2023-2024学年人教A版数学选择性必修第二册同步练习 4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式（含解析）

第4章　4.2.2　第1课时等差数列的前n项和公式
A　组·基础自测
一、选择题
1．若等差数列{an}的前三项和S3＝9，且a1＝1，则a2等于()
A．3　　　 B．4　　　
C．5　　　 D．6
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若am＝11，S2m－1＝121，则m的值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
3．已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，则{an}的前n项和Sn＝( )
A．－n2＋ B．－n2－
C．n2＋ D．n2－
4．等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a2＋a8＋a11是一个定值，则下列各数中也为定值的是( )
A．S7 B．S8
C．S13 D．S15
5．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝( )
A．－12 B．－10
C．10 D．12
二、填空题
6．在数列{an}中，an＝4n－，a1＋a2＋…＋an＝an2＋bn(n∈N*)，其中a，b为常数，则ab＝___.
7．(2022·全国乙卷文)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若2S3＝3S2＋6，则公差d＝___.
8．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a17＝20，则S18＝___.
三、解答题
9．若等差数列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8.求：
(1)数列{an}的首项a1和公差d；
(2)数列{an}的前10项和S10的值．
10．等差数列{an}中，已知a1＋a2＝5，S4＝14.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前n项和Sn.
B　组·素养提升
一、选择题
1．(2023·新课标全国Ⅰ卷)记Sn为数列的前n项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则( )
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2．某公司技术部为了激发员工的工作积极性，准备在年终奖的基础上再增设30个“幸运奖”，投票产生“幸运奖”，按照得票数(假设每人的得票数各不相同)排名次，发放的奖金数成等差数列．已知前10名共发放2 000元，前20名共发放3 500元，则前30名共发放( )
A．4 000元 B．4 500元
C．4 800元 D．5 000元
3．(多选题)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列结论中正确的是( )
A．若d<0，则数列{Sn}有最大项
B．若数列{Sn}有最大项，则d<0
C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N＋，均有Sn>0
D．若对任意n∈N＋，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列
二、填空题
4．在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，若－＝2 005，则等差数列{an}的公差d＝___.
5．在等差数列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an<0，则S10＝___.
三、解答题
6．已知{an}是等差数列，其中a2＝22，a8＝4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，求Sn的最大值．
7．设等差数列的公差为d，且d>1.令bn＝，记Sn，Tn分别为数列，的前n项和．
(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且S99－T99＝99，求d.
C　组·探索创新
(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d.已知a3＝12，S12>0，a7<0，则下列说法正确的是( ABC )
A．a6>0
B．－C．Sn<0时，n的最小值为13
D．数列中的最小项为第六项
第4章　4.2.2　第1课时等差数列的前n项和公式
A　组·基础自测
一、选择题
1．若等差数列{an}的前三项和S3＝9，且a1＝1，则a2等于( A )
A．3　　　 B．4　　　
C．5　　　 D．6
[解析]　S3＝3a1＋d＝9，
又∵a1＝1，∴d＝2，∴a2＝a1＋d＝3.
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若am＝11，S2m－1＝121，则m的值为( D )
A．3 B．4
C．5 D．6
[解析]　因为S2m－1＝(2m－1)am＝121，所以2m－1＝11，故m＝6，故选D.
3．已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，则{an}的前n项和Sn＝( A )
A．－n2＋ B．－n2－
C．n2＋ D．n2－
[解析]　易知{an}是等差数列且a1＝－1，所以Sn＝＝＝－n2＋.故选A．
4．等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a2＋a8＋a11是一个定值，则下列各数中也为定值的是( C )
A．S7 B．S8
C．S13 D．S15
[解析]　由a2＋a8＋a11＝3a1＋18d＝(2a1＋12d)＝(a1＋a1＋12d)＝(a1＋a13)为定值可知，a1＋a13为定值，而S13＝，所以S13为定值．
5．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝( B )
A．－12 B．－10
C．10 D．12
[解析]　∵Sn为等差数列{an}的前n项和，3S3＝S2＋S4，a1＝2，
∴3×＝a1＋a1＋d＋4a1＋d.
把a1＝2代入得d＝－3
∴a5＝2＋4×(－3)＝－10，
故选B.
二、填空题
6．在数列{an}中，an＝4n－，a1＋a2＋…＋an＝an2＋bn(n∈N*)，其中a，b为常数，则ab＝_－1__.
[解析]　∵an＝4n－，
∴{an}为等差数列，设其公差为d，则a1＝，d＝4.
∴an2＋bn＝a1＋a2＋…＋an＝n＋×4＝2n2－n.
∴a＝2，b＝－，
∴ab＝－1.
7．(2022·全国乙卷文)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若2S3＝3S2＋6，则公差d＝_2__.
[解析]　由2S3＝3S2＋6可得2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化简得2a3＝a1＋a2＋6，即2(a1＋2d)＝2a1＋d＋6，解得d＝2.
8．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a17＝20，则S18＝_180__.
[解析]　因为a1＋a18＝a2＋a17＝20，
所以S18＝＝＝180.
三、解答题
9．若等差数列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8.求：
(1)数列{an}的首项a1和公差d；
(2)数列{an}的前10项和S10的值．
[解析]　(1)根据题意，得
解得
(2)S10＝10a1＋d＝10×8＋×(－2)＝－10.
10．等差数列{an}中，已知a1＋a2＝5，S4＝14.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前n项和Sn.
[解析]　(1)设等差数列{an}的公差为d，
则由a1＋a2＝5，S4＝14得，
即
解得a1＝2，d＝1，
所以an＝2＋(n－1)＝n＋1.
(2)由(1)可知，Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝na1＋＝.
B　组·素养提升
一、选择题
1．(2023·新课标全国Ⅰ卷)记Sn为数列的前n项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则( C )
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
[解析]　方法一：甲：为等差数列，设其首项为a1，公差为d，
则Sn＝na1＋d，＝a1＋d＝n＋a1－，－＝，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即－＝＝为常数，设为t，
即＝t，则Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)，有Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2，
两式相减得：an＝nan＋1－(n－1)an－2tn，即an＋1－an＝2t，对n＝1也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确．
方法二：甲：为等差数列，设数列的首项为a1，公差为d，即Sn＝na1＋d，
则＝a1＋d＝n＋a1－，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即－＝D，＝S1＋(n－1)D，
即Sn＝nS1＋n(n－1)D，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D，
当n≥2时，上两式相减得Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D，当n＝1时，上式成立，
于是an＝a1＋2(n－1)D，又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件．
故选C．
2．某公司技术部为了激发员工的工作积极性，准备在年终奖的基础上再增设30个“幸运奖”，投票产生“幸运奖”，按照得票数(假设每人的得票数各不相同)排名次，发放的奖金数成等差数列．已知前10名共发放2 000元，前20名共发放3 500元，则前30名共发放( B )
A．4 000元 B．4 500元
C．4 800元 D．5 000元
[解析]　由已知可知等差数列中S10＝2 000，S20＝3 500，
因为S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，
所以2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，
所以2×(3 500－2 000)＝2 000＋(S30－3 500)，解得S30＝4 500，
故选B.
3．(多选题)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列结论中正确的是( ABD )
A．若d<0，则数列{Sn}有最大项
B．若数列{Sn}有最大项，则d<0
C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N＋，均有Sn>0
D．若对任意n∈N＋，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列
[解析]　由Sn＝n2＋n，根据二次函数的图象与性质，可知当d<0时数列{Sn}有最大项，选项A，B正确；如果数列{Sn}是递增数列，那么d>0，但对任意的n∈N＋，Sn>0不一定成立，选项C错误；若对任意n∈N＋，均有Sn>0，对应的抛物线开向上，所以d>0，故数列{Sn}是递增数列，选项D正确．
二、填空题
4．在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，若－＝2 005，则等差数列{an}的公差d＝_2__.
[解析]　∵数列{an}为等差数列，设其公差为d，则其前n项和为Sn＝na1＋d，
∴＝a1＋d，
∴－＝，
∴是公差为的等差数列，
∴－＝2 005×＝2 005，解得d＝2.
5．在等差数列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an<0，则S10＝_－15__.
[解析]　由a＋a＋2a3a8＝9得(a3＋a8)2＝9，
∵an<0，∴a3＋a8＝－3.
∴S10＝＝＝＝－15.
三、解答题
6．已知{an}是等差数列，其中a2＝22，a8＝4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，求Sn的最大值．
[解析]　(1)∵a8＝a2＋6d,4＝22＋6d，∴d＝－3，a1＝25，∴an＝28－3n.
(2)∵an＝28－3n，令28－3n<0，得n>9，
∴当n≤9时，an>0；当n≥10时，an<0，
故当n＝9时，Sn最大，且最大值为S9＝25×9＋×9×8×(－3)＝117.
7．设等差数列的公差为d，且d>1.令bn＝，记Sn，Tn分别为数列，的前n项和．
(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且S99－T99＝99，求d.
[解析]　(1)∵3a2＝3a1＋a3，∴3d＝a1＋2d，解得a1＝d，
∴S3＝3a2＝3(a1＋d)＝6d，
又T3＝b1＋b2＋b3＝＋＋＝，
∴S3＋T3＝6d＋＝21，
即2d2－7d＋3＝0，解得d＝3或d＝(舍去)，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝3n.
(2)∵{bn}为等差数列，
∴2b2＝b1＋b3，即＝＋，
∴6＝＝，即a－3a1d＋2d2＝0，解得a1＝d或a1＝2d，
∵d>1，∴an>0，
又S99－T99＝99，由等差数列性质知，99a50－99b50＝99，即a50－b50＝1，
∴a50－＝1，即a－a50－2 550＝0，解得a50＝51或a50＝－50(舍去)．
当a1＝2d时，a50＝a1＋49d＝51d＝51，解得d＝1，与d>1矛盾，无解；
当a1＝d时，a50＝a1＋49d＝50d＝51，解得d＝.
综上，d＝.
C　组·探索创新
(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d.已知a3＝12，S12>0，a7<0，则下列说法正确的是( ABC )
A．a6>0
B．－C．Sn<0时，n的最小值为13
D．数列中的最小项为第六项
[解析]　根据题意，等差数列{an}中，S12>0，即S12＝＝＝6(a6＋a7)>0，
又a7<0，则a6>0，A正确；
已知a3＝12，且a6>0，a7<0，a6＋a7>0，
则有
解可得－根据题意，S13＝＝13a7<0，
而S12>0，故Sn<0时，n的最小值为13，C正确；
数列中，由上面分析可知d<0，所以数列{an}是递减的等差数列，当1≤n≤6时，an>0；当n≥7时，an<0；当1≤n≤12时，Sn>0；当n≥13时，Sn<0，所以当1≤n≤6时，>0；当7≤n≤12时，<0；当n≥13时，>0，故数列中的最小项不是第六项，D错误．