第5章 5.1函数概念与图像（练习）
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
班级 姓名：
选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．下列说法中正确的是（ ）
A．函数的定义域和值域一定是无限集
B．函数值域中的每一个数，在定义域中都有唯一的数与之对应
C．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了
D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素
【答案】D
【解析】函数的定义域和值域也可以是有限集，A错误．对于定义域中的每一个数x，在值域中都有唯一的数y和它对应，反之则不然，故B错误，D正确，C显然错误．
故选：D.
2.若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】选项A中，当时，，不符合题意，排除A；选项C中，存在一个x对应多个y值，不是函数的图象，排除C；选项D中，x取不到0，不符合题意，排除D.
故选：B.
3.下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．f（x）=1与g（x）=x0 B．与
C．f（x）=x与g（x）= D．与
【答案】B
【分析】根据同一函数的判断标准，只要定义域相同，解析式一致，即为同一函数
【详解】A选项：两个函数定义与不同：f(x)定义域为R，g(x)定义域，排除A
C选项：f(x)定义域为R，g(x)定义域，定义域不同，故排除C
D选项：：f(x)定义域为，g(x)定义域，故排除D，
故选：B
4.若函数，且，则（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】C
【解析】令，
由，可得，即，
由，可得，
故选：C
5.若函数的定义域为，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】函数的定义域为，
对任意实数恒成立．
若，不等式成立；
若，要使对任意实数恒成立，
则，解得．
综上：．
故选A．
6.函数，，则的值域为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】：，
．
所以该函数的值域为．
故选：．
7．已知函数的定义域为(－2,0)，则的定义域为（ ）
A．(－1,0) B．(－2,0) C．(0,1) D．
【答案】C
【点拨】由题设函数的定义域，应用换元法求出的定义域，进而求的定义域即可.
【详解】由题设，若，则，
∴对于有，故其定义域为.
故选：C
8.已知三次函数，且，，，则（ ）
A．2023 B．2027 C．2031 D．2035
【答案】D
【解析】设，则，
所以，所以，
所以.
故选：D.
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9．已知定义域为的函数，若对任意，存在正数，都有成立，则称函数是定义域为上的“有界函数”．已知下列函数：
（1）；（2）；（3）；（4）．
其中“有界函数”是（ ）
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
【答案】BC
【解析】对于（1）：，
由于，所以，，不存在正数，使得成立，不满足题意；故不是有界函数；
对于（2）令，，则，
因为，当时，函数的最大值为，
所以，即，，为有界函数；
对于（3）令，当时，函数有最小值，即，所以，所以，故函数为有界函数；
对于（4）令， ，则，即，，
当时，，无最小值，即，，此时不存在正数，都有成立，故该函数不是有界函数．
故选：BC.
10．已知函数的图像由如图所示的两条曲线组成，则（ ）
A． B．
C．函数的定义域是 D．函数的值域是
【答案】AD
【解析】选项A：由图像可得，所以，A正确；
选项B：图像法只能近似地求出函数值，且有时误差较大，故由图像不能得出的确定值，B错误；
选项C：由图像可得函数的定义域为，C错误；
选项D：由图像可得函数的值域为，D正确.
故选：AD.
11．我们把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“函数”：（1）对任意的，总有；（2）若，，则有成立.下列判断正确的是（ ）
A．若为“函数”，则
B．函数在上是“函数”
C．函数在上是“函数”
D．若为“函数”，，则
【答案】ACD
【解析】A选项，由（1）知，由（2）得时，，即，∴，故A正确；B选项，显然满足（1），若x，，则，，若x，，
设，，则，，与（2）不符，故B不正确；C选项，，∵，∴，满足（1），，满足（2），故C正确；
D选项，∵，
∴
，
∵，∴，∴，故D正确.
故选：ACD.
12.已知函数的定义域为，值域为，则（ ）
A．函数的定义域为 B．函数的值域为
C．函数的定义域和值域都是 D．函数的定义域和值域都是
【答案】BC
【解析】对于选项A：令可得，所以函数的定义域为，
故选项A不正确；
对于选项B：因为值域为，，所以的值域为，可得函数的值域为，故选项B正确；
对于选项C：令，因为可得恒成立，所以函数的定义域为，因为，所以函数的值域为，故选项C正确；
对于选项D：若函数的值域是，则，此时无法判断其定义域是否为，故选项D不正确，
故选：BC
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.函数的值域为 ．
【答案】
【解析】由对勾函数的单调性可知，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数有最小值，
，，
当时，函数有最大值，
故函数的值域为．
故答案为：．
14.函数的定义域为，值域为，则
【答案】
【解析】：由函数的定义域为，值域为
所以，解得，
故答案为．
15．已知函数，，其中.若对任意的，存在，使得成立，则实数的值等于______.
【答案】
【点拨】首先等式转化为，并构造函数，分别求和在上的值域，转化为值域的包含关系，列不等式求解.
【详解】由可得，令，则.而，所以对任意的，存在，使得成立.因为，所以在上的值域为，在上的值域为，依题意有，故，可得，得.
故答案为：
16.高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的概念、定理、公式很多．如高斯函数，其中不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作．如，，，记函数，则________，的值域为________．
【答案】 0.8
【解析】因为高斯函数表示不超过实数的最大整数，，
所以，
函数函数的定义域为，
表示不超过实数的最大整数称为的整数部分，
所以，，，即，
所以的值域为．
故答案为：；.
四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知函数，
(1)点在的图象上吗？
(2)当时，求的值；
(3)当时，求x的值；
(4)求的值.
【答案】(1)不在(2)(3)14(4)
【解析】根据函数的定义，即点的横坐标与纵坐标满足函数解析式，则该点在函数图像上，否则不在.
(1)将x=3代入解析式得，故点（3,4）不在函数图像上；
(2)将x=4代入函数解析式得 ；
(3)若，则 ，解得x=14；
(4) ， .
18．求下列函数的值域．
（1）求函数的值域．
（2） 求函数的值域．
（3）求函数，的值域．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】试题分析：本题主要考查函数的值域等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一题，先将变形，使之成为完全平方的形式，再利用确定y的取值范围；第二题，利用判别式法求函数的值域，先将去分母，整理成关于x的方程，讨论前的系数是否为0，当时，直接验证方程是否有实根，当时，利用，保证方程有实根，从而解出y的范围；第三题，利用换元法求函数的值域，令，则，
所以，再利用x的范围，求和的范围，最后利用不等式的性质计算y的取值范围.
试题解析：(1) .
当时，y取最小值，
所以函数值域是．
（2）由函数解析式得.
①当时，①式是关于x的方程有实根．
所以，解得.
又当时，存在使解析式成立，
所以函数值域为．
（3）令，
因为，所以，
所以，
所以，
所以．
所以该函数值域为．
19．已知函数的定义域为集合，函数的定义域为集合，
(1)当时，求；
(2)设命题，命题，的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)或
【解析】（1）根据解分式不等式求出集合；把的值代入得到，由可求出集合，从而可求；
（2）通过解含参不等式可求出集合；根据的充分不必要条件可得出A是B的真子集，从而可求出实数的取值范围．
(1)由，得，即，
∴；
当时，，
由，得或，∴或，
∴或
(2)由得，
∴或，∴或，
因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集，
∴或，即或，
所以a的取值范围是或.
20．已知函数．
(1)求，的值；
(2)求证：的定值；
(3)求的值．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)2022
【解析】（1）代入计算函数值可得答案；
（2）化简计算可得答案；
（3）利用可得答案.
（1）
因为，所以
，；
（2）
，是定值；
（3）
由（2）知，因为，
，，……，，
所以.
21．已知函数 ．
(1)求函数的定义域；
(2)设（为实数），求在时的最大值；
(3)对（2）中，若对所有的实数及恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【解析】(1)，所以的定义域为.
(2)令，，
所以，
所以转化为，
依题意，所以函数的开口向下，
对称轴，
①，若，即，则.
②，若，即，则.
所以.
(3)由（2）得，
若，则.
所以当时，，
所以的最小值为.
依题意对及恒成立，
则，
令，对所有的成立，
只需，
解得或或.
22．对于函数，若，则称x为的“不动点”；若，则称x为的“稳定点”．函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即，．
(1)求证：；
(2)设，若，求集合B．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】小问1：分别讨论与的情况，当时,设，则，即进而得证；
小问2：由可得,则,进而求解即可．
(1)
证明：若，则显然成立．
若，设任意，则，，
∴，故成立；
(2)
∵，∴，且，
即∴∴∴．
∵，∴，
∴，即，
∴，∴或或．
∴．第5章 5.1函数概念与图像（练习）
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
班级 姓名：
选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．下列说法中正确的是（ ）
A．函数的定义域和值域一定是无限集
B．函数值域中的每一个数，在定义域中都有唯一的数与之对应
C．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了
D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素
2.若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3.下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．f（x）=1与g（x）=x0 B．与
C．f（x）=x与g（x）= D．与
4.若函数，且，则（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
C． D．
5.若函数的定义域为，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.函数，，则的值域为( )
A. B. C. D.
7．已知函数的定义域为(－2,0)，则的定义域为（ ）
A．(－1,0) B．(－2,0) C．(0,1) D．
8.已知三次函数，且，，，则（ ）
A．2023 B．2027 C．2031 D．2035
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9．已知定义域为的函数，若对任意，存在正数，都有成立，则称函数是定义域为上的“有界函数”．已知下列函数：
（1）；（2）；（3）；（4）．
其中“有界函数”是（ ）
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
10．已知函数的图像由如图所示的两条曲线组成，则（ ）
A． B．
C．函数的定义域是 D．函数的值域是
11．我们把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“函数”：（1）对任意的，总有；（2）若，，则有成立.下列判断正确的是（ ）
A．若为“函数”，则
B．函数在上是“函数”
C．函数在上是“函数”
D．若为“函数”，，则
12.已知函数的定义域为，值域为，则（ ）
A．函数的定义域为 B．函数的值域为
C．函数的定义域和值域都是 D．函数的定义域和值域都是
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.函数的值域为 ．
14.函数的定义域为，值域为，则
15．已知函数，，其中.若对任意的，存在，使得成立，则实数的值等于______.
16.高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的概念、定理、公式很多．如高斯函数，其中不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作．如，，，记函数，则________，的值域为________．
四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知函数，
(1)点在的图象上吗？
(2)当时，求的值；
(3)当时，求x的值；
(4)求的值.
18．求下列函数的值域．
（1）求函数的值域．
（2） 求函数的值域．
（3）求函数，的值域．
19．已知函数的定义域为集合，函数的定义域为集合，
(1)当时，求；
(2)设命题，命题，的充分不必要条件，求实数的取值范围．
20．已知函数．
(1)求，的值；
(2)求证：的定值；
(3)求的值．
21．已知函数 ．
(1)求函数的定义域；
(2)设（为实数），求在时的最大值；
(3)对（2）中，若对所有的实数及恒成立，求实数的取值范围．
22．对于函数，若，则称x为的“不动点”；若，则称x为的“稳定点”．函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即，．
(1)求证：；
(2)设，若，求集合B．
