2.2 充分条件、必要条件、充要条件
一、单选题
1．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当时，或，即命题“若，则”是假命题，
而时，成立，即命题“若，则”是真命题，
所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B
2．若，则“”是 “”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
3．设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的 （ ） 条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为A，，，，
由甲是乙的充分不必要条件得，B，由乙是丙的充要条件得，，
由丁是丙的必要不充分条件得，D，
所以D，，故甲是丁的充分不必要条件.故选：A.
4．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】求解二次不等式可得：或，
据此可知：是的充分不必要条件.故选：A.
5．若不等式成立的充分条件为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不等式成立的充分条件是，
设不等式的解集为A，则，当时，，不满足要求；
当时，，
若，则，解得.故选：A.
6．“学生甲在河北省”是“学生甲在沧州市”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为若“学生甲在沧州市”则“学生甲一定在河北省”，必要性成立；
若“学生甲在河北省”则“学生甲不一定在沧州市”，充分性不成立，
所以“学生甲在河北省”是“学生甲在沧州市”的必要不充分条件，故选：B．
7．若、为实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】若成立，取，而，即命题“若，则”是假命题，若成立，取，而，即命题“若，则”是假命题，所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D
8．已知、、、，则“”是“”的（ ）注：表示、之间的较大者.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】充分性：取，，则成立，
但，充分性不成立；
必要性：设，则，，
从而可得，必要性成立.
因此，“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
二、多选题
9．已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，下列命题正确的是（ ）
A．是的充要条件 B．是的充分不必要条件
C．是的必要不充分条件 D．是的充分不必要条件
【答案】AB
【解析】由已知有
所以且，故A正确，C不正确
，B正确，且，D不正确故选：AB
10．已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则或 D．若时，则或
【答案】ABC
【解析】，若，则，且，故A正确.
时，，故D不正确.
若，则且，解得，故B正确.
当时，，解得或，故C正确.故选：ABC．
11．已知关于x的方程，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，方程的两个实数根之和为0 B．方程无实数根的一个必要条件是
C．方程有两个正根的充要条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是
【答案】BCD
【解析】对于选项A，方程为，方程没有实数根，所以选项A错误；
对于选项B，如果方程没有实数根，则所以，是的必要条件，所以选项B正确；
对于选项C，如果方程有两个正根，则所以，所以方程有两个正根的充要条件是，所以选项C正确；
对于选项D，如果方程有一个正根和一个负根，则所以，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是，所以选项D正确.
故选：BCD
12．使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】AC
【解析】不等式等价于，也就是，
故不等式的解集为.
A、B、C、D四个选项中，只有A、C中对应的集合为的真子集.
故选：AC.
三、填空题
13．若p：x(x－3)＜0是q：2x－3＜m的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________.
【答案】m≥3
【解析】p：x(x－3)＜0，则0＜x＜3；q：2x－3＜m，则，
因为p：x(x－3)＜0是q：2x－3＜m的充分不必要条件，
所以，解得m≥3.故答案为：m≥3
14．已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】是的充分不必要条件，，
需满足，解得，综上，的取值范围是.故答案为：.
15．设α：2＜x≤4，β：x＞m，α是β的充分条件，则实数m的取值范围是__．
【答案】（﹣∞，2]
【解析】∵α：2＜x≤4，β：x＞m，若α是β的充分条件，则m≤2．
∴实数m的取值范围是（﹣∞，2]．故答案为：（﹣∞，2]．
16．设：，：，是的充分条件，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由于是的充分条件，所以.故答案为：.
四、解答题
17．对于有限个自然数组成的集合，定义集合，记集合的元素个数为.定义变换，变换将集合变换为集合.
（1）若，求；
（2）若集合，证明：的充要条件是.
【解析】（1）若集合, 则根据定义可得：.
（2）由.
充分性：设是公差为的等差数列,
则
且, 所以共有个不同的值, 即.
必要性：若,
因为,
所以中有个不同的元素：,
任意的值都与上述某一项相等.
又, 且.
所以, 所以是等差数列，且公差不为.
18．已知集合，集合.
（1）求集合；
（2）若是的必要条件，求实数的取值范围.
【解析】（1）因为，所以，
所以，所以，故；
（2）由得，
由是的必要条件，知.
①当，即时，，则，解得；
②当，即时，，则，解得；
③当，即时，，不满足.
综上可得，实数的取值范围为.
19．设分别为的三边的长，求证：关于的方程与有公共实数根的充要条件是.
【解析】证明：必要性：设方程与有公共实数根，则
两式相减并整理，得
，将此式代入中，可得，故
充分性：，，.①
将①代入方程中，可得，即.
将①代入方程中，可得，即
故两方程有公共实数根.
关于的方程与有公共实数根的充要条件.
20．（1）已知命题，使得成立；若命题为假命题，求实数的取值范围；
（2）已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【解析】（1）因为命题r为假命题，所以命题r的否定：恒成立为真命题，
则，解得，故实数a的取值范围为
（2）∵，∴，即；
∵，∴，
∴p是q的必要不充分条件，∴，解得，
∴所求实数a的取值范围是.
21．已知集合，.
（1）用区间表示集合P；
（2）是否存在实数m，使得是的______条件.若存在实数m，求出m的取值范围：若不存在，请说明理由.
请从如下三个条件选择一个条件补充到上面的横线上：
①充分不必要；②必要不充分；③充要.
【解析】（1）因为即，所以，
.
（2）若选择①，即是的充分不必要条件，
则且（两个等号不同时成立），
解得，故实数m的取值范围是．
若选择②，即是的必要不充分条件．
当时，，解得．
当时，且（两个等号不同时成立），
解得．
综上，实数m的取值范围是．
若选择③，即是的充要条件，
则，即此方程组无解，
则不存在实数m，使是的充要条件．
22．已知全集为，集合，.
（1）求；
（2）若，且“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.
【解析】（1），又，
（2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以，因为所以解得，即2.2 充分条件、必要条件、充要条件
一、单选题
1．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．若，则“”是 “”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的 （ ） 条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
4．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若不等式成立的充分条件为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．“学生甲在河北省”是“学生甲在沧州市”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．若、为实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知、、、，则“”是“”的（ ）注：表示、之间的较大者.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
9．已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，下列命题正确的是（ ）
A．是的充要条件 B．是的充分不必要条件
C．是的必要不充分条件 D．是的充分不必要条件
10．已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则或 D．若时，则或
11．已知关于x的方程，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，方程的两个实数根之和为0 B．方程无实数根的一个必要条件是
C．方程有两个正根的充要条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是
12．使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C．或 D．
三、填空题
13．若p：x(x－3)＜0是q：2x－3＜m的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________.
14．已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_________．
15．设α：2＜x≤4，β：x＞m，α是β的充分条件，则实数m的取值范围是__．
16．设：，：，是的充分条件，则实数的取值范围是__________.
四、解答题
17．对于有限个自然数组成的集合，定义集合，记集合的元素个数为.定义变换，变换将集合变换为集合.
（1）若，求；
（2）若集合，证明：的充要条件是.
18．已知集合，集合.
（1）求集合；
（2）若是的必要条件，求实数的取值范围.
19．设分别为的三边的长，求证：关于的方程与有公共实数根的充要条件是.
20．（1）已知命题，使得成立；若命题为假命题，求实数的取值范围；
（2）已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
21．已知集合，.
（1）用区间表示集合P；
（2）是否存在实数m，使得是的______条件.若存在实数m，求出m的取值范围：若不存在，请说明理由.
请从如下三个条件选择一个条件补充到上面的横线上：
①充分不必要；②必要不充分；③充要.
22．已知全集为，集合，.
（1）求；
（2）若，且“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.
