第3课时代数式与整式、因式分解学案

沭阳如东实验学校初三年级数学第一轮复习指南
第3课时 代数式与整式、因式分解 设计人：仲伟东 审核人：杨晓峰 日期：2014-2-16
复习目标：1．了解代数式、单项式、多项式、整式的有关概念．
2．掌握同底数幂的乘法和除法、幂的乘方和积的乘方运算法则，并能熟练地进行数字指数幂的运算．
3．掌握整式的运算：单项式乘以单项式, 单项式乘以多项式,多项式乘以多项式, 多项式除以单项式，整式的加减乘除混合运算．
4.理解因式分解的意义及其整式乘法的联系与区别；
5.掌握因式分解的基本方法：提公因式法、运用公式法、分组分解法。
复习重难点：整式的有关概念的理解，正确进行整式的计算，非同底数幂的运算法则的运用；因式分解基本方法的灵活运用。
一、真题训练
1．（2013年佛山市）多项式的次数及最高次项的系数分别是( )
A． B． C． D．
2. （2013四川凉山）如果单项式与是同类项，那么、的值分别为（ ）
A．， B．， C． ， D．，
3. （2013湖北黄冈）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4. （2013江苏泰州）若，则的值是________.
5．（2013湖北宜昌）化简：（a﹣b）2+a（2b﹣a）；
（2013湖南娄底）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣（4x3y﹣8xy3）÷2xy，其中x=﹣1，．
6．分解因式：（2013四川巴中）2a2 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣8=　 　；（2013贵州安顺）2a3﹣8a2+8a= ．
二、知识梳理（见P１）
1．代数式的概念；
2．整式的运算；
3．乘法公式与因式分解．
三、合作探究
1．若求(x2m)3+(yn)3的值．
2．已知：A=2x2+3ax－2x－1, B=－x2+ax－1，且3A+6B的值与 x无关，求a的值．
3．分解因式：（1）；（2）
四、整合提升
1.已知、、是△ABC的三边，且满足，求证：△ABC为等边三角形。
2.已知是△ABC的三边，且满足，试判断△ABC的形状。
五、课堂小结 本课你学到了什么？
六、反馈训练
1. （2013江苏扬州）下列运算中，结果是（ ）．
A． B． C． D．
2. （2013四川南充）分解因式：=　 　．
3. （2013福建福州）已知实数，满足a＋b＝2，a－b＝5，则(a＋b)3·(a－b)3的值是__________
4. (2013湖南株洲)把多项式因式分解得，则 ， .
5. （2013 宁波）7张如图1的长为a ( http: / / www.21cnjy.com )，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
　 A． a=b B． a=3b C． a=b D． a=4b
6. 已知可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个数是（ ）
A．61、63 B．61、65 C．61、67 D．63、65
7.观察下列等式：
……
想一想，等式左边各项幂的底数与右边幂 ( http: / / www.21cnjy.com )的底数有何关系？猜一猜可引出什么规律？用等式将其规律表示出来： 。
沭阳如东实验学校初三年级数学课堂学习指南
6.1 二次函数 设计人：仇稳稳 审核人：王春梅 日期：2014-11-21
学习目标
1．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式；
2. 会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围．
重点难点
1．二次函数的概念；
2．涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力.
一、课前准备
1、二次可相识？
2、函数知多少？
二、合作探究
1.我们曾注意过水滴激起的波纹，它不断地 ( http: / / www.21cnjy.com )向外扩展，所形成的圆周长C是半径r是一次函数：C=2πr.那么不断扩大的面积A与半径r之间有怎样的关系？
2.某地要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，计划安排21场比赛，则参赛球队数量？
3.一面长比宽之比为2:1的长方形镜子，四 ( http: / / www.21cnjy.com )周镶有边框.已知镜面的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，加工费为45元，设镜面宽为x米，则总费用y（元）与镜面宽x（米）之间有何函数关系？
总结：二次函数的定义
提示：
三、个性展示
例1、你来出出题！
例2、已知函数是二次函数，求的值．
例3、一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的一边长2.5 m．
⑴求隧道截面的面积S（m2）关于上部半圆半径r（m）的函数关系式；
⑵求当上部半圆半径为2m时的截面面积.
四、整合提升：
1.如图，等腰直角三角形ABC以2m/s的 ( http: / / www.21cnjy.com )速度沿直线MN向正方形移动，直到AB与CD重合，设x s时正三角形与正方形重叠部分的面积为ym2.
（1）写出y与x 的关系表达式；
（2）当0≤x≤5，y的取值范围是什么？
（3）当x=2、3.5 时，y分别是多少？
（4）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，
三角形移动了多长时间？
五、课堂小结: 这节课你有哪些收获和困惑？
六、检测反馈:
1.下列函数中，不是二次函数（ ）
2 .函数是二次函数的条件是（ ）
A．m、n为常数，且m≠0 B．m、n为常数，且m≠n
C．m、n为常数，且n≠0 D．m、n可以为任何常数
3.如果直径2x，面积S与x之间的函数表达式为:___________
4.如果函数是二次函数,则k的值是______
5.某公司一月份营业额100万元，三月份营业额为y万元,如果每月的增长率为x，则y与x的关系式为:____________
6.如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏，高为x米.
1)∠B=____
2）用含有x代数式分别表示：BC _____ AD_____
3）求梯形的面积y与高x的表达式.
2014-2015学年度九年级第一学期第二次阶段测试
数 学 试 卷
试卷满分： 120分 考试时间： 120分钟
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中恰
有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号写在相应位置上）
1.下列函数中，不是二次函数的是（ ▲ ）
A． B． C． D．
2. 以下列各组数据为长度的四条线段中，成比例线段的一组是（ ▲ ）
A．2、5、6、8 B. 8、0.05、 0.06、0.03
C. 3、6、7、9 D. 3、6、9、18
3.下列四组图形中，一定相似的是（ ▲ ）
　 A．正方形与矩形 B．正方形与菱形 C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形
4.△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积
是3，则△A′B′C′的面积是（ ▲ ）
　 A．3 B． 6 C． 9 D．12
5.图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ▲ ）
A 点P B 点O C 点M D 点N
第5题图 第7题图 第8题图
6.如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，
CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上。若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（ ▲ ）
A. 60m B. 40m C. 30m D. 20m
7. 如图，在△ABC中，∠A=36 ( http: / / www.21cnjy.com )°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，下列结论错误的是（ ▲ ）
　 A． ∠C=2∠A B． BD平分∠ABC
　 C． S△BCD=S△BOD D． 点D为线段AC的黄金分割点
8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90° ( http: / / www.21cnjy.com )，AC＝1，BC＝2，把边长分别为x1，x2，x3…xn的n个正方形依次放入△ABC中，则x5的值为（ ▲ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共有8小题，每题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上）
9.若b是与的比例中项，则b＝ ▲
10.在比例尺为1:500的地图上，测得三角形地块ABC的周长为12cm,,则这个地块的实际周长为▲
11.某公司一月份营业额250万元，三月份营业额为y万元,如果每月的增长率为x，则y与x的关系式为 ▲
12.已知点C是线段AB的黄金分割点，若AB＝2，AC＞BC，则AC的长为▲ .
13.如图，DE是△ABC的中位线，则△ADE与四边形DECB的面积的比是▲ ．
14.如图，在边长为3的菱形ABCD中，点E在边CD上，点F为BE延长线与AD延长线的交点．若DE=1，则DF的长为 ▲ ．
第13题图 第14题图 第15题图 第16题图
15.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC ( http: / / www.21cnjy.com )=4，动点P从B点出发，按B→C的方向在BC上移动，记PA＝x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数关系式为 ▲
16.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，CD＝2，BC＝1，
则BD ：AD＝ ▲
三 、 解答题（本大题共有10小题，共72分．请在答题的指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
17.（本题6分）已知，且，求的值
18.（本题6分）已知函数是二次函数，求的值．
19.（本题6分）如图，△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC与△ADB中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5cm，AB=4cm，如果图中的两个直角三角形相似，则AD的长为多少？
20.（本题6分）已知CD是△ABC的高，DE⊥CA，DF⊥CB，垂足为E、F，求证：△CEF∽△CBA．
21.（本题6分）有一路灯杆AB(底部B不能直接到达),在灯光下,小明在点D处测得自己的影长DF=3m,
沿 BD方向到达点F处再测得自己的影长FG=4m,如果小明的身高为1.6m,求路灯杆AB的高度.
22.（本题6分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM．
（1）求证：∠ACM=∠ABC；
（2）延长BC到D，使BC＝CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED＝2,
求EC的长．
23.（本题8分）阅读理解：
如图①，在四边形ABCD的边AB上任取 ( http: / / www.21cnjy.com )一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题：
（1）如图①，∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图②，在矩形ABCD中，A ( http: / / www.21cnjy.com )、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；
( http: / / www.21cnjy.com )
24.（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=－x+1分别交x轴、y轴于A，B两点，点P（a，b）是反比例函数在第一象限内的任意一点，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，PM，PN分别交直线AB于E，F，
(1) 试用含a的代数式表示AF、BE的长(直接写结果)；
（2）探究△AOF与△BEO是否相似，若相似，请证明；
若不相似，请说明理由.
25．（本题10分）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，D在AB边上，∠EDF＝60°
（1）如图1，当点D为AB中点时，且∠EDF的两边交AC、BC于点E、F，求证：DE＝DF
（2）当点D不是AB中点，且时，
① 如图2，∠EDF的两边交AC、BC于点E、F，则 ▲ .
② 如图3, ∠EDF的两边交AC于点E、交BC延长线于点F，求的值
图1 图2 图3
26.（本题10分）如图，Rt△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2）．
（1）连接PQ，若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；
2013-2014学年度九年级第二次模拟测试
数 学 试 卷
试卷满分： 120分 考试时间： 120分钟
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中恰有一项是符
合题目要求的，请将正确选项前的字母代号写在答题纸的相应位置上）
1.下列各数中，小于－3的数是（ ▲ ）
A．0 B．－2 C．－3 D．－4
2．下列计算正确的是（▲）
A ． B. C. D.
3．右图是由几个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，那么这个几何体的主视图是（ ▲ ）
A． B． C． D．
4. 如图，一把矩形直尺沿直线断开并错位，点E、D、B、F在
同一条直线上，若∠ADE＝128°, 则∠DBC的度数为( ▲ )
A．52° B．62° C．72° D．128°
5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( ▲ )
A． B．且 C． D．且
6．已知两个半径不相等的圆外切，圆心距为，大圆半径是小圆半径的倍，则小圆半径为( ▲ )
A．或 B． C． D．
7．如图，的顶点与坐标原点重合，，AO=3BO，当A点在反比例函数（）图像上移动时，B点坐标满足的函数解析式是( ▲ )
A． B． C． D．
8．如图，点A1、A2、A3、A4、…、在射线OA上，点B1、B2、B3、…、在射线OB上，A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥，A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥，设△A2B1B2，△A3B2B3，…，△的面积分别为S1，S2，…，Sn－1，若△A1B1A2，△A2B2A3的面积分别为1、9，则在S1，S2，…，Sn－1中小于2014的个数是( ▲ )
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共有8小题，每题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸的相应位置上）
9.震惊世界的MH370失联事件发生后第30天，中国“海巡01”轮在南印度洋海域搜索过程中首次侦听
到疑是飞机黑匣子的脉冲信号，探测到的信号所在海域水深4500米左右，其中4500用科学记数法表
示为 ▲ .
10．分解因式： ▲ ．
11．如图，是⊙Ｏ的切线，为切点，交⊙Ｏ于点，，
， 则的值是 ▲ ．
12．不等式组的解集是 ▲ ．
13．四边形ABCD中，AB = CD，AD ∥ BC，如果∠A = 60°，则∠C = ▲ .
14．当时，下列函数中，函数值随自变量增大而增大的是 ▲ （只填写
序号）①；②；③；④．
15．如图，在方格纸上建立的平面直角坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )系中，已知点A的坐标为（－3，1），将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90 ，得到△A1B1O，那么点A运动的路线长为 ▲ ．
16．如图，正六边形ABCDEF的边长为4，两顶点A、B分别在x轴和y轴上运动，则顶点D到原点O的距离的最大值与最小值的积为 ▲ ．
三 、 解答题（本大题共有10小题，共72分．请在答题纸的指定区域内作答，解答时应写出必要的文字
说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：－22＋2＋20140－－|1－tan60°|．
18．（6分）解方程：
19．（6分）2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．（精确到0.1米，参考数据：）
20.（本题共6分）如图，已知点E、F在线段AC上，AE=CF， BE∥DF，
且∠ADF=∠CBE，.
求证：四边形DEBF是平行四边形．
21.（本题共6分）为建设美丽家园，某企业逐年增加对环境保护的经费投入，2012年投入了400万元，预计到2014年将投入576万元.
（1）求2012年至2014年该单位环保经费投入的年平均增长率；
（2）该单位预计2015年投入环保经费不低于680万元，若继续保持前两年的年平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由.
22. （本题共8分）如图，AB是⊙O的直 ( http: / / www.21cnjy.com )径，点C在圆上，P是AB延长线上一点，连结AC，PC，过点O作AC的垂线交AC于点D，交⊙O于点E．若AC＝PC，AB＝8，∠P＝30°．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求阴影部分的面积.
、
23．（本题共6分）如图，在直角坐标系中，已知菱形ABCD的面积为15，顶点A在双曲线上CD与y轴重合，且AB⊥x轴于B，AB=5．
（1）求顶点A的坐标和k的值；（2）求直线AD的解析式．
24.（本题共8分）自实施新教育改革后，学 ( http: / / www.21cnjy.com )生的自主学习、合作交流能力有很大提高，张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分同学进行了为期半个月的跟踪调查，并将调查结果分为四类：A.特别好；B.好；C.一般；D.较差，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，张老师一共调查了 ▲ 名同学；
（2）求出调查中C类女生及D类男生的人数，将条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，张老师 ( http: / / www.21cnjy.com )想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
25. （本题共10分）如图，已知抛物线y＝x2－1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积；
（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点
的三角形与△PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．
26. （本题共10分）如图，已知：矩 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD,AB=6,BC=4,点P从点B出发在边BC上以每秒2个单位的速度向点C运动，过点P作射线PM⊥BC交AD于点M,同时点Q从点P出发沿射线PM以每秒6个单位的速度运动，当点P到达点C时，所有点均停止运动.在整个运动过程中，取PQ的中点E，以QE为直角边在射线PM的右侧作Rt△QEF，使两直角边之比为3:4（即QE:EF=3:4）,设运动时间为t秒.
(1)当点F在CD上时，此时t的值为 ▲ ．
(2)求出QF经过点D时t的值.
(3)设直角三角形QEF与矩形ABCD重叠部分的面积是S，
求S与t之间的函数关系式.
座位号
班 级 姓 名 考 场 监考老师
…………………………………装………………………………………订………………………………线…………………………………………
班 级 姓 名 考 场 监考老师
…………………………………装………………………………………订………………………………线…………………………………………
2
1
3
（第4题）
（第7题）
（第8题）
B
P
A
O
(第11题图)
A
O
B
y
x
1
1
(第15题)
(第16题)
(第19题)
(第20题)
（第22题图）
A
B
C
P
E
D
O
(第22题)
(第25题)
C
P
A
B
x
y
O
…………………………………………密…………………………封…………………………线…………………………………
(第26题)