第5章 5.4函数的奇偶性（练习）
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
班级 姓名：
选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．下列函数中，既是奇函数，又在定义域内是严格增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】选项A：令，则当时，.故在定义域内不是严格增函数.排除；
选项B：由可知不是奇函数. 排除；
选项C：定义域为，可知不是奇函数. 排除；
选项D：是奇函数，在定义域内是严格增函数.正确.
故选：D
2.在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】选项A反比例函数，是奇函数，但在定义域下不是单调递减的；选项B“对号”函数奇函数，在递减，在递增，不是单调递减函数;选项C中，，是奇函数，也满足单调递减，所以正确；选项D中，分段函数，是奇函数，但不满足单调递减，因为在衔接处不递减；
故选：C.
3．下列函数为偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】A.函数是非奇非偶函数，
BC都是奇函数，
D.满足，定义域是，是偶函数.
故选:D.
4．已知偶函数在区间上单调递减，则满足的实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为偶函数在区间上单调递减，且满足，
所以不等式等价为，即：，
所以，解得：，
故的取值范围是.
故选：A
5．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.若对任意的，成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题设知：，又是定义在上的奇函数，即，
∴当时，，即，而；
当时，，即，而；
∴综上，有，可得如下函数图象，
∴对任意的有成立，
即在中，或或恒成立，
∴或恒成立，即有或.
故选：D.
6．若函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】是定义在上的偶函数，且在上单调递增，故在上单调递减.
，则
故时，，，则；
时，，，则.
故的解集为
故选：C
7．已知奇函数的定义域为，且有，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】记
因为为奇函数，所以
∴，∴为偶函数；
任取，有，
∵，∴，即
∴在上，为减函数.
∵为偶函数，∴在上，为增函数；
不等式可化为：不等式；
由，，可推出
则可化为，解得：或
故解集为
故选：B
8．记，，已知，分别是奇函数和偶函数，且在上单调递减，设函数，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由已知可得：
，
，分别是奇函数和偶函数，
，
显然无法判断的符号；
，
因为是奇函数，且在上单调递减，
所以当时，，
即；
故选：D
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
13．下列判断正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是非奇非偶函数
【答案】BC
【解析】对于A，由且，得，
则的定义域不关于原点对称，
所以函数为非奇非偶函数，故A错误;
对于B，函数的定义域关于原点对称，当x>0时，，
，
当x<0时，也有，所以为奇函数，故B正确;
对于C，由且，得，即，
的定义域关于原点对称，此时，
所以既是奇函数又是偶函数，故C正确;
对于D，由且，得且x≠0，
的定义域关于原点对称，因为，
，所以函数为奇函数，故D错误.
故选:BC.
10．若定义在R上的减函数y＝f（x﹣2）的图象关于点（2，0）对称，且g（x）＝f（x）+1，则下列结论一定成立的是（ ）
A．g（2）＝1
B．g（0）＝1
C．不等式f（x+1）+f（2x﹣1）＞0的解集为（﹣∞，0）
D．g（﹣1）+g（2）＜2
【答案】BCD
【解答】∵定义在R上的减函数y＝f（x﹣2）的图象关于点（2，0）对称，
∴f（x）为奇函数，
∴f（0）＝0，
∵g（x）＝f（x）+1，
∴g（0）＝f（0）+1，
∴g（0）＝1，故A选项错误，B选项正确，
∵y＝f（x﹣2）为减函数，
∴f（x）为减函数，
∴g（x）＝f（x）+1为减函数，
∵f（x+1）+f（2x﹣1）＞0，即f（x+1）＞﹣f（2x﹣1），
∴f（x+1）＞f（1﹣2x），
∵f（x）为减函数，
∴x+1＜1﹣2x，即x＜0，故C选项正确．
g（﹣1）+g（2）＝f（﹣1）+f（2）+2＝﹣f（1）+f（2）+2，
∵f（1）＞f（2），
∴g（﹣1）+g（2）＜2，故D选项正确．
故选：BCD．
11．定义在上的函数満足，且当时，，则有（ ）
A．为奇函数
B．为增函数
C．
D．存在非零实数a，b，使得
【答案】ABD
【解析】由，令得，得.
令得，即
所以为奇函数，故选项A正确.
设，则，所以
由条件可得，即
所以为上的增函数，故选项B正确.
由为上的增函数，则，
所以，故选项C不正确.
由为上的增函数,则，即
也即
设，由，则
，
所以在有解.例如取，则，
所以存在非零实数a，b，使得，故选项D正确.
故选：ABD
12．函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，
B．关于的不等式的解集为
C．关于的方程有三个实数解
D．、，
【答案】BD
【解析】对于A选项，当时，，则，
因为函数为上的奇函数，则，A选项错误；
对于B选项，当时，，则函数在上为增函数，
当时，，则函数在上为增函数，
又因为，函数在上连续，所以，函数在上为增函数，
由可得，则，解得，
B选项正确；
对于C选项，当时，由，可得（舍去）；
当时，由，可得（舍去）.
又满足方程.
综上所述，关于的方程只有一个实根，C选项错误；
对于D选项，当时，，
当时，，
又，所以，，，
因此，、，，D选项正确.
故选：BD.
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
【答案】-1
【解析】∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－.
显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，
故a＋1＝0，得a＝－1.
14．设函数的定义域为R，则下列命题：
①若是偶函数，则的图像关于轴对称；
②若是偶函数，则的图像关于直线对称；
③若，则函数的图像关于直线对称；
④与的图像关于直线对称．
其中正确命题的序号为________．
【答案】②④
【解析】若是偶函数，则，
所以的图象关于对称，①错误，②正确；
，令即，所以是偶函数，
图象关于轴对称，③错误；
是将的图象向右平移2个单位而得，
是将的图象沿轴对称后再向右平移2个单位而得，
因此与的图象关于对称，④正确.
故答案为：②④
15．已知函数，若f（a2﹣3）+f（2a）＞0，则实数a的取值范围为 ．
【答案】{a|a＞1或a＜﹣3}
【解析】：因为的图象如图所示，
故f（x）为单调递增的奇函数，
若f（a2﹣3）+f（2a）＞0，
则f（a2﹣3）＞﹣f（2a）＝f（﹣2a），
所以a2﹣3＞﹣2a，即a2+2a﹣3＞0，
解得，a＞1或a＜﹣3．
故a的取值范围{a|a＞1或a＜﹣3}．
故答案为：{a|a＞1或a＜﹣3}．
12．已知函数是定义在上的奇函数，当时，若对任意的，都有，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
由题意，当时
当时，，所以，
对任意的，都有，即的图像向右平移个单位，得到图像.
由题意的图像不能在图像下方，则向右平移的距离应该大于等于.
即，所以
故答案为：
解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知函数．
(1)当时，求值；
(2)若是偶函数，求的最大值．
【答案】(1)4(2)2
【解析】（1）先得到函数，再求值；
（2）先利用函数是偶函数，求得，再求最值.
(1)当时，，
所以；
(2)因为是偶函数，
所以成立，
即成立，
所以，则，
所以的最大值为2．
18．已知是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求时，函数的解析式；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）设，则，所以
又为奇函数，所以，
所以当时，.
（2）作函数的图像如图所示，
要使在上单调递增，结合的图象知，所以，
所以的取值范围是.
19. 已知函数，点，是图象上的两点.
(1)求a，b的值；
(2)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(3)判断函数在上的单调性，并说明理由.
【答案】(1)
(2)函数为奇函数
(3)函数在上单调递增
【解析】（1）将函数图象上的点的坐标代入函数解析式得到关于a，b的方程组，解方程组得到a，b的值；
（2）根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性；
（3）根据函数单调性的定义，利用作差法比较函数值大小，进而判断函数的单调性.
（1）因为点，是图象上的两点，
所以，
解得.
（2）函数为奇函数，理由如下：
由（1）得，
易得函数的定义域为，
且对任意，有，
所以函数为奇函数.
（3）
设，
则，
因为，
所以，
则，即，
所以函数
因为在上单调递增.
20．已知函数是定义域在上的奇函数．
（1）求的值，并判断的单调性(不必给出证明)；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)在R上是减函数；
(2)
【解析】
(1)因为是定义域在R上的奇函数，有，
所以，
所以
所以，
所以
所以，在R上为减函数；
(2)不等式
等价于，
又在R上为减函数，
所以
即对恒成立，
所以，
即实数k的取值范围为
21．函数的定义域且，对定义域D内任意两个实数，，都有成立．
（1）求的值并证明为偶函数；
（2）若时，，解关于x的不等式．
（3）若时，，且不等式对任意实数x恒成立，求非零实数a的取值范围．
【解析】（1）取得到，得到，
取得到，得到，
取得到，即，故函数为偶函数.
（2）设，
则，
，故，即，函数单调递减.
函数为偶函数，故函数在上单调递增.
，故，且，解得.
（3）
，
根据（2）知：，，恒成立，
故，，
当时，，当时，，
当时，，
当，即时等号成立，，故.
综上所述：，解得，，故.
22．已知函数的定义域为，且满足：对任意，都有．
(1)求证：函数为奇函数；
(2)若当，<0，求证： 在上单调递减；
(3)在（2）的条件下解不等式： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用赋值法和奇函数的定义，即可得到答案；
（2）对，且，证明，即可得到答案；
（3）利用奇函数的性质，将不等式等价于：，从而利用单调性可得不等式组，解不等式即可得到答案；
（1）
因为函数的定义域为关于原点对称，
由，
取x=y=0，得，∴．
取y=-x，则，∴，故函数为奇函数．
（2）
对，且，则，
由，得，∴，
又， ∴，
∴，由，<0知
即，故在上单调递减．
（3）
（3）由（1）和（2）知函数既为奇函数，同时在上单调递减，
则不等式等价于：，
∴，解得，故不等式的解集为．第5章 5.4函数的奇偶性（练习）
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
班级 姓名：
选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．下列函数中，既是奇函数，又在定义域内是严格增函数的是（ ）
A． B． C． D．
2.在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列函数为偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知偶函数在区间上单调递减，则满足的实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.若对任意的，成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知奇函数的定义域为，且有，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．记，，已知，分别是奇函数和偶函数，且在上单调递减，设函数，若，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
13．下列判断正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是非奇非偶函数
10．若定义在R上的减函数y＝f（x﹣2）的图象关于点（2，0）对称，且g（x）＝f（x）+1，则下列结论一定成立的是（ ）
A．g（2）＝1
B．g（0）＝1
C．不等式f（x+1）+f（2x﹣1）＞0的解集为（﹣∞，0）
D．g（﹣1）+g（2）＜2
11．定义在上的函数満足，且当时，，则有（ ）
A．为奇函数
B．为增函数
C．
D．存在非零实数a，b，使得
12．函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，
B．关于的不等式的解集为
C．关于的方程有三个实数解
D．、，
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
14．设函数的定义域为R，则下列命题：
①若是偶函数，则的图像关于轴对称；
②若是偶函数，则的图像关于直线对称；
③若，则函数的图像关于直线对称；
④与的图像关于直线对称．
其中正确命题的序号为________．
15．已知函数，若f（a2﹣3）+f（2a）＞0，则实数a的取值范围为 ．
16．已知函数是定义在上的奇函数，当时，若对任意的，都有，则实数的取值范围为__________.
解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知函数．
(1)当时，求值；
(2)若是偶函数，求的最大值．
18．已知是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求时，函数的解析式；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
19. 已知函数，点，是图象上的两点.
(1)求a，b的值；
(2)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(3)判断函数在上的单调性，并说明理由.
20．已知函数是定义域在上的奇函数．
（1）求的值，并判断的单调性(不必给出证明)；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
21．函数的定义域且，对定义域D内任意两个实数，，都有成立．
（1）求的值并证明为偶函数；
（2）若时，，解关于x的不等式．
（3）若时，，且不等式对任意实数x恒成立，求非零实数a的取值范围．
22．已知函数的定义域为，且满足：对任意，都有．
(1)求证：函数为奇函数；
(2)若当，<0，求证： 在上单调递减；
(3)在（2）的条件下解不等式： ．
