第7章 7.3三角函数的图像和性质（练习）
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
班级 姓名：
选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.要得到函数的图象，只需将函数的图象( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】
因为，所以的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象，故选D.
2．函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】
由题意，知当时，函数取得最大值，则，所以，所以，又，所以，
故选：A.
3.已知的最小正周期为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为最小正周期为，，故，故，
所以，
所以，
故选：C.
4．函数的图象的相邻两条对称轴间的距离是．若将函数的图象向右平移个单位，再把图象上每个点的横坐标缩小为原来的一半，得到，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
函数的图象的相邻两条对称轴间的距离是.
即函数的最小正周期为.
则,即
若将函数的图象向右平移个单位，
可得的图象，
再把图象上每个点的横坐标缩小为原来的一半，
得到的图象，
故选：D
5.函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】
由题意，知当时，函数取得最大值，则，所以，所以，又，所以，
故选：A.
6．将函数的图象向右平移个单位后，关于轴对称，则的可取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
函数的图象向右平移个单位后得到
，
的图象关于轴对称，
所以（），
当时，.
故选：C
7. 已知函数的图像与函数的图像交于M，N两点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由得即，
即，
解得或，由可得，
或，
，，显然MN与x轴交于点，
.
故选：B.
8.一半径为的水轮如图所示，水轮圆心距离水面，已知水轮每逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则（ ）
A．点第一次到达最高点需要
B．在水轮转动的一圈内，点距离水面的高度不低于共有的时间
C．点距离水面的高度（单位：）与时间（单位：）的函数解析式为
D．当水轮转动时，点在水面下方，距离水面
【答案】C
【解析】
设点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为f（t）＝Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|）
依题意可知f（t）的最大值为7.2，最小为﹣2.4，
∴A+B＝7.2，﹣A+B＝﹣2，解得A＝4.8，B＝2.4．
60，解得ω．
∴f（t）＝4.8sin（t+φ）+2.4，
当t＝0时，f（t）＝0，得sinφ，|φ|，φ，
故所求的函数关系式为f（t）＝4.8sin（t ）+2.4，C对，
令4.8sin（t ）+2.4＝7.2，
可得：sin（t）＝1，
∴t，解得t＝20．
点P第一次到达最高点要20s时间．A错，
4.8sin（t ）+2.4≥4.8 sin（t ） t 10≤t≤30；
∴在水轮转动的一圈内，有20秒的时间，点P距离水面的高度不低于4.8米；B错
t＝50时，f（t）＝4.8sin（t ）+2.4＝4.8sin（50 ）+2.4＝4.8sin2.4＝﹣2.4，D错．
故选： C．
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9．已知，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在上单调递增
C．函数的图象可以由函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的得到
D．是函数图象的一个对称中心
【答案】AD
【解析】
，所以A正确.
，所以函数在上单调递减，所以B错误.
函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的得到，所以C错误.
，所以D正确.
故选：AD
10．下列四种变换方式，其中能将的图象变为的图象的是（ ）
A．向左平移，再将横坐标缩短为原来的； B．横坐标缩短为原来的，再向左平移；
C．横坐标缩短为原来的，再向左平移； D．向左平移，再将横坐标缩短为原来的.
【答案】AB
【解析】
将的图像向左平移，可得函数，
再将横坐标缩短为原来的，可得的图像，故A正确；
或者将的图像横坐标缩短为原来的，可得的图像，
再向左平移个单位，可得的图像，故B正确；
对于C，横坐标缩短为原来的可得，再向左平移可得；故C错误；
对于D，向左平移可得，
再将横坐标缩短为原来的可得，故D错误；
故选：AB
11.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则具有的性质是( )
A.在上单调递增，为偶函数 B.最大值为，图象关于直线对称
C.在上单调递增，为奇函数 D.最小正周期为，图象关于点对称
【答案】ABD
将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，
为偶函数，且在上单调递增，所以A正确，C错误.
，，所以B正确. ，最小正周期为，所以D正确. 故选ABD.
12．已知函数，若，且的最小值为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数在上单调递增
C．将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称
D．对，都有
【答案】CD
【解析】
，
由相邻最高点与最低点的水平距离为，得，即，
所以，解得，所以.
A：，所以选项A错误；
B：由，得，
因为函数在单调递增，在单调递减，
所以选项B错误；
C：将的图象向右平移个单位长度后得到的函数解析式为
，
因为函数是偶函数，
所以函数的图象关于轴对称；
D：因为，
所以直线是函数的一条对称轴，
所以对，都有，故正确答案为CD.
故选：CD.
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知（其中）的单调递增区间为，则_________.
【答案】
【解析】由于函数（其中）的单调递增区间为，则该函数的最小正周期为，即，得.
，解不等式，
得，
所以，函数的单调递增区间为.
因此，.
故答案为：.
14. 函数的图像关于直线对称，则的最小值为 ．
【答案】
解法1：根据余弦函数的图像及性质，令，得，令得，，又因为，所以当时取得最小值为
解法2：由条件可得，即，则，，解得，，又因为，所以当时取得最小值为
15．已知，满足，，且在上有且仅有5个零点，则此函数解析式为_____________．
【答案】
【解析】
因为，令，
则，即，
所以是图像的对称中心，
又，令，
则，即，
所以是图像的对称轴，
所以，得，
令，则，所以，
因为在上有且只有5个零点，所以，又，
即，所以，得，代入上式，得，
又，所以，所以.
故答案为：
16．以下关于函数的结论：
①函数的图象关于直线对称；
②函数的最小正周期是；
③若，则；
④函数在上的零点个数为20．
其中所有正确结论的编号为______．
【答案】①②④
【解析】
对于①，当时，，故函数的图象关于直线对称，①正确；
对于②，函数的最小正周期是，②正确；
对于③，，即，
∴，或，
∴，或，如时，，③错误；
对于④，由得，，则由可得，，所以函数在上的零点个数为20，④正确.
故答案为：①②④.
解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知函数．
（1）求的最小正周期，并求的最小值及取得最小值时的集合；
（2）令，若对于恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）最小正周期是，最小值为．的集合为；
（2）.
【解析】
（1）由题意，函数，
可得其最小正周期是，
当，可得，即时，
函数的最小值为．
此时的集合为．
（2）由
因为，得，则，
所以，
若对于恒成立，则，
所以，即求实数的取值范围．
18.设函数，已知函数的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点对称.
(1)求的单调区间；
(2)求不等式的解集.
【答案】见解析
【解析】(1)由题意知，函数f(x)的最小正周期为T＝，
即，因为ω>0，所以ω＝2，从而f(x)＝tan(2x＋φ)，
因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称，
所以2×＋φ＝，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z.
因为0<φ<，所以φ＝，故f(x)＝tan.
令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，得，
即
所以函数的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间．
(2)由（1）知，f(x)＝tan.由－1≤tan≤，
得Z，即Z
所以不等式－1≤f(x)≤的解集为.
19．已知函数
（1）求函数在上的所有零点之和；
（2）求的单调递减区间.
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）
令，
令，，∴，∴.
作在上图象知与有四个交点，
记其横坐标从小到大依次为，，，，则，，
所以，
所以
（2）解：令
，所以
解得，即函数的定义域为
由解得，
令，当时，关于单调递增；
在上单调递减，∴在上单调递减.
故所求函数的单调递减区间为.
20．如图是函数（，，）的部分图象，M，N是它与x轴的两个不同交点，D是这部分图象的最高点且横坐标为，点是线段DM的中点．
（1）求函数的解析式及其在上的单调递增区间；
（2）当时，函数的最小值为，求实数a的值．
【答案】
（1），
（2）
【解析】（1）∵点是线段DM的中点，
∴，．
∵函数，
∴．周期，解得．
∵，∴，
解得，又，∴．
∴．
令，解得，当时，，
∴函数在上的单调递增区间为．
（2）
∵，∴，
∴．
令，则，∴．
设，则函数图象的对称轴为直线．
当，即时，，解得；
当，即时，，
解得（舍去）；
当，即时，，
解得（舍去）．综上，．
21．已知函数，其图象中相邻的两个对称中心的距离为，且函数的图象关于直线对称；
(1)求出的解析式；
(2)将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，若方程在上有两根，，求的值及的取值范围.
【答案】见解析
【解析】（1）因为函数的图象相邻的对称中心之间的距离为，
所以，即周期，所以，
所以，
又因为函数的图象关于直线轴对称，
所以，，即，，
因为，所以，
所以函数的解析式为；
（2）将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，
所以，
当时，，,
当时，有最小值且关于对称，
因为方程在上有两根，，
所以，
，即的取值范围.
22．已知函数的图像两相邻对称轴之间的距离是.若将的图像先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，图像对应的函数为奇函数.
（1）求的解析式；
（2）求图像的对称轴及的单调区间；
（3）若对任意，恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）对称轴为直线，，增区间为，减区间为
（3）
【解析】（1）解：因为，所以，所以.
又因为为奇函数，且，
所以且，又，
所以，，
所以.
（2）
解：令，，得；
令，，得；
令，，得，.
所以函数图像的对称轴为直线，.
函数的增区间为，减区间为.
（3）
解：因为，所以，所以，所以，
所以.
要使恒成立，即恒成立.
令，，则在上单调递增，
又，得，即，
所以，
即m的取值范围是.第7章 7.3三角函数的图像和性质（练习）
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
班级 姓名：
选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.要得到函数的图象，只需将函数的图象( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】
因为，所以的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象，故选D.
2．函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】
由题意，知当时，函数取得最大值，则，所以，所以，又，所以，
故选：A.
3.已知的最小正周期为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为最小正周期为，，故，故，
所以，
所以，
故选：C.
4．函数的图象的相邻两条对称轴间的距离是．若将函数的图象向右平移个单位，再把图象上每个点的横坐标缩小为原来的一半，得到，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
函数的图象的相邻两条对称轴间的距离是.
即函数的最小正周期为.
则,即
若将函数的图象向右平移个单位，
可得的图象，
再把图象上每个点的横坐标缩小为原来的一半，
得到的图象，
故选：D
5.函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】
由题意，知当时，函数取得最大值，则，所以，所以，又，所以，
故选：A.
6．将函数的图象向右平移个单位后，关于轴对称，则的可取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
函数的图象向右平移个单位后得到
，
的图象关于轴对称，
所以（），
当时，.
故选：C
7. 已知函数的图像与函数的图像交于M，N两点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由得即，
即，
解得或，由可得，
或，
，，显然MN与x轴交于点，
.
故选：B.
8.一半径为的水轮如图所示，水轮圆心距离水面，已知水轮每逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则（ ）
A．点第一次到达最高点需要
B．在水轮转动的一圈内，点距离水面的高度不低于共有的时间
C．点距离水面的高度（单位：）与时间（单位：）的函数解析式为
D．当水轮转动时，点在水面下方，距离水面
【答案】C
【解析】
设点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为f（t）＝Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|）
依题意可知f（t）的最大值为7.2，最小为﹣2.4，
∴A+B＝7.2，﹣A+B＝﹣2，解得A＝4.8，B＝2.4．
60，解得ω．
∴f（t）＝4.8sin（t+φ）+2.4，
当t＝0时，f（t）＝0，得sinφ，|φ|，φ，
故所求的函数关系式为f（t）＝4.8sin（t ）+2.4，C对，
令4.8sin（t ）+2.4＝7.2，
可得：sin（t）＝1，
∴t，解得t＝20．
点P第一次到达最高点要20s时间．A错，
4.8sin（t ）+2.4≥4.8 sin（t ） t 10≤t≤30；
∴在水轮转动的一圈内，有20秒的时间，点P距离水面的高度不低于4.8米；B错
t＝50时，f（t）＝4.8sin（t ）+2.4＝4.8sin（50 ）+2.4＝4.8sin2.4＝﹣2.4，D错．
故选： C．
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9．已知，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在上单调递增
C．函数的图象可以由函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的得到
D．是函数图象的一个对称中心
【答案】AD
【解析】
，所以A正确.
，所以函数在上单调递减，所以B错误.
函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的得到，所以C错误.
，所以D正确.
故选：AD
10．下列四种变换方式，其中能将的图象变为的图象的是（ ）
A．向左平移，再将横坐标缩短为原来的； B．横坐标缩短为原来的，再向左平移；
C．横坐标缩短为原来的，再向左平移； D．向左平移，再将横坐标缩短为原来的.
【答案】AB
【解析】
将的图像向左平移，可得函数，
再将横坐标缩短为原来的，可得的图像，故A正确；
或者将的图像横坐标缩短为原来的，可得的图像，
再向左平移个单位，可得的图像，故B正确；
对于C，横坐标缩短为原来的可得，再向左平移可得；故C错误；
对于D，向左平移可得，
再将横坐标缩短为原来的可得，故D错误；
故选：AB
11.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则具有的性质是( )
A.在上单调递增，为偶函数 B.最大值为，图象关于直线对称
C.在上单调递增，为奇函数 D.最小正周期为，图象关于点对称
【答案】ABD
将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，
为偶函数，且在上单调递增，所以A正确，C错误.
，，所以B正确. ，最小正周期为，所以D正确. 故选ABD.
12．已知函数，若，且的最小值为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数在上单调递增
C．将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称
D．对，都有
【答案】CD
【解析】
，
由相邻最高点与最低点的水平距离为，得，即，
所以，解得，所以.
A：，所以选项A错误；
B：由，得，
因为函数在单调递增，在单调递减，
所以选项B错误；
C：将的图象向右平移个单位长度后得到的函数解析式为
，
因为函数是偶函数，
所以函数的图象关于轴对称；
D：因为，
所以直线是函数的一条对称轴，
所以对，都有，故正确答案为CD.
故选：CD.
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知（其中）的单调递增区间为，则_________.
【答案】
【解析】由于函数（其中）的单调递增区间为，则该函数的最小正周期为，即，得.
，解不等式，
得，
所以，函数的单调递增区间为.
因此，.
故答案为：.
14. 函数的图像关于直线对称，则的最小值为 ．
【答案】
解法1：根据余弦函数的图像及性质，令，得，令得，，又因为，所以当时取得最小值为
解法2：由条件可得，即，则，，解得，，又因为，所以当时取得最小值为
15．已知，满足，，且在上有且仅有5个零点，则此函数解析式为_____________．
【答案】
【解析】
因为，令，
则，即，
所以是图像的对称中心，
又，令，
则，即，
所以是图像的对称轴，
所以，得，
令，则，所以，
因为在上有且只有5个零点，所以，又，
即，所以，得，代入上式，得，
又，所以，所以.
故答案为：
16．以下关于函数的结论：
①函数的图象关于直线对称；
②函数的最小正周期是；
③若，则；
④函数在上的零点个数为20．
其中所有正确结论的编号为______．
【答案】①②④
【解析】
对于①，当时，，故函数的图象关于直线对称，①正确；
对于②，函数的最小正周期是，②正确；
对于③，，即，
∴，或，
∴，或，如时，，③错误；
对于④，由得，，则由可得，，所以函数在上的零点个数为20，④正确.
故答案为：①②④.
解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知函数．
（1）求的最小正周期，并求的最小值及取得最小值时的集合；
（2）令，若对于恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）最小正周期是，最小值为．的集合为；
（2）.
【解析】
（1）由题意，函数，
可得其最小正周期是，
当，可得，即时，
函数的最小值为．
此时的集合为．
（2）由
因为，得，则，
所以，
若对于恒成立，则，
所以，即求实数的取值范围．
18.设函数，已知函数的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点对称.
(1)求的单调区间；
(2)求不等式的解集.
【答案】见解析
【解析】(1)由题意知，函数f(x)的最小正周期为T＝，
即，因为ω>0，所以ω＝2，从而f(x)＝tan(2x＋φ)，
因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称，
所以2×＋φ＝，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z.
因为0<φ<，所以φ＝，故f(x)＝tan.
令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，得，
即
所以函数的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间．
(2)由（1）知，f(x)＝tan.由－1≤tan≤，
得Z，即Z
所以不等式－1≤f(x)≤的解集为.
19．已知函数
（1）求函数在上的所有零点之和；
（2）求的单调递减区间.
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）
令，
令，，∴，∴.
作在上图象知与有四个交点，
记其横坐标从小到大依次为，，，，则，，
所以，
所以
（2）解：令
，所以
解得，即函数的定义域为
由解得，
令，当时，关于单调递增；
在上单调递减，∴在上单调递减.
故所求函数的单调递减区间为.
20．如图是函数（，，）的部分图象，M，N是它与x轴的两个不同交点，D是这部分图象的最高点且横坐标为，点是线段DM的中点．
（1）求函数的解析式及其在上的单调递增区间；
（2）当时，函数的最小值为，求实数a的值．
【答案】
（1），
（2）
【解析】（1）∵点是线段DM的中点，
∴，．
∵函数，
∴．周期，解得．
∵，∴，
解得，又，∴．
∴．
令，解得，当时，，
∴函数在上的单调递增区间为．
（2）
∵，∴，
∴．
令，则，∴．
设，则函数图象的对称轴为直线．
当，即时，，解得；
当，即时，，
解得（舍去）；
当，即时，，
解得（舍去）．综上，．
21．已知函数，其图象中相邻的两个对称中心的距离为，且函数的图象关于直线对称；
(1)求出的解析式；
(2)将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，若方程在上有两根，，求的值及的取值范围.
【答案】见解析
【解析】（1）因为函数的图象相邻的对称中心之间的距离为，
所以，即周期，所以，
所以，
又因为函数的图象关于直线轴对称，
所以，，即，，
因为，所以，
所以函数的解析式为；
（2）将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，
所以，
当时，，,
当时，有最小值且关于对称，
因为方程在上有两根，，
所以，
，即的取值范围.
22．已知函数的图像两相邻对称轴之间的距离是.若将的图像先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，图像对应的函数为奇函数.
（1）求的解析式；
（2）求图像的对称轴及的单调区间；
（3）若对任意，恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）对称轴为直线，，增区间为，减区间为
（3）
【解析】（1）解：因为，所以，所以.
又因为为奇函数，且，
所以且，又，
所以，，
所以.
（2）
解：令，，得；
令，，得；
令，，得，.
所以函数图像的对称轴为直线，.
函数的增区间为，减区间为.
（3）
解：因为，所以，所以，所以，
所以.
要使恒成立，即恒成立.
令，，则在上单调递增，
又，得，即，
所以，
即m的取值范围是.
