3.2基本不等式
一、单选题
1．已知为正实数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，可得，
则有，解得，
当且仅当，取到最小值.故选：B.
2．已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．8 B．16 C．32 D．36
【答案】B
【解析】因为正实数a，b满足，
所以，即，当且仅当时，即时取等号.
因为，所以，
所以.
故的最小值是16.故选：B
3．若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【解析】因为不等式对于一切恒成立，
所以对一切恒成立，
所以，
又因为在上单调递减，所以，
所以，所以的最小值为，故选：C.
4．已知集合，则的子集的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，因此它的子集个数为4．故选：D．
5．若实数，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【解析】由条件可知，，
所以
，
当，即，结合条件 ，
可知时，等号成立，所以的最小值为.
故选：D
6．若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为
A．， B． C． D．
【答案】B
【解析】解：依题意得，当时， 恒成立，
又因为，当且仅当时取等号，
所以，的最大值为，所以，解得的取值范围为．
故选：．
7．某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位元（试剂的总产量为单位，），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（ ）
A．60单位 B．70单位 C．80单位 D．90单位
【答案】D
【解析】解：设每生产单位试剂的成本为，
因为试剂总产量为单位，则由题意可知，原料总费用为元，
职工的工资总额为元，后续保养总费用为元，
则，
当且仅当，即时取等号，满足，
所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．故选：D．
8．若，则下面结论正确的有（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．若，则有最大值
【答案】B
【解析】对于选项A：若，
由基本不等式得，即，
当且仅当时取等号；所以选项A不正确；
对于选项B：若，
，
，
当且仅当且，
即时取等号，所以选项B正确；
对于选项C：由，
，
即，
如时，，所以选项C不正确；
对于选项D：，当且仅当时取等
则有最大值，所以选项D不正确；
故选：B
二、多选题
9．已知正实数a，b满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】对于，当时，满足，此时，错误；
对于，，则，变形可得，当且仅当时等号成立，正确；
对于，，变形可得，则有，当且仅当时等号成立，正确；
对于，，当且仅当时等号成立，正确；
故选：ACD
10．设，，，以下四个命题中正确的是（ ）．
A．若为定值，则有最大值
B．若，则有最大值4
C．若，则有最小值4
D．若总成立，则的取值范围为
【答案】CD
【解析】为定值时，应有最小值，∴A不正确；
当时，
，∴B不正确；
，
当且仅当，等号成立，∴C正确；
由，又，
∴，∴，∴D正确．
故选：CD.
11．已知实数，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．有最小值 B．有最大值
C．有最小值 D．有最大值
【答案】AC
【解析】，解不等式得或，故，
等号当且仅当时取得，故有最小值9，则A对，B错；
，解不等式得或，又，
故，当且仅当时取等号，故有最小值6，则C对，D错，
故选：AC．
12．下列说法正确的是（ ）
A．的最小值是
B．的最小值是
C．的最小值是
D．的最小值是
【答案】AB
【解析】当时，（当且仅当，即时取等号），A正确；
，因为，所以，B正确；
，当且仅当，即时，等号成立，显然不成立，故C错误；
当时，，D错误.
故选:AB.
三、填空题
13．有一批材料可以建成200m长的围墙，若用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形的地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（墙的长度足够用），则围成的整个矩形场地的最大面积是_______________.
【答案】
【解析】如图所示：
设每个小矩形长为米，宽为米，显然，则依题意可知，
设围成的整个矩形场地的面积为，
所以，当且仅当时取等号，即当时取等号，因此.
故答案为：
14．已知，且，则的最小值为_________．
【答案】4
【解析】，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为：
15．若正数、满足，则的最小值为________.
【答案】
【解析】已知正数、满足，则，
所以，，
当且仅当时，等号成立.
因此，的最小值为.故答案为：.
16．若，且，则与2的大小关系是______．
【答案】
【解析】由题意，因为且，所以，且，
由基本不等式可得，当且仅当是等号成立，
又由，所以等号不成立，所以.故答案为.
四、解答题
17．若x,y为正实数,且,求的最小值.
【答案】18
【解析】
(当时取“=”)
所以的最小值是.
18．（1）已知正数满足，求的最小值；
（2）已知，求函数的最大值．
【答案】（1）8；（2）－1
【解析】（1）因为正数，满足，
所以，得，
当且仅当时，即时取等号，则的最小值为8；
（2）因为，所以，
所以
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为－1．
19．（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
【解析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为.
（1）由已知得，由，可得，所以，
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为；
（2）由已知得，则，矩形菜园的面积为.
由，可得，
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是.
20．已知集合，.
（1）用区间表示集合P；
（2）是否存在实数m，使得是的______条件.若存在实数m，求出m的取值范围：若不存在，请说明理由.
请从如下三个条件选择一个条件补充到上面的横线上：
①充分不必要；②必要不充分；③充要.
【解析】（1）因为即，所以，
.
（2）若选择①，即是的充分不必要条件，
则且（两个等号不同时成立），
解得，故实数m的取值范围是．
若选择②，即是的必要不充分条件．
当时，，解得．
当时，且（两个等号不同时成立），
解得．
综上，实数m的取值范围是．
若选择③，即是的充要条件，
则，即此方程组无解，
则不存在实数m，使是的充要条件．
21．已知，，求，的取值范围．
【解析】因为，所以．
又，
所以，
即．
因为，所以，
因为，所以，
所以，
即．
所以的取值范围是，的取值范围是．
22．已知都是正数，且，
（1）求的最小值；
（2）求的最小值．
【解析】(1) .
因为都是正数，所以由基本不等式得，
，
所以，当且仅当 ， 时等号成立.
所以的最小值为 .
(2) .
因为都是正数，所以由基本不等式得，
，
所以，当且仅当 ， 时等号成立.
所以的最小值为.3.2基本不等式
一、单选题
1．已知为正实数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．8 B．16 C．32 D．36
3．若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．
4．已知集合，则的子集的个数为（ ）
A． B． C． D．
5．若实数，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
6．若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为
A．， B． C． D．
7．某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位元（试剂的总产量为单位，），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（ ）
A．60单位 B．70单位 C．80单位 D．90单位
8．若，则下面结论正确的有（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．若，则有最大值
二、多选题
9．已知正实数a，b满足，则（ ）
A． B． C． D．
10．设，，，以下四个命题中正确的是（ ）．
A．若为定值，则有最大值
B．若，则有最大值4
C．若，则有最小值4
D．若总成立，则的取值范围为
11．已知实数，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．有最小值 B．有最大值
C．有最小值 D．有最大值
12．下列说法正确的是（ ）
A．的最小值是
B．的最小值是
C．的最小值是
D．的最小值是
三、填空题
13．有一批材料可以建成200m长的围墙，若用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形的地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（墙的长度足够用），则围成的整个矩形场地的最大面积是_______________.
14．已知，且，则的最小值为_________．
15．若正数、满足，则的最小值为________.
16．若，且，则与2的大小关系是______．
四、解答题
17．若x,y为正实数,且,求的最小值.
18．（1）已知正数满足，求的最小值；
（2）已知，求函数的最大值．
19．（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
20．已知集合，.
（1）用区间表示集合P；
（2）是否存在实数m，使得是的______条件.若存在实数m，求出m的取值范围：若不存在，请说明理由.
请从如下三个条件选择一个条件补充到上面的横线上：
①充分不必要；②必要不充分；③充要.
21．已知，，求，的取值范围．
22．已知都是正数，且，
（1）求的最小值；
（2）求的最小值．
