长为一丈五寸
D．立春的晷长比立秋的晷长长
第四章　4.2.1　第2课时等差数列的性质及应用
A　组·基础自测
一、选择题
1．已知{an}为等差数列，a1＝－1，a5＝5，则a3＝( B )
A．1　　 B．2　　
C．3　　 D．4
[解析]　∵{an}为等差数列，∴a3＝＝2.
故选B.
2．等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程：x2＋(a4＋a6)x＋10＝0( A )
A．无实根
B．有两个相等实根
C．有两个不等实根
D．不能确定有无实根
[解析]　由于a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，而3a5＝9，
∴a5＝3，方程为x2＋6x＋10＝0，Δ＝62－4×10<0，无实数解．故选A．
3．公差不为0的等差数列{an}中，a4－ax＝ay－a7，则xy的值不可能是( C )
A．10 B．24
C．22 D．30
[解析]　∵公差不为0的等差数列{an}中，a4－ax＝ay－a7，
∴a4＋a7＝ax＋ay，即x＋y＝4＋7＝11.
∵x，y∈N*，
∴x＝1，y＝10或x＝2，y＝9或x＝3，y＝8或x＝4，y＝7或x＝5，y＝6或x＝6，y＝5，
或x＝7，y＝4或x＝8，y＝3或x＝9，y＝2或x＝10，y＝1，
∴xy＝10或18或24或28或30，不可能是22，
故选C．
4．《九章算术》一书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为( C )
A．13 B．14
C．15 D．16
[解析]　由题意可知，每日所织数量构成等差数列{an}，且a2＋a5＋a8＝15，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝28，设公差为d，由a2＋a5＋a8＝15，得3a5＝15，所以a5＝5，由a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝7a4＝28，得a4＝4，则d＝a5－a4＝1，所以a15＝a5＋10d＝5＋10×1＝15.
5．已知数列{an}满足an＋1>an≥0，对任意p≤q，都有aq－ap是数列{an}中的项，则( B )
A．a3＝a1＋a2 B．a4＝a2＋a3
C．a5＝a3＋a4 D．a6＝a4＋a5
[解析]　因为an＋1>an，a1≥0，a1－a1＝0∈{an}，所以a1＝0.
因为0＝a1所以a3－a2＝a2，a4－a2＝a3，…，an－a2＝an－1.
故a2－a1＝a3－a2＝…＝an－an－1，
则数列{an}的前6项可设为0，d,2d,3d,4d,5d，则有a4＝a2＋a3，B选项正确，其余选项错误．
故选B.
二、填空题
6．若lg 2，lg(2x－1)，lg(2x＋3)成等差数列，则x＝_log25__.
[解析]　由题意得2lg(2x－1)＝lg 2＋lg(2x＋3)，
所以(2x－1)2＝2·(2x＋3)，即(2x－5)(2x＋1)＝0，
所以2x＝5，即x＝log25.
7．已知x－5，－3x－4，－6x－5依次是等差数列{an}的第2项、第4项和第6项，则实数x的值是_2__.
[解析]　因为等差数列的第2项、第4项和第6项仍然成等差数列
所以2(－3x－4)＝(x－5)＋(－6x－5)，解得x＝2.
故答案为2.
8．等差数列{an}是递增数列，若a2＋a4＝16，a1·a5＝28，则通项an＝_3n－1__.
[解析]　设公差为d，
∵a2＋a4＝a1＋a5＝16，
∴由解得或
∵等差数列{an}是递增数列，
∴a1＝2，a5＝14.
∴d＝＝＝3，
∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1.
三、解答题
9．在等差数列{an}中，a1＋a3＋a5＝－12，且a1·a3·a5＝80，求通项an.
[解析]　因为a1＋a5＝2a3，所以

解得a1＝－10，a5＝2或a1＝2，a5＝－10，因为d＝，所以d＝3或－3，
所以an＝－10＋3(n－1)＝3n－13，
或an＝2－3(n－1)＝－3n＋5.
10．已知数列{an}，an＝2n－1，bn＝a2n－1.
(1)求{bn}的通项公式；
(2)数列{bn}是否为等差数列？说明理由．
[解析]　(1)∵an＝2n－1，bn＝a2n－1，
∴bn＝a2n－1＝2(2n－1)－1＝4n－3.
(2)由bn＝4n－3，知bn－1＝4(n－1)－3＝4n－7(n≥2)，
∵bn－bn－1＝(4n－3)－(4n－7)＝4(n≥2)，
∴{bn}是首项b1＝1，公差为4的等差数列．
B　组·素养提升
一、选择题
1．已知函数f(x)是定义在R上的严格增函数且为奇函数，数列{an}是等差数列，a1 011>0，则f＋f＋f＋…＋f＋f的值( A )
A．恒为正数 B．恒为负数
C．恒为0 D．可正可负
[解析]　因为函数f(x)是R上的奇函数且是严格增函数，
所以f(0)＝0，且当x>0时，f(x)>0; 当x<0时，f(x)<0.
因为数列{an}是等差数列，a1 011>0，故f(a1 011)>0.
再根据a1＋a2 021＝2a1 011>0，所以a1>－a2 021，则f(a1)>f(－a2 021)＝－f(a2 021)，
所以f(a1)＋f(a2 021)>0.
同理可得f(a2)＋f(a2 020)>0，f(a3)＋f(a2 019)>0，…，
所以f＋f＋f＋…＋f＋f
＝[f(a1)＋f(a2 021)]＋[f(a2)＋f(a2 020)]＋…＋[f(a1 010)＋f(a1 012)]＋f(a1 011)>0，
故选A．
2．(多选题)已知单调递增的等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则下列各式一定成立的有( BD )
A．a1＋a101>0 B．a2＋a100＝0
C．a3＋a100≤0 D．a51＝0
[解析]　设等差数列{an}的公差为d，易知d>0，
∵等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，
且a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，
∴a1＋a2＋a3＋…＋a101＝(a1＋a101)＋(a2＋a100)＋…＋(a50＋a52)＋a51＝101a51＝0，
∴a51＝0，a1＋a101＝a2＋a100＝2a51＝0，
故B，D正确，A错误．
又∵a51＝a1＋50d＝0，∴a1＝－50d，
∴a3＋a100＝(a1＋2d)＋(a1＋99d)＝2a1＋101d＝2×(－50d)＋101d＝d>0，故C错误．故选BD.
3．设{an}是等差数列，下列结论中正确的是( C )
A．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0
B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0
C．若0＜a1＜a2，则a2＞
D．若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0
[解析]　先分析四个答案，A举一反例a1＝2，a2＝－1，则a3＝－4，a1＋a2>0，而a2＋a3<0，A错误；B举同样反例a1＝2，a2＝－1，a3＝－4，a1＋a3<0，而a1＋a2>0，B错误；(a2－a1)(a2－a3)＝－d2≤0，D错误；下面针对C进行研究，{an}是等差数列，若00，设公差为d，则d>0，数列各项均为正，由于a－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝a＋2a1d＋d2－a－2a1d＝d2>0，则a>a1a3 a2>，选C．
二、填空题
4．已知各项都为正数的等差数列{an}中，a5＝3，则a3a7的最大值为_9__.
[解析]　依题意，等差数列{an}各项都为正数，所以a3>0，a7>0，所以a3a7≤2＝a＝9.当且仅当a3＝a7＝3时等号成立．
5．数列{an}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1,2]，且a4＋λa10＋a16＝15，则实数λ的最大值为 －　.
[解析]　∵a4＋λa10＋a16＝15，∴(λ＋2)a10＝15，
∴(λ＋2)(a1＋9d)＝15.
又a1＝1，∴λ＋2＋9(λ＋2)d＝15，∴λ＝－2.
∵d∈[1,2]，∴令t＝1＋9d，t∈[10,19]，因此λ＝f(t)＝－2，
当t∈[10,19]，函数f(t)是减函数，故当t＝10时，实数λ有最大值，最大值为f(10)＝－.
三、解答题
6．设数列{an}是等差数列，bn＝an又b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求通项an.
[解析]　∵b1b2b3＝，又bn＝an，∴a1·a2·a3＝.
∴a1＋a2＋a3＝，∴a1＋a2＋a3＝3，
又{an}成等差数列∴a2＝1，a1＋a3＝2，b2＝a2＝，
∴b1b3＝，b1＋b3＝，
∴或，即或
∴an＝2n－3或an＝－2n＋5.
7．已知数列{an}的前n项和Sn＝－an－n－1＋2(n为正整数)．令bn＝2nan，求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式．
[解析]　在Sn＝－an－n－1＋2中，令n＝1，可得S1＝－a1－1＋2＝a1，即a1＝.当n≥2时，Sn－1＝－an－1－n－2＋2，
∴an＝Sn－Sn－1＝－an＋an－1＋n－1，
∴2an＝an－1＋n－1，即2nan＝2n－1an－1＋1，
∵bn＝2nan，∴bn＝bn－1＋1，
即当n≥2时，bn－bn－1＝1，
又b1＝2a1＝1，
∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列．
于是bn＝1＋(n－1)·1＝n＝2nan，∴an＝.
C　组·探索创新
　(多选题)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)，二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始，已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法正确的是( ABD )
A．小寒比大寒的晷长长一尺
B．春分和秋分两个节气的晷长相同
C．小雪的晷长为一丈五寸
D．立春的晷长比立秋的晷长长
[解析]　由题意可知，由夏至到冬至的晷长构成等差数列{an}，其中a1＝15，a13＝135，则d＝10，
同理可得，由冬至到夏至的晷长构成等差数列{bn}，其中b1＝135，b13＝15，则d′＝－10，
故大寒与小寒相邻，小寒比大寒的晷长长10寸，即一尺，故选项A正确；
因为春分的晷长为b7，所以b7＝b1＋6d′＝135－60＝75，
因为秋分的晷长为a7，所以a7＝a1＋6d＝15＋60＝75，
故春分和秋分两个节气的晷长相同，故选项B正确；
因为小雪的晷长为a11，所以a11＝a1＋10d＝15＋100＝115，
又115寸即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，故选项C错误；
因为立春的晷长和立秋的晷长分别为b4，a4，
所以a4＝a1＋3d＝15＋30＝45，b4＝b1＋3d′＝135－30＝105，
所以b4>a4，故立春的晷长比立秋的晷长长，故选项D正确．
故选ABD.