2.1 命题、定理、定义
一、单选题
1．语句“若，则”是（ ）
A．不是陈述句 B．真命题 C．假命题 D．不能判断真假
2．下列语句是命题的是（ ）
A．小明很帅 B．请把手机收起来！
C． D．
3．已知下列命题：①若，则；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；③对角线互相平分且相等的四边形是菱形，④如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等；⑤若，则，其中正确命题的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．命题“中，若，则是钝角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．空集没有子集
B．空集是任何集合的一个真子集
C．空集的元素个数为0
D．任何一个集合至少有两个不同子集
6．已知命题：若，则；命题：函数有两个零点，则下列说法正确的是（ ）
①为真命题；
②为真命题；
③为真命题；
④为真命题
A．①② B．①④ C．②③ D．①③④
7．下列命题中，真命题是（ ）
A．命题“若，则”
B．命题“若，则”的逆命题
C．命题“当时，”的否命题
D．命题“终边相同的角的同名三角函数值（三角函数值存在）相等”的逆否命题
8．已知命题p：存在一个无理数，它的平方是有理数，命题q：“a>b”是“”的充要条件，则下列命题为真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则或
B．若，则
C．是偶数
D．
10．命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
11．下列命题是假命题的为（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
12．下列语句不是命题的有（ ）.
A． B．与一条直线相交的两直线平行吗？
C． D．
三、填空题
13．命题：“若，则”的逆否命题是________．
14．有下列四个命题：①“若，则x，y互为倒数”的逆命题；②“正方形是矩形”的否命题；③“若，则且”的逆否命题；④若为假命题，则p，q均为假命题．其中真命题的序号是__．（把所有正确命题的序号都填上）
15．设表示不大于的最大整数，则对任意实数，给出以下四个命题：
①；
②；
③；
④.
则假命题是______(填上所有假命题的序号).
16．若a、b、c、d是实数，则下列是真命题的是______.（填所有真命题的序号）
①如果，且，那么；
②若果，那么或；
③如果，那么；
④如果，那么，其中n是正整数.
四、解答题
17．判断命题“若，则，全为零”的真假，并证明你的结论．
18．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．
（1）当ab＝0时，a＝0或b＝0；
（2）等腰三角形的两个底角相等；
（3）末位数字是0或5的整数，能被5整除；
（4）方程x2＋x＋1＝0有两个实数根．
19．给定两个命题，p：对于任意实数都有恒成立；q：关于的方程有实数根；
（1）若p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）如果p与q中至少有一个为真命题，求实数a的取值范围；
（3）如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．
20．命题“若，则”，请写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它的真假．
21．判断下列命题的真假，并说明理由.
(1)如果，那么x与y同号或x y中至少一个为零；
(2)若x，，，，则，.
22．将下列性质定理写成“若，则”的形式，并用必要条件的语言表述：
（1）平面四边形的外角和为；
（2）在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标相等.2.1 命题、定理、定义
一、单选题
1．语句“若，则”是（ ）
A．不是陈述句 B．真命题 C．假命题 D．不能判断真假
【答案】B
【解析】因为可以判断真假的语句叫命题，判断为真的语句叫做真命题，
而当时，一定 成立．
所以语句“若，则”是真命题故选：B．
2．下列语句是命题的是（ ）
A．小明很帅 B．请把手机收起来！
C． D．
【答案】D
【解析】能够判断真假的陈述句叫命题，则只有，能够判断真假，
故只有D是命题，故选：D．
3．已知下列命题：①若，则；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；③对角线互相平分且相等的四边形是菱形，④如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等；⑤若，则，其中正确命题的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【解析】①若，满足，但，故①错误；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，正确；
③对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故错误，
④如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，正确；
⑤若则，故错误．故选：C．
4．命题“中，若，则是钝角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】时，，为钝角，原命题是真命题，逆否命题也是真命题.
其逆命题为“若是钝角三角形，则”，也可能是为钝角，， 这是一个假命题，于是否命题也是假命题.
因此真命题的个数是2.故选：C.
5．下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．空集没有子集
B．空集是任何集合的一个真子集
C．空集的元素个数为0
D．任何一个集合至少有两个不同子集
【答案】C
【解析】空集的子集是它本身，故A错误；
空集是任何非空集合的一个真子集，故B错误；
空集的元素个数为0 ，故C正确；
空集只有一个子集，是它本身，故D错误.故选：C.
6．已知命题：若，则；命题：函数有两个零点，则下列说法正确的是（ ）
①为真命题；
②为真命题；
③为真命题；
④为真命题
A．①② B．①④ C．②③ D．①③④
【答案】C
【解析】对于：记，∵，∴在上单增，所以当时，有，即，故是真命题；
对于命题：∵，，∴函数在上有一个零点，又∵，∴函数至少有三个零点，故为假，∴为假命题.
所以①为假命题；②为真命题；③为真命题；④为假命题
故②③为真.故选：C.
7．下列命题中，真命题是（ ）
A．命题“若，则”
B．命题“若，则”的逆命题
C．命题“当时，”的否命题
D．命题“终边相同的角的同名三角函数值（三角函数值存在）相等”的逆否命题
【答案】D
【解析】A．当时，不成立，A错；
B．命题“若，则”的逆命题是若，则，错误，也可能是；
C．命题“当时，”的否命题是若，则，错误，时，也有；
D．命题“终边相同的角的同名三角函数值（三角函数值存在）相等”是真命题，逆否命题也是真命题．故选：D．
8．已知命题p：存在一个无理数，它的平方是有理数，命题q：“a>b”是“”的充要条件，则下列命题为真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】命题p：存在一个无理数，它的平方是有理数，取无理数，则为有理数.故p为真命题；命题q：“a>b”是“”的充要条件.当c=0时，由“a>b”不能推出“”.故q为假命题.
所以为假命题，为真命题，为假命题，为假命题.故选：B
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则或
B．若，则
C．是偶数
D．
【答案】ACD
【解析】解：对于A，由，可得或，所以此命题是真命题，
对于B，当时，成立，而此时，所以此命题为假命题，
对于C，是偶数，是真命题，对于D，，是真命题，故选：ACD
10．命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】命题“，”是真命题,等价于，
当时，，所以.
选项A是充要条件，选项BC是充分不必要条件，选项D是既不充分也不必要条件.
故选：BC
11．下列命题是假命题的为（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BCD
【解析】A选项，若，则，A正确.
B选项，若，则，B错误.
C选项，时，不能得到，C错误.
D选项，，但，D错误.故选：BCD
12．下列语句不是命题的有（ ）.
A． B．与一条直线相交的两直线平行吗？
C． D．
【答案】ABD
【解析】命题为可以判断真假的陈述句，
对于A，不能判断真假，故不是命题；
对于B，语句为疑问句，故不是命题；
对于C，是错误的，能判断真假，故是命题；
对于D，不能判断真假，故不是命题.故选：ABD.
三、填空题
13．命题：“若，则”的逆否命题是________．
【答案】若，则
【解析】命题：若，则的逆否命题是若，则，故答案为：若，则.
14．有下列四个命题：①“若，则x，y互为倒数”的逆命题；②“正方形是矩形”的否命题；③“若，则且”的逆否命题；④若为假命题，则p，q均为假命题．其中真命题的序号是__．（把所有正确命题的序号都填上）
【答案】①④
【解析】①“若，则x，y互为倒数”的逆命题为“若x，y互为倒数”，则，为真命题；②“正方形是矩形”的否命题为“存在一个正方形不是矩形”为假命题；
③命题“若，则且”为假命题，则逆否命题也为假命题；
④若为假命题，则p，q均为假命题，故④为真命题；
所以真命题的序号为①④，故答案为：①④
15．设表示不大于的最大整数，则对任意实数，给出以下四个命题：
①；
②；
③；
④.
则假命题是______(填上所有假命题的序号).
【答案】①②③
【解析】对于①，由，可得，故①为假命题；
对于②，由，可得，故②为假命题；
对于③，由，可得，故③为假命题；
对于④，当时，，，
此时满足；
当时，，，
此时满足；故④为真命题；
故答案为：①②③.
16．若a、b、c、d是实数，则下列是真命题的是______.（填所有真命题的序号）
①如果，且，那么；
②若果，那么或；
③如果，那么；
④如果，那么，其中n是正整数.
【答案】①
【解析】如果，且，那么
由推不出或，如
由推不出，如时
由推不出，如时
故答案为：①
四、解答题
17．判断命题“若，则，全为零”的真假，并证明你的结论．
【解析】真命题，证明如下：由于，，所以．
若，则，必须同时成立，
所以且，所以该命题是真命题．
18．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．
（1）当ab＝0时，a＝0或b＝0；
（2）等腰三角形的两个底角相等；
（3）末位数字是0或5的整数，能被5整除；
（4）方程x2＋x＋1＝0有两个实数根．
【解析】（1）若ab＝0，则a＝0或b＝0，是真命题；
（2）若一个三角形是等腰三角形，则两个底角相等，由等腰三角形的定义知是真命题；
（3）若一个整数的末位数字是0或5，则能被5整除，由整除知是真命题；
（4）若一个方程为x2＋x＋1＝0，则它有两个实数根，由知是假命题．
19．给定两个命题，p：对于任意实数都有恒成立；q：关于的方程有实数根；
（1）若p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）如果p与q中至少有一个为真命题，求实数a的取值范围；
（3）如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．
【解析】（1）若p为真命题，即对于任意实数都有恒成立，
当时，满足题意，当时，则 ，
解得：，综上所述：；
（2）若为真命题，即关于的方程有实数根，
则，解得：，
若p与q都是假命题， 则，解得：，
若p与q中至少有一个为真命题，则；
（3）若p与q中有且仅有一个为真命题，则或，解得：或，综上所述：.
20．命题“若，则”，请写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它的真假．
【解析】逆命题：若，则,该命题为假命题,因为还可能得到;
否命题：若，则,该命题为假命题,因为逆命题和否命题互为逆否命题且逆命题为假命题,所以否命题也是假命题.
逆否命题：若，则,该命题是真命题,因为原命题是真命题.
故答案为 逆命题：若，则（假）；否命题：若，则（假）；逆否命题：若，则（真）.
21．判断下列命题的真假，并说明理由.
(1)如果，那么x与y同号或x y中至少一个为零；
(2)若x，，，，则，.
【解析】(1)因为，所以，所以，所以，所以与同号，或、中至少一个为零，故命题为真命题；
(2)因为x，，，，若，，满足，，但是，不成立，故命题为假命题；
22．将下列性质定理写成“若，则”的形式，并用必要条件的语言表述：
（1）平面四边形的外角和为；
（2）在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标相等.
【解析】（1））平面四边形的外角和为，写成“若，则”的形式：若平面多边形是四边形，则它的外角和为，“外角和为”是“平面多边形是四边形”的必要条件；
（2）在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标相等，写成“若，则”的形式：在平面直角坐标系中，若两个点关于轴对称，则两个点的横坐标相等，“两个点的横坐标相等”是“两个点关于轴对称”的必要条件.
