第6章 6.1幂函数（练习）
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
班级 姓名：
选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．在函数①，②，③，④，，⑥中，是幂函数的是（ ）
A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥
【答案】C
【详解】幂函数是形如（，为常数）的函数，①是的情形，②是的情形，⑥是的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中的系数是2，所以不是幂函数；④是常函数，不是幂函数.
故选：C.
2．下列命题正确的是（ ）
A．幂函数的图象都经过，两点 B．函数的图象经过第二象限
C．如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同 D．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点
【答案】D
【详解】解：对于A，幂函数的图象都经过点，当时，不过点，故A项错误；
对于B，的图象过第一、三象限，故B项错误；
对于C，与的图象有三个交点，这两个函数不相同，故C项错误；
对于D，因为幂函数的图象都经过点，所以幂函数为偶函数时，图象一定经过点，故D项正确．
故选：D．
3.下列比较大小中正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
A选项，在上是递增函数，，错，
B选项，在上是递减函数，，错，
C选项，在上是递增函数，
，，，对，
D选项，在上是递增函数，
，，，错，
故选：C．
4.已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
对任意，，均有成立，
此时函数在区间为减函数，
是偶函数，
当时，为增函数，
又在为增函数，
所以，
又，所以，
所以，
即.
故选：B．
5.若函数为幂函数，且在单调递减，则实数m的值为（ ）
A．0 B．1或2 C．1 D．2
【答案】C
【详解】由于函数为幂函数，
所以，解得或，
时，，在上递减，符合题意，
时，，在上递增，不符合题意．
故选：C
6．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
，
由得，又，
所以函数的单调递减区间为.
故选：．
7.如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】当时，幂函数在第一象限内单调递减，
当时，幂函数在第一象限内单调递增，
所以，
当时，幂函数在第一象限内单调递增，
所以，
所以相应曲线的依次为.
故选：A
8．若幂函数的图像经过点，则下列结论正确的是（ ）
A．为奇函数
B．若，则
C．为偶函数
D．若，则
【答案】D
【详解】设，将代入得：，解得：，所以，定义域为，故不是奇函数也不是偶函数，AC错误；
因为，所以，，B错误；
，，由于，则
，故，D正确.
故选：D
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9．已知幂函数的图象不过原点，则实数的取值可以为（ ）
A．5 B．1 C．2 D．4
【答案】BC
【详解】令，解得或，
当时，图象不过原点，成立；
当时，图象不过原点，成立；
故选：BC
10．下列函数在上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】
解：对于A选项，在上单调递增，错误；
对于B选项，函数在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，故正确；
对于C选项，由二次函数性质得在上单调递减，故正确；
对于D选项，时，在上单调递减，故正确.
故选:BCD.
11．已知幂函数，对任意，且，都满足，若且，则下列结论可能成立的有（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D．以上都可能
【答案】BC
【详解】
因为为幂函数，
所以，解得：m=2或m=-1.
因为任意，且，都满足，
不妨设，则有，所以为增函数，
所以m=2，此时
因为，所以为奇函数.
因为且，
所以.
因为为增函数，
所以，所以.
故BC正确.
故选：BC
12．下列说法正确的有（ ）
A．命题若，则的否定为命题若，则
B．幂函数在上为增函数的充要条件为
C．“正方形是平行四边形”是一个全称量词命题
D．至少有一个整数，使得为奇数
【答案】BC
【详解】对于A
命题：若，则的否定为命题：存在实数，使得.
所以A错误
对于B
因为为幂函数
所以，则或
当时，在上单调递增
当时，在，上单调递减.不合题意应舍去.
所以B正确
对于C
“正方形是平行四边形”即“任意一个正方形都是平行四边形”，显然是一个全称量词命题.
所以C正确
对于D
当为奇数，则为偶数，所以为偶数；
当为偶数，则为奇数，所以为偶数
综上，若为整数，则为偶数
所以D错误
故选：BC
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．下列说法中错误的有______.（填序号）
①幂函数的图像不过第四象限；
②的图像是一条直线；
③若函数的定义域是，则它的值域是；
④若函数的值域是，则它的定义域一定是.
【答案】②③④
【详解】
由幂函数的图像与性质知①正确；的图像是直线上去掉点，②错误；函数的定义域是，则它的值域是，③错误；若函数的值域是，则它的定义域也可能是，④错误.所以说法错误的有②③④.
故填：②③④
14．已知函数，若在上恒成立，则实数m的取值范围是__________．
【答案】
【详解】根据题意，易知函数为上的奇函数，且在上单调递增.
因为在上恒成立，
所以，在上恒成立，
即在上恒成立.
令，则在上恒成立，
则，解得.
故答案为：.
15．函数的单调增区间是___________.
【答案】
【详解】
函数的定义域满足，解得，
故函数的定义域为
令，则，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
且函数在上单调递增，
结合复合函数的单调性可知函数在上单调递增，在上单调递减，
故答案为：.
16．关于的不等式的解集为__________.
【答案】
【详解】
因为函数的定义域为，
由，可得为奇函数，
因为，所以在和上单调递减，
当即时，
由可得，解得，
所以，
当，即或时，
由可得，解得，
所以，
综上所述：原不等式的解集为，
故答案为：.
四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知幂函数的图象经过点，对于偶函数，当时，．
（1）求函数的解析式；
（2）求当时，函数的解析式；
【答案】（1）；（2）当时，．
【详解】
（1）设，代入点，得，，；
，当时，设，则，
是R上的偶函数，
，即当时，；
18．已知幂函数的图像关于y轴对称．
(1)求的解析式；
(2)求函数在上的值域．
【答案】(1) (2)
【详解】
(1)因为是幂函数，
所以，解得或．
又的图像关于y轴对称，所以，
故．
(2)由（1）可知，．
因为，所以，
又函数在上单调递减，在上单调递增，
所以．
故在上的值域为．
19．已知幂函数的图象过点．
（1）求的解析式；
（2）判断的单调性，并进行证明；
（3）若，求实数的取值范围．
【答案】
（1）
（2）增函数，证明见解析
（3）
【详解】
（1）：因为为幂函数，所以，或．
当时，，图象过点；
当时，，图象不过点，舍去．
综上，．
（2）证明：函数在上为增函数．
设、，且，则，
，，
即，所以，．所以，函数在上为增函数．
（3）
解：函数在上为增函数，由，则，得．
综上，的取值范围为．
20．已知幂函数为偶函数.
（1）求的解析式；
（2）若函数在区间上恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由为幂函数知，得或
为偶函数
∴当时，，符合题意；
当时，，不合题意，舍去
所以
（2），令在上的最小值为
①当，即时，，所以
又，所以a不存在；
②当，即时，
所以.又，所以
③当，即时，
所以.又
所以.
综上可知，a的取值范围为
21．已知幂函数在上单调递增.
(1)求的值；
(2)设函数，求关于的不等式的解集.
【答案】(1)；(2)
【详解】(1)因为为幂函数，
所以，解得或.
当时，在上单调递减，不符合题意；
当时，在上单调递增，符合题意.
综上，的值为.
(2)的定义域为，且在上单调递增.
又因为函数在上单调递增，
所以的定义域为，且在上单调递增.
由，得
解得
故所求不等式的解集为.
22．已知幂函数是偶函数，且在上单调递增.
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围：
（3）若实数满足，求的最小值.
【答案】（1）；（2）；（3）2．
【详解】
（1）是幂函数，则，，又是偶函数，所以是偶数，
在上单调递增，则，，所以或2．
所以；
（2）由（1）偶函数在上递增，
．
所以的范围是．
（3）由（1），，，
，当且仅当，即时等号成立．
所以的最小值是2．第6章 6.1幂函数（练习）
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
班级 姓名：
选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．在函数①，②，③，④，，⑥中，是幂函数的是（ ）
A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥
2．下列命题正确的是（ ）
A．幂函数的图象都经过，两点 B．函数的图象经过第二象限
C．如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同 D．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点
3.下列比较大小中正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
4.已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5.若函数为幂函数，且在单调递减，则实数m的值为（ ）
A．0 B．1或2 C．1 D．2
6．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
7.如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（ ）
A． B．
C． D．
8．若幂函数的图像经过点，则下列结论正确的是（ ）
A．为奇函数
B．若，则
C．为偶函数
D．若，则
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9．已知幂函数的图象不过原点，则实数的取值可以为（ ）
A．5 B．1 C．2 D．4
10．下列函数在上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知幂函数，对任意，且，都满足，若且，则下列结论可能成立的有（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D．以上都可能
12．下列说法正确的有（ ）
A．命题若，则的否定为命题若，则
B．幂函数在上为增函数的充要条件为
C．“正方形是平行四边形”是一个全称量词命题
D．至少有一个整数，使得为奇数
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．下列说法中错误的有______.（填序号）
①幂函数的图像不过第四象限；
②的图像是一条直线；
③若函数的定义域是，则它的值域是；
④若函数的值域是，则它的定义域一定是.
14．已知函数，若在上恒成立，则实数m的取值范围是__________．
15．函数的单调增区间是___________.
16．关于的不等式的解集为__________.
四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知幂函数的图象经过点，对于偶函数，当时，．
（1）求函数的解析式；
（2）求当时，函数的解析式；
18．已知幂函数的图像关于y轴对称．
(1)求的解析式；
(2)求函数在上的值域．
19．已知幂函数的图象过点．
（1）求的解析式；
（2）判断的单调性，并进行证明；
（3）若，求实数的取值范围．
20．已知幂函数为偶函数.
（1）求的解析式；
（2）若函数在区间上恒成立，求实数a的取值范围.
21．已知幂函数在上单调递增.
(1)求的值；
(2)设函数，求关于的不等式的解集.
22．已知幂函数是偶函数，且在上单调递增.
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围：
（3）若实数满足，求的最小值.
