第6章 6.2指数函数（练习）
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
班级 姓名：
选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知函数，且当时，，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
当时，，
解得，
故选：B.
2.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0
【答案】(1)D
【详解】
从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0＜a＜1；从曲线位置看，是由函数y＝ax(0＜a＜1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b＞0，即b＜0.
3．已知函数为实数集上的增函数，且满足，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【详解】因为
所以令可得，
所以，所以，即，所以
故选：C
4．函数在其定义域内是（ ）
A．是增函数又是偶函数； B．是增函数又是奇函数
C．是减函数又是偶函数； D．是减函数又是奇函数
【答案】B
【详解】
因为函数，
所以是奇函数，
又是增函数，
故选：B
5．已知实数满足等式，下列关系式中不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
作出函数与函数的图像，如图，
当时，根据图像得，故A选项正确；
当时，根据图像得，故D选项正确；
当时，根据图像得，故B选项正确；
故不可能成立的是.
故选：C
【点睛】
本题考查指数函数的图像性质，考查数形结合思想，是中档题.本题解题的关键在于做出函数与函数的图像，根据图像，数形结合求解.
6．设，则a，b，c大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，，
，
又在上单调递增，
，
，
故选：C．
7．已知，若f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，则a的取值范图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
要使函数是上的增函数，
需，解得.
故选：B
8．定义域为的奇函数的图象关于直线对称，当时，，则（ ）
A．-2 B．0 C．2 D．4
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性和对称性可以确定函数的周期，利用周期性进行求解即可.
【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以，
因此有，可得，因为函数是奇函数，
所以可得，即有，从而，
因此该函数的周期为，当时，，所以，
的图象关于直线对称，，，
故选：C
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】
，A错；
，B正确；
，C正确；
，D错．
故选：BC．
10．基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指间隔相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间(单位：天)的规律，指数增长率与，近似满足，有学者基于已有数据估计出，，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段累计感染病例数增加倍需要的时间，判断错误的有（ ）（参考数据：ln2≈0.69）
A．约1.8天 B．约2.6天 C．约3.5天 D．约6.9天
【答案】BCD
【详解】
把，代入，
可得，可得，
，
设感染病例数增加倍需要的时间为，
因为感染病例数增加倍，感染病例数变为原来的二倍，
所以，则，
两边取对数得，解得．
即在新冠肺炎疫情初始阶段累计感染病例数增加倍需要的时间约1.8天，
所以判断错误的有BCD.
故选：BCD．
11．已知函数，实数、满足，则下列结论正确的有（ ）
A． B．、，使
C． D．
【答案】CD
【详解】
画出函数的图象如下图所示：
当时，，则，
设，则，
因为，可得，可得，
由，可得，可得，
由，可得，则，A错，C对；
由基本不等式可得，所以，则，B错，D对.
故选：CD.
12．已知函数，则下面几个结论正确的有（ ）
A．的图象关于原点对称
B．的图象关于y轴对称
C．的值域为
D．，且恒成立
【答案】ACD
【解析】
对于A，，则，
则为奇函数，故图象关于原点对称，故A正确.
对于B，计算，，故的图象不关于y轴对称，故B错误.
对于C，，，
故，易知：，故的值域为,故C正确.
对于D，，
因为在上为增函数，为上的减函数，
由复合函数的单调性的判断法则可得在上单调递减，
故，且，恒成立，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．函数的单调递减区间是________．
【答案】
【分析】
利用复合函数的单调性判断法则：同增异减，进行判断即可.
【详解】
令，其递増区间为，根据函数是定义域上的减函数知，函数f(x)的减区问就是．
故答案为：
14．已知函数|在区间上是增函数，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【详解】
由的图象向右平移1个单位，可得的图象，
因为是偶函数，且在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
因为函数|在区间上是增函数，
所以，
解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
15．已知函数，若对任意的，均存在使得，则实数的取值范围是______．
【答案】
【详解】
当时，的值域为，
又对任意的，均存在使得，
当时，的值域包含，对称轴为，
当时，，解得，即，
当时，且，解得，解得，
综上所述，的取值范围为．
故答案为：．
16．已知f(x)＝x2，g(x)＝－m，若对任意x1∈[0,2]，存在x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________.
【答案】
【解析】
由题意f(x)的最小值不小于g(x)的最小值，
所以f(0)≥g(2)，即，
所以.
故答案为：
四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数．
（1）求f(x)的表达式；
（2）判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以证明．
【答案】（1）f(x)＝2x；（2）奇函数；证明见解析．
【详解】（1）由a2＋a－5＝1，可得a＝2或a＝－3(舍去)，
∴f(x)＝2x．
（2），
∴，且定义域为R，
∴F(x)是奇函数．
18．已知定义在上的函数是奇函数．
(1)求实数的值；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【详解】(1)解： 函数是定义域上的奇函数，
，即，解得．
此时，则，符合题意；
(2)解：因为，且在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，
所以在定义域上单调递增，
则不等式恒成立，
即恒成立，
即恒成立，
即恒成立，
所以，解得，即；
19．设常数，函数为奇函数.
（1）求的值；
（2）判断函数在上的单调性并给出证明；
（3）当时恒成立，求实数的取值范围.
【答案】
（1）
（2）单调递增，证明见解析
（3）
【详解】（1）解：由知的定义域为，由为奇函数知对恒成立，
即，亦即，整理得，
，又，，此时.
（2）证明：，故在上单调递增，证明如下：
任取、，且，
则.
，，即.
又，，即.
因此，函数在上单调递增.
（3）解：由可得，，.
当时，
令，则有，
因为函数、在上为增函数，
故函数在上为增函数，，
所以，，故实数的取值范围为.
20．已知函数
(1)计算；；的值；
(2)结合（1）的结果，试从中归纳出函数的一般性结论，并证明这个结论；
(3)求的值．
【答案】(1)1；1；1；
(2)；证明见解析；
(3)
【详解】（1）；
；
（2）
结合（1）的结果，归纳出，证明如下：
（3）由（2）可知，则
21．设函数（且）是定义域为的奇函数．
(1)求实数k的值；
(2)若，，且当时，恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【详解】(1)函数（且）是定义域为的奇函数,则，
所以，
又时，，对任意的，都有成立，满足题意，
所以；
(2)由（1）知，，且，
所以，，
所以，或（舍），
令，则，
由当时，恒成立，得在时恒成立，
则在时恒成立，
又在上单调递增，
所以，，
所以，.
22．设函数，其中．
（1）若，且为上偶函数，求实数的值；
（2）若，且在上有最小值，求实数的取值范围并求出这个最小值；
（3），，解关于的不等式．
【答案】（1）；（2）；最小值；（3）当，即时，解集为；当，即时，解集为．
【详解】（1），所以，所以，
检验，此时，，
所以，为偶函数；
（2），令，
则在上有最小值，
当且仅当，且即时，
，即函数有最小值．
（3），所以，所以，
因为，，所以．
①，即，解集为；
②，即，解集为．
所以当，即时，解集为；当，即时，解集为第6章 6.2指数函数（练习）
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
班级 姓名：
选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知函数，且当时，，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0
3．已知函数为实数集上的增函数，且满足，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．函数在其定义域内是（ ）
A．是增函数又是偶函数； B．是增函数又是奇函数
C．是减函数又是偶函数； D．是减函数又是奇函数
5．已知实数满足等式，下列关系式中不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．设，则a，b，c大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，若f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，则a的取值范图是（ ）
A． B． C． D．
8．定义域为的奇函数的图象关于直线对称，当时，，则（ ）
A．-2 B．0 C．2 D．4
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指间隔相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间(单位：天)的规律，指数增长率与，近似满足，有学者基于已有数据估计出，，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段累计感染病例数增加倍需要的时间，判断错误的有（ ）（参考数据：ln2≈0.69）
A．约1.8天 B．约2.6天 C．约3.5天 D．约6.9天
11．已知函数，实数、满足，则下列结论正确的有（ ）
A． B．、，使
C． D．
12．已知函数，则下面几个结论正确的有（ ）
A．的图象关于原点对称
B．的图象关于y轴对称
C．的值域为
D．，且恒成立
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．函数的单调递减区间是________．
14．已知函数|在区间上是增函数，则实数的取值范围是___________.
15．已知函数，若对任意的，均存在使得，则实数的取值范围是______．
16．已知f(x)＝x2，g(x)＝－m，若对任意x1∈[0,2]，存在x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________.
四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数．
（1）求f(x)的表达式；
（2）判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以证明．
18．已知定义在上的函数是奇函数．
(1)求实数的值；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19．设常数，函数为奇函数.
（1）求的值；
（2）判断函数在上的单调性并给出证明；
（3）当时恒成立，求实数的取值范围.
20．已知函数
(1)计算；；的值；
(2)结合（1）的结果，试从中归纳出函数的一般性结论，并证明这个结论；
(3)求的值．
21．设函数（且）是定义域为的奇函数．
(1)求实数k的值；
(2)若，，且当时，恒成立，求实数m的取值范围．
22．设函数，其中．
（1）若，且为上偶函数，求实数的值；
（2）若，且在上有最小值，求实数的取值范围并求出这个最小值；
（3），，解关于的不等式．
