第5章 5.3函数的单调性（练习）
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
班级 姓名：
选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由知，函数为开口向上，对称轴为的二次函数，则单调递增区间是.
故选：B.
2．定义域为R的函数满足:对任意的，有，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】定义域在上的函数满足：对任意的，，有，
可得函数是定义域在上的增函数，
所以（1）（3）．
故选：．
3．若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意可知，，所以，解得．
故选：B．
4．函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令，解得，
令，则，
∵函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在定义域内递增，
∴根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间是
故选：C
5．已知函数若，则的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：依题意，解得a＝－1，故，可知在上单调递增
故选：D
6．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分段函数、二次函数、一次函数的单调性可建立不等式求解.
【解析】由题意，解得，
故选：B
7．若关于的不等式的解集为，则实数的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，，则恒成立，即任意满足，作出的图象，由图可知.
故选：D
8.已知是定义在上的函数，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以由
，
构造函数，由，
因为，所以函数是上的增函数，
当时，函数是上的增函数，符合题意；
当时，函数的对称轴为：，
当时，显然函数是上的增函数，符合题意；
当时，要想函数是上的增函数，只需，而，所以，
综上所述：实数a的取值范围是，
故选：C
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9.如果函数在上单调递增，对于任意的，，下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】由函数单调性的定义，可知若函数在给定的区间上单调递增，则与同号，由此可知，选项A，B正确，D错误；对于选项C，因为，的大小关系无法判断，所以，的大小关系也无法判断，故C错误，
故选：AB．
10．已知函数在区间上单调递增，则，的取值可以是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】AC
【解析】在上单调递增,则满足:,即,故，满足，，满足，
故选:AC
11.已知函数，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．在上单调递增 D．的值域为
【答案】ABC
【解析】，故A错误；
，故B错误；
，在上不单调递增，故C错误；
，时，，当时，由周期性可知，综上知的值域为，故D正确.
故选：ABC
12．已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（ ）
A．的图象关于对称
B．
C．在上的最大值是10
D．不等式的解集为
【答案】ACD
【解析】解：因为，则有，令，则，则，令则，即，故的图象关于对称，即A正确；
令，则，
令代x，则，即，即，故B错误；
设且，则，由，令，，则，即，由时，，得，则，所以，所以，即在上单调递减，又，所以，，又，所以，故在上的最大值为，故C正确；
由，即，即，即，又因为，即，所以，即，即，即，解得，即原不等式的解集为，故D正确；
故选：ACD
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知函数的图象如图所示，若在上单调递增，则的取值范围为_____.
【答案】
【解析】由图可知，的单调递增区间为.由题意得即.
14.若是定义在上的减函数，且．则的取值区间为_______
【答案】
【解析】因为是定义在上的减函数，且，
所以，解得.
故答案为：
15．已知函数f（x）＝在R上单调递增，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【解析】要使f（x）在R上单调递增，必须满足三条：
第一条：f（x）在(－∞，1)上单调递增；
第二条：f（x）在(1，＋∞)上单调递增；
第三条：x=1时，(x2－2ax)≥(x＋1)．
故有解得．
故实数a的取值范围为．
故答案为：.
16．已知函数，，对，，使成立，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】函数图象的对称轴为直线x=2，
所以在上单调递减，
则在上的值域为.
因为在上单调递增，
所以在上的值域为.
由题意，可得，
即，解得.
故答案为：
四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义加以证明.
【答案】(1)
(2)在上单调递减，证明见解析
【解析】（1）根据分式的分母不为0，即可得到答案；
（2）任取，，设，证明，即可得到答案；
（1）要使函数有意义，当且仅当.
由得，
所以，函数的定义域为.
（2）函数在上单调递减.
证明：任取，，设，则
.
∵，∴，，
又，所以，故，即，
因此，函数在上单调递减.
18．已知．
(1)若对，都有成立，求实数x的取值范围；
(2)记关于x的不等式的解集为A，求集合A．
【答案】(1)
(2)答案见解析.
【分析】（1）将函数转化为关于的一次函数，根据单调性得到，列出不等式，求出实数x的取值范围；
（2）解不等式得到，对a分类讨论，求出集合A.
（1），可看作关于的一次函数，，
显然恒成立，所以单调递增，
在处取得最大值，
，
所以只需，解得：，
故实数x的取值范围是；
（2），即，
，
当时，，解得：，故；
当时，，解得：，所以；
当时，，解得：；
当时，，此时解集为；
当时，，此时解集为；
当时，，此时解集为或；
当时，，此时解集为或，
综上：时，；时，；时，；
时，；时，；
时，或；时，或.
19．已知函数（）.
(1)当时，求的单调增区间；
(2)当时，的最大值为，求实数a的取值范围.
【答案】(1)增区间为和
(2)
【解析】（1）当时，分和两种情况去绝对值，再根据二次函数的单调区间分析即可；
（2）分和两种情况去绝对值，再分和两种情况，结合二次函数的最值分析即可
(1)当时，，
因为的对称轴为，当时，此时函数单调递增，
因为对称轴为，当时，此时函数单调递增，
所以增区间：和；
(2)，
①若，则；
②若，则
（i）当时，即，所以，因为，所以舍去；
当时，，
（ii）当时，即当时，，符合题意；
（iii）当时，即当时，，所以无解，不符合题意，
综上：.
20．已知函数（p，q为常数），且满足，.
(1)求函数的解析式；
(2)若，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)，，解得，
函数的解析式为.
(2)，由基本不等式可得，
当且仅当，即时取等号，
当，函数的最小值是2，
要使，关于的不等式恒成立，只需，
所以，解得.
实数的取值范围是
21．对于函数，若定义域中存在实数、满足且，则称函数为“函数”．
（1）判断，是否为“函数”，并说明理由；
（2）设且，若函数，为“函数”，且的最小值为5，求实数的取值范围．
【答案】（1）不是，答案见解析；（2）．
【解析】（1）反证法.假设其为“函数”，代入值得到两组等式，相减，分解因式得到，与题设矛盾.故不是“函数”.
（2）分类讨论分析的单调性，只有时符合题意.通过运算得到三者关系式，，，由的最小值为5，得到取值范围满足，从而得到的取值范围.
【解析】（1）若，是“函数”，
则满足
则，两式相减得
故
即，则这与矛盾
故，不是否为“函数”
（2），
①若，则，则在时单调递减，故不满足存在使得，不合题意
②若，因为，单调递减，且
故时，单调递减，故时，单调递增，
故，
，
，
若
则，则，故
得，不合题意
若
则，则，故
得.
故，，
若中存在实数、满足且，的最小值为5.
故在中存在满足，且
故，故
综上所述，的取值范围为
22．已知二次函数满足，且
(1)求的解析式.
(2)求在，的最小值，并写出的函数的表达式.
【答案】(1)
(2)当时，，当时，，当时，，
【解析】（1）由已知条件是一个二次函数，使用待定系数法，求出的解析式；（2）分类讨论求出函数的最小值的表达式.
（1）设，，又，，由知，
（2），对称轴为：，故当时，在上单调递增，故在处取得最小值，，当，即时，在上单调递减，故在处取得最小值，，当时，在上单调递减，在上单调递增，故在处取得最小值，，
所以第5章 5.3函数的单调性（练习）
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
班级 姓名：
选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
2．定义域为R的函数满足:对任意的，有，则有（ ）
A． B．
C． D．
3．若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数若，则的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
6．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．若关于的不等式的解集为，则实数的范围是（ ）
A． B．
C． D．
8.已知是定义在上的函数，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9.如果函数在上单调递增，对于任意的，，下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数在区间上单调递增，则，的取值可以是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
11.已知函数，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．在上单调递增 D．的值域为
12．已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（ ）
A．的图象关于对称
B．
C．在上的最大值是10
D．不等式的解集为
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知函数的图象如图所示，若在上单调递增，则的取值范围为_____.
14.若是定义在上的减函数，且．则的取值区间为_______
15．已知函数f（x）＝在R上单调递增，则实数a的取值范围为________．
16．已知函数，，对，，使成立，则实数a的取值范围是___________.
四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义加以证明.
18．已知．
(1)若对，都有成立，求实数x的取值范围；
(2)记关于x的不等式的解集为A，求集合A．
19．已知函数（）.
(1)当时，求的单调增区间；
(2)当时，的最大值为，求实数a的取值范围.
20．已知函数（p，q为常数），且满足，.
(1)求函数的解析式；
(2)若，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
21．对于函数，若定义域中存在实数、满足且，则称函数为“函数”．
（1）判断，是否为“函数”，并说明理由；
（2）设且，若函数，为“函数”，且的最小值为5，求实数的取值范围．
22．已知二次函数满足，且
(1)求的解析式.
(2)求在，的最小值，并写出的函数的表达式.
