4.2 对数
一、单选题
1．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【答案】C
【解析】由，当时，，则.
故选：C.
2．已知，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，，所以可知，故选：C
3．若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得且，
∴，当且仅当，即时取等号.故选：A
4．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W 信道内信号的平均功率S 信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（ ）（附：）
A．20% B．23% C．28% D．50%
【答案】B
【解析】将信噪比从1000提升至5000时，C大约增加了
.故选：B.
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，
．故选：B．
6．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
【答案】C
【解析】，所以，则，
所以，，解得.故选：C.
7．设，，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ， ，则.故选D
8．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．
【答案】A
【解析】两颗星的星等与亮度满足,令,
.故选A.
二、多选题
9．方程的解为（ ）
A．10 B． C．1000 D．
【答案】BC
【解析】对两边取以10为底的对数，得，即，
解得或，所以或．故选：BC．
10．（多选）已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】由，得．
，故B正确；
由，，且得，故A正确；
，故C错误；
，故D正确．
故选ABD．
11．设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】解：∵a＝log0.20.3，b＝log20.3<0，∴,
，
，
∵，，∴ab＜a+b＜0．故选BCD
12．（多选）音乐是由不同频率的声音组成的，若音1(do)的频率为f，则简谱中七个音1(do)，2(re)，3(mi)，4(fa)，5(so)，6(la)，7(si)组成的音阶频率分别是f，，，，，，，其中相邻两个音的频率比是一个音到另一个音的音阶，上述音阶只有两个不同的值，记为，，称为全音，称为半音，则下列关系式成立的是（参考数据：，）（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】由题意可知，相邻两个音的频率比分别为，，，，，，所以，，对于A，，所以故A错误，
对于B，，所以B错误，对于C，，故C正确．对于D，，故D正确．故选：CD．
三、填空题
13．若，，则用，表示等于________.
【答案】
【解析】因为，所以，得到.
.故答案为：
14．若，则________．
【答案】64
【解析】
.
15．如果，那么__________．
【答案】32
【解析】因为，故，故
故答案为：32
16．解指数方程：__________.
【答案】或
【解析】由得，即，当即时，显然成立；
当时，，解得；故方程的解为：或.
故答案为：或.
四、解答题
17．计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
【解析】（1）原式=；
（2）原式= .
18．计算下列各式：
（1）；
（2）；
（3）．
【解析】解：（1）
（2）
（3）
19．设实数a，b，c为正数，且满足，，，求实数a，b，c的值．
【解析】由得，即，
由得，又，
∴.
20．（1）证明对数换底公式：（其中且，且，）
（2）已知，试用表示.
【解析】（1）设，写成指数式.
两边取以为底的对数，得.
因为，，，因此上式两边可除以，得.
所以，.
（2）.
21．已知a>0且a≠1，M>0，N>0.
(1)举出一个反例说明不成立；
(2)证明：.
【解析】（1）假设，
则，，
.
因为，
所以当时不成立.（反例不唯一，计算正确即可）
（2）令，则
，，
所以.
22．设，，均为正数，且.
（1）试求，，之间的关系.
（2）求使成立，且与最近的正整数（即求与的差的绝对值最小的整数）.
（3）比较，，的大小.
【解析】设，由，，均为正数知.
故取以为底的对数，可得.
∴，，.
（1），
∴，，之间的关系为.
（2）.
由，得，从而.
而，.
由知，
∴.
从而所求正整数为3.
（3）∵
.
而，，，，∴.
又∵，
而，，，，∴.
故有.4.2 对数
一、单选题
1．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
2．已知，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W 信道内信号的平均功率S 信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（ ）（附：）
A．20% B．23% C．28% D．50%
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
7．设，，则
A． B． C． D．
8．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．
二、多选题
9．方程的解为（ ）
A．10 B． C．1000 D．
10．（多选）已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
11．设，则（ ）
A． B． C． D．
12．（多选）音乐是由不同频率的声音组成的，若音1(do)的频率为f，则简谱中七个音1(do)，2(re)，3(mi)，4(fa)，5(so)，6(la)，7(si)组成的音阶频率分别是f，，，，，，，其中相邻两个音的频率比是一个音到另一个音的音阶，上述音阶只有两个不同的值，记为，，称为全音，称为半音，则下列关系式成立的是（参考数据：，）（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．若，，则用，表示等于________.
14．若，则________．
15．如果，那么__________．
16．解指数方程：__________.
四、解答题
17．计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
18．计算下列各式：
（1）；
（2）；
（3）．
19．设实数a，b，c为正数，且满足，，，求实数a，b，c的值．
20．（1）证明对数换底公式：（其中且，且，）
（2）已知，试用表示.
21．已知a>0且a≠1，M>0，N>0.
(1)举出一个反例说明不成立；
(2)证明：.
22．设，，均为正数，且.
（1）试求，，之间的关系.
（2）求使成立，且与最近的正整数（即求与的差的绝对值最小的整数）.
（3）比较，，的大小.
