3.1不等式的基本性质
一、单选题
1．某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b匀速跑；选手乙前一半时间以速度a匀速跑，后一半时间以速度b匀速跑（注：速度单位），若，则（ ）
A．甲先到达终点 B．乙先到达终点
C．甲乙同时到达终点 D．无法确定谁先到达终点
2．已知p： q：，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．小茗同学的妈妈是吉林省援鄂医疗队的队员，为了迎接凯旋归来的英雄母亲，小茗准备为妈妈献上一束鲜花．据市场调查，已知6枝玫瑰花与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰花与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰花的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（ ）
A．3枝康乃馨价格高 B．2枝玫瑰花价格高 C．价格相同 D．不确定
4．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ）
A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于
5．已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．设a
A． B．ac－b D．
7．《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作于点F，则下列推理正确的是（ ）
A．由图1和图2面积相等得 B．由可得
C．由可得 D．由可得
8．若实数是不等式的一个解，则可取的最小正整数是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知两个不为零的实数，满足，则下列说法中正确的有（ ）
A． B． C． D．
10．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
11．设实数、、满足，，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
12．若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知正数x，y满足x2+2xy+4y2＝1，则x+y的取值范围是____.
14．已知，则的取值范围是_____．
15．已知a＞0，b＞0，则p＝﹣a与q＝b﹣的大小关系是_____．
16．已知均为正实数，且，那么的最大值为__________．
四、解答题
17．现有A，B，C，D四个长方体容器，A，B的底面积均为，高分别为a和b，C，D的底面积均为，高分别为a和b（其中）．现规定一种游戏规则：甲、乙两人每人一次从四个容器中取两个且不放回，盛水多者为胜，则先取者有没有必胜的方案？若有的话，有几种？
18．已知，，求的取值范围.
19．已知1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，求4a-2b的取值范围.
20．（1）设，，证明：；
（2）设，，，证明：.
21．已知-2（1）|a|；（2）a+b；（3）a-b；（4）2a-3b．
22．已知，.证明：
（1）；
（2）.3.1不等式的基本性质
一、单选题
1．某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b匀速跑；选手乙前一半时间以速度a匀速跑，后一半时间以速度b匀速跑（注：速度单位），若，则（ ）
A．甲先到达终点 B．乙先到达终点
C．甲乙同时到达终点 D．无法确定谁先到达终点
【答案】B
【解析】设马拉松全程为x，所以甲用的时间为，乙用的时间为，
因为，所以，
所以，则乙先到达终点.故选：B.
2．已知p： q：，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，，所以，所以充分性满足，
当时，取，此时不满足，所以必要性不满足，
所以是的充分不必要条件，故选：A.
3．小茗同学的妈妈是吉林省援鄂医疗队的队员，为了迎接凯旋归来的英雄母亲，小茗准备为妈妈献上一束鲜花．据市场调查，已知6枝玫瑰花与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰花与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰花的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（ ）
A．3枝康乃馨价格高 B．2枝玫瑰花价格高 C．价格相同 D．不确定
【答案】B
【解析】设1枝玫瑰和1枝康乃馨的价格分别元，由题意可得：，
令，
则，解得：
，
因此.所以2枝玫瑰的价格高.故选：B
4．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ）
A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于
【答案】A
【解析】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），
先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.
由杠杆的平衡原理：，．解得，，
则.下面比较与10的大小：（作差比较法）
因为，
因为，所以，即.
所以这样可知称出的黄金质量大于.故选：A
5．已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，
所以，解得：，，
因为，，所以，故选：A.
6．设aA． B．ac－b D．
【答案】B
【解析】对于A，因为a0时选项B成立，其余情况不成立，则选项B不成立；
对于C，|a|＝－a>－b，则选项C成立；
对于D，由－a>－b>0，可得，则选项D成立.故选：B
7．《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作于点F，则下列推理正确的是（ ）
A．由图1和图2面积相等得 B．由可得
C．由可得 D．由可得
【答案】C
【解析】对于A，由图1和图2面积相等得，所以，故A错误；
对于B，因为，所以，所以，，因为，所以，整理得，故B错误；
对于C，因为D为斜边BC的中点，所以，因为，所以，整理得，故C正确；
对于D，因为，所以，整理得，故D错误．
故选：C．
8．若实数是不等式的一个解，则可取的最小正整数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵实数是不等式的一个解，
∴代入得：，解得，∴a可取的最小整数是，故选：C．
二、多选题
9．已知两个不为零的实数，满足，则下列说法中正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】对于A：因为两个不为零的实数，满足，所以，而为增函数，所以，即；故A正确；
对于B：可以取，则有，所以；故B不正确；
对于C：若时，则有根据同向不等式相乘得：，即成立；若时，有，故成立；
若时，则有，，因为，所以，即成立；
故C正确；对于D：可以取，则有，所以；故D不正确；故选：AC
10．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
【答案】ABC
【解析】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，若，，则，即，故C正确；
对于D，当，时，满足，但，故D不正确．故选：ABC．
11．设实数、、满足，，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】∵，两式相减得，即，∴．
又，∴．
而．∴，从而．故选：BD．
12．若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】对于A：由可得，故选项A正确；
对于B：由可得，所以，故选项B不正确；
对于C：当时，由可得，故选项C不正确；
对于D：由可得，所以，所以，故选项D正确；
故选：AD.
三、填空题
13．已知正数x，y满足x2+2xy+4y2＝1，则x+y的取值范围是____.
【答案】（，1）
【解析】∵正数x，y满足x2+2xy+4y2＝1，可得4y2＜1，即有0＜y，
∴x2+2xy+y2＝1﹣3y2，即（x+y）2＜1，解得x+y＜1
故x+y的取值范围为（，1）故答案为：（，1）
14．已知，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】设，因此得：，，
，
因为，所以，因此，
所以.故答案为：
15．已知a＞0，b＞0，则p＝﹣a与q＝b﹣的大小关系是_____．
【答案】
【解析】因为，，与，
所以，时取等号，
所以．故答案为：．
16．已知均为正实数，且，那么的最大值为__________．
【答案】
【解析】因为均为正实数，所以由题可得：，即，，，三式相加得：，所以所以的最大值为4故答案为：4
四、解答题
17．现有A，B，C，D四个长方体容器，A，B的底面积均为，高分别为a和b，C，D的底面积均为，高分别为a和b（其中）．现规定一种游戏规则：甲、乙两人每人一次从四个容器中取两个且不放回，盛水多者为胜，则先取者有没有必胜的方案？若有的话，有几种？
【解析】（1）若先取、，后者只能取、，
因为，
显然，而，的大小不定，所以正负不确定，
所以这种取法没有必胜的把握；
（2）若先取、，后者只能取、，
因为，
显然，而，的大小不定，所以正负不确定，
所以这种取法没有必胜的把握；
（3）若先取、，后者只能取、，
因为，
又，，，所以，即，
故先取、是唯一必胜的方案．
18．已知，，求的取值范围.
【解析】设，则有：
，解得：，所以.
因为，所以，
因为，所以，
所以，
即，
所以的取值范围为.
19．已知1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，求4a-2b的取值范围.
【答案】
【解析】令4a-2b=x(a+b)+y(a-b)，
所以4a-2b=(x+y)a+(x-y)b.
所以
解得
因为1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，
所以
所以-2≤4a-2b≤10.
20．（1）设，，证明：；
（2）设，，，证明：.
【解析】证明：（1）因为，，所以，。
所以，
故得证；
（2）由不等式的性质知，，
所以，
又因为根据（1）的结论可知，，
所以.
所以.
21．已知-2（1）|a|；（2）a+b；（3）a-b；（4）2a-3b．
【解析】（1）因-2所以|a|∈[0，3]；
（2）因-2所以-1（3）因1≤b<2，则-2<-b≤-1，又-2所以-4（4）由-2所以-10<2a-3b≤3.
22．已知，.证明：
（1）；
（2）.
【解析】解：证明：（1）∵，，
∴，
又，，
∴，
故；
（2）由，得，
又，
∴，
即，
又，
∴.