第7章 7.4三角函数的应用（练习）
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
班级 姓名：
选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则（ ）
A．该质点的简谐运动周期为0.7s
B．该质点的简谐运动振幅为5cm
C．该质点的简谐运动频率为1.25Hz
D．该质点的简谐运动周期为0.8s
【答案】BCD
【解析】由题图可知，运动周期为，故A错，D正确；
该简谐运动的振幅为5cm，故B正确；
该简谐运动的频率，故C正确；
故选：BCD．
2.如图所示，矗立于伦敦泰晤士河畔的伦敦眼是世界上首座、也曾经是世界最大的观景摩天轮．已知其旋转半径为60m，最高点距地面135m，运行一周大约30min，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，则第10min时他距地面大约为（ ）
A．95m B．100m C．105m D．110m
【答案】C
【解析】
设人在摩天轮上离地面高度（米）与时间（分钟）的函数关系为，
由题意可知，，，所以，
即.
又因为，
解得，故，
所以，
所以.
故选：C
3．智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相位为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：因为噪音的声波曲线（其中，，）的振幅为1，则，
周期为，则，初相位为，，
所以噪声的声波曲线的解析式为，
所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为．故选：A.
4．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深值（单位：）记录表
时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00
水深值
已知港口的水的深度随时间变化符合函数，现有一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与海底的距离），该船计划在中午点之后按规定驶入港口，并开始卸货，卸货时，其吃水深度以每小时的速度减小，小时卸完，则其在港口最多能停放（ ）
A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
【答案】B
【解析】
由表格中的数据可知，，则.
由T=12，∴，故，
当x=3时，f(x)=7，则∴，即，得.
∴.
由，得，
即或
∴或.
又该船计划在中午12点之后按规定驶入港口，
∴k=1时，x=13，即该船应在13点入港并开始卸货，
卸货时，其吃水深度以每小时的速度减小，小时卸完，卸完后的吃水深度为，
所以该货船需要的安全水深为3+2=5米，由，得，
即或
∴或.
所以可以停留到18点，此时水深为5米，货船需要离港，则其在港口最多能停放5小时.
故选：B
5.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离（cm）和时间（s）的函数关系式为，那么单摆来回摆动一次所需的时间为（ ）
A．s B．s C．s D．s
【答案】D
【解析】本题已给出了单摆离开平衡位置的距离（cm）和时间（s）的函数关系式，单摆来回摆一次所需的时间即为此函数的一个周期．
∵，∴．
6.某市一年12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用函数（）来表示，已知该市6月份的平均气温最高，为，12月份的平均气温最低，为，则该市8月份的平均气温为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意可得：
即，解得：，
所以，
所以该市8月份的平均气温为，
故选：A.
7．某艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘.将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角，处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：，，.根据测量得到的结果推算女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：取，设
则
设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为
则
故选：B
8．如图所示，扇形的半径为，圆心角为，是扇形弧上的动点，四边形是扇形的内接矩形，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图先用所给的角将矩形的面积表示出来，建立三角函数模型，再根据建立的模型利用三角函数的性质求最值.
【解析】
如图，记，在中，，，
在中，，
所以，
设矩形的面积为，
由，所以当，即时，取最大值，为,
故选：A.
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9.如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则（ ）．
A．点第一次到达最高点需要20秒
B．当水轮转动155秒时，点距离水面2米
C．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米
D．点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为
【答案】ABC
【解析】
设点距离水面的高度（米）和时间（秒）的函数解析式为
，
由题意得：解得
故．故D错误；
对于A，令，即，解得：，故A正确；
对于B，令，代入，解得：，故B正确；
对于C，令，代入，解得：，故C正确．
故选：ABC
10．为了研究钟表秒针针尖的运动变化规律，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖位置为点．若初始位置为点，秒针从（规定此时）开始沿顺时针方向转动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】设y与时间t的函数关系式为,由题意可得，初始位置为，即初相为，故可得，，则,.
又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T＝＝60，
所以|ω|＝，即ω＝－.
故满足题意的函数解析式为：.
故选：CD.
11.气候变化是人类面临的全球性问题，随着各国二氧化碳排放，温室气体猛增，对生命系统形成威胁，我国积极参与全球气候治理，加速全社会绿色低碳转型，力争2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和目标．某校高一数学研究性学习小组研究的课题是“碳排放与气候变化问题”，研究小组观察记录某天从到的温度变化，其变化曲线近似满足函数（，，），该函数图象如图，则（ ）
A．
B．函数的最小正周期为
C．，
D．若是偶函数，则的最小值为2
【答案】ACD
【解析】根据题图可知得所以．
根据题图可知，，B错误．
，，，即．又，所以，所以，解得，A正确．
，，所以，C正确．
因为是偶函数，所以，，得，，所以当时，取最小值，为2，D正确．
故选：ACD．
12.筒车亦称为“水转筒车”,是一种以流水为动力,取水灌田的工具.如图,假设在水流量稳定的情况下,一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动,筒车的轴心距离水面BC的高度为1.5米,设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点(水面与筒车右侧的交点),从此处开始计时,下列结论正确的是 ( )
A.分钟时,以射线为始边,为终边的角为
B.分钟时,该盛水筒距水面的距离为米
C.1分钟时该盛水筒距水面的距离与3分钟时该盛水筒距水面的距离相等
D.1个小时内有20分钟该盛水筒距水面的距离不小于3米
【答案】ACD
【解析】依题意设函数解析式为.由题意得,,,所以,所以.当时,,可得,不妨取,所以.
分钟时,以射线为始边,为终边的角为,盛水筒距水面的距离为米,故A正确,B错误.
当时,；当时,,故C正确.
令,得,在一个周期内解得,1个小时内有10个周期,所以有2×10=20分钟,故D正确.故选ACD.
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是函数，已知函数的图象向右平移个单位后，与纯音的数学模型函数图象重合，则 ，若函数在是减函数，则的最大值是 ．
【答案】；
【解析】将函数的图象向左平移个单位后可得到函数的图象，
则，
又，∴，
令，解得，
所以，函数的单调递减区间为，
由，可得，
由于函数在区间上单调递减，则，
解得，则的最大值为.
14．魏晋南北朝（公元220-581）时期，中国数学在测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通过多次观测测量山高水深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步，超越西方约一千年，关于重差术的注文在唐代成书，因其第题为测量海岛的高度和距离，故题为《海岛算经》.受此题启发，小明同学依照此法测量泾阳县崇文塔的高度（示意图如图所示），测得以下数据（单位：米）：前表却行，表高，后表却行，表间.则塔高___________米.
【答案】87
【解析】解：根据题意，，，
，解得（米，
（米．
故答案为：87
15.如图是某市夏季某一天从6时到14时的气温变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则该市这一天中午12时的气温大约是______（注：）．
【答案】27℃
【解析】
由题图，可知，，
所以，．
设该函数的最小正周期为T，
因为，所以，于是，
所以．
因为该图象经过点，
所以，
所以，所以，
所以，
又，
所以，
所以．
当时，（℃）．
故答案为：27℃
16.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数来表示，已知6月份的月平均气温最高为28℃，12月份的月平均气温最低为18℃，则10月份的平均气温值为________．
【答案】20. 5
【解析】
解：据题意得，
解得，
所以
令得
故答案为：20. 5
解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.如图，某地一天从时的温度变化曲线近似满足，其中，，.
(1)求，，，；
(2)求这一天时的最大温差近似值.
参考数据：，.
【答案】见解析
【解析】(1)由图象可知：，，最小正周期，
，，；
，，
，解得：，
又，.
(2)由图象可知：在上单调递减，在上单调递增，
，，
，
即这一天时的最大温差近似值为.
18.水车是一种利用水流动力进行灌溉的工具，是人类一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个水车的示意图，水车的半径为3米，水车中心（即圆心B）距水面1.5米.已知水车逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒，以水面为x轴，过圆心B作水面的垂线，则所在的直线为y轴建立直角坐标系，现将水车上的一个水斗视为点P，点P从出水面点A处开始计时.
(1)求点P到水面的距离h（米）与时间t（秒）的函数关系式；
(2)在水轮的一圈转动中，求点P露出水面的时长？
【答案】见解析
【解析】（1）如图所示：
过P向x轴作垂线，垂足为E，则，
∴，可得，
由题意知，水车的角速度，
∴经过t秒转过的角度为，即，
∴，
∴在中，，
∴点P到水面的距高.
（2）令，即，
由题意取，得，
∴在水轮的一周转动中，点P露出水面的时长为秒.
19.如图，某年某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．
（1）求出种群数量y关于时间t的函数表达式．
（2）猜测当年3月1日该动物的种群数量．
【答案】（1）．（答案不唯一）
（2）750
【解析】（1）设种群数量y关于时间t的表达式为，
则，解得，．
又周期，∴，∴．
又当时，，∴，
∴，∴，∴可取，
∴．（答案不唯一）
（2）当时，，即当年3月1日该动物种群数量约是750．
20．设，其中为正整数，.当时，函数在上单调递增且在上不单调.
(1)求正整数的值；
(2)在①函数的图象向右平移个单位长度所得图象对应的函数为奇函数，②函数在上的最小值为，③函数的图象的一条对称轴为，这三个条件中任选一个补充在下面横线中，并完成解答.
已知函数满足___________，在锐角三角形ABC中，，且.试问：这样的锐角三角形ABC是否存在？若存在，求角C；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）时，，，
因为当时，函数在上单调递增，
所以，且，得，
因为为正整数，所以，或，
当时，，显然在上单调，不合题意，
当时，在上不单调，符合题意，
所以.
（2）选①.
函数的图象向右平移个单位长度所得图象对应的函数为，
又为奇函数，则，，解得，，
又，故，所以，
，即，
则或，，
即或，.
又A，B为的内角，且，故，所以.
故这样的锐角三角形ABC不存在.
选②.
在上的最小值为，
因为，所以在上的最小值为，
所以，所以，
，即，
则或，，
即或，，
又A，B为的内角，且，故，所以.
故这样的锐角三角形ABC存在，且.
选③.
的图象关于对称，
则，，解得，，
又，故，所以，
，即，
则或，，
即或，，
又A，B为的内角，且，故，所以.
故这样的锐角三角形ABC存在，且.
21.某港口的水深（单位：是时间的函数，下面是该港口的水深数据：
0 3 6 9 12 15 18 21 24
10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10
一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于时就是安全的．
(1)若有以下几个函数模型：，，，你认为哪个模型可以更好地刻画与之间的对应关系？请你求出该拟合模型的函数解析式；
(2)如果船的吃水深度（船底与水面的距离）为，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？
【解析】(1)函数可以更好地刻画与之间的对应关系，
根据数据可得：，，，
又，，
.
(2)由题意，要满足题意，需，
即，，
，解得，，
当时，；当时，；
,或,，
所以，该船在至或至能安全进港，
若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16个小时．
22.如图，某圆形小区有两块空余绿化扇形草地（圆心角为）和（圆心角为），为圆的直径.现分别要设计出两块社区活动区域，其中一块为矩形区域，一块为平行四边形区域，已知圆的直径百米，且点在劣弧上（不含端点），点在上 点在上 点和在上 点在上，记.
(1)经设计，当达到最大值时，取得最佳观赏效果，求取何值时，最大，最大值是多少？
(2)设矩形和平行四边形面积和为，求的最大值及此时的值.
【答案】(1)时，最大值为百米
(2)百米，
【点拨】对于小问1，分别用变量来表达，，代入，得关于的函数，进行三角恒等变换整理成型函数求最大值；
对于小问2，分别用变量来表达矩形和平行四边形面积相加，得关于的函数，进行三角恒等变换整理成型函数求最大值.
【详解】（1）在矩形OEFG中，，，所以.
因为MN∥PQ，，所以，
在△OQP中，，，由正弦定理可知：
，即，
得.
所以
因为，所以，当，时，最大值为百米.
（2）设平行四边形MNPQ边MN上的高为h，所以有，
所以平行四边形MNPQ的面积为，
在矩形OEFG中，，所以矩形OEFG的面积为，
所以
.
其中，，，因为，所以，
当，时，百米2，
此时.第7章 7.4三角函数的应用（练习）
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
班级 姓名：
选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则（ ）
A．该质点的简谐运动周期为0.7s
B．该质点的简谐运动振幅为5cm
C．该质点的简谐运动频率为1.25Hz
D．该质点的简谐运动周期为0.8s
2.如图所示，矗立于伦敦泰晤士河畔的伦敦眼是世界上首座、也曾经是世界最大的观景摩天轮．已知其旋转半径为60m，最高点距地面135m，运行一周大约30min，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，则第10min时他距地面大约为（ ）
A．95m B．100m C．105m D．110m
3．智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相位为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
4．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深值（单位：）记录表
时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00
水深值
已知港口的水的深度随时间变化符合函数，现有一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与海底的距离），该船计划在中午点之后按规定驶入港口，并开始卸货，卸货时，其吃水深度以每小时的速度减小，小时卸完，则其在港口最多能停放（ ）
A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
5.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离（cm）和时间（s）的函数关系式为，那么单摆来回摆动一次所需的时间为（ ）
A．s B．s C．s D．s
6.某市一年12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用函数（）来表示，已知该市6月份的平均气温最高，为，12月份的平均气温最低，为，则该市8月份的平均气温为（ ）
A． B． C． D．
7．某艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘.将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角，处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：，，.根据测量得到的结果推算女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，扇形的半径为，圆心角为，是扇形弧上的动点，四边形是扇形的内接矩形，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9.如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则（ ）．
A．点第一次到达最高点需要20秒
B．当水轮转动155秒时，点距离水面2米
C．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米
D．点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为
10．为了研究钟表秒针针尖的运动变化规律，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖位置为点．若初始位置为点，秒针从（规定此时）开始沿顺时针方向转动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系式可能为（ ）
A． B．
C． D．
11.气候变化是人类面临的全球性问题，随着各国二氧化碳排放，温室气体猛增，对生命系统形成威胁，我国积极参与全球气候治理，加速全社会绿色低碳转型，力争2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和目标．某校高一数学研究性学习小组研究的课题是“碳排放与气候变化问题”，研究小组观察记录某天从到的温度变化，其变化曲线近似满足函数（，，），该函数图象如图，则（ ）
A．
B．函数的最小正周期为
C．，
D．若是偶函数，则的最小值为2
12.筒车亦称为“水转筒车”,是一种以流水为动力,取水灌田的工具.如图,假设在水流量稳定的情况下,一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动,筒车的轴心距离水面BC的高度为1.5米,设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点(水面与筒车右侧的交点),从此处开始计时,下列结论正确的是 ( )
A.分钟时,以射线为始边,为终边的角为
B.分钟时,该盛水筒距水面的距离为米
C.1分钟时该盛水筒距水面的距离与3分钟时该盛水筒距水面的距离相等
D.1个小时内有20分钟该盛水筒距水面的距离不小于3米
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是函数，已知函数的图象向右平移个单位后，与纯音的数学模型函数图象重合，则 ，若函数在是减函数，则的最大值是 ．
14．魏晋南北朝（公元220-581）时期，中国数学在测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通过多次观测测量山高水深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步，超越西方约一千年，关于重差术的注文在唐代成书，因其第题为测量海岛的高度和距离，故题为《海岛算经》.受此题启发，小明同学依照此法测量泾阳县崇文塔的高度（示意图如图所示），测得以下数据（单位：米）：前表却行，表高，后表却行，表间.则塔高___________米.
15.如图是某市夏季某一天从6时到14时的气温变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则该市这一天中午12时的气温大约是______（注：）．
16.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数来表示，已知6月份的月平均气温最高为28℃，12月份的月平均气温最低为18℃，则10月份的平均气温值为________．
四．解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.如图，某地一天从时的温度变化曲线近似满足，其中，，.
(1)求，，，；
(2)求这一天时的最大温差近似值.
参考数据：，.
18.水车是一种利用水流动力进行灌溉的工具，是人类一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个水车的示意图，水车的半径为3米，水车中心（即圆心B）距水面1.5米.已知水车逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒，以水面为x轴，过圆心B作水面的垂线，则所在的直线为y轴建立直角坐标系，现将水车上的一个水斗视为点P，点P从出水面点A处开始计时.
(1)求点P到水面的距离h（米）与时间t（秒）的函数关系式；
(2)在水轮的一圈转动中，求点P露出水面的时长？
19.如图，某年某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．
（1）求出种群数量y关于时间t的函数表达式．
（2）猜测当年3月1日该动物的种群数量．
20．设，其中为正整数，.当时，函数在上单调递增且在上不单调.
(1)求正整数的值；
(2)在①函数的图象向右平移个单位长度所得图象对应的函数为奇函数，②函数在上的最小值为，③函数的图象的一条对称轴为，这三个条件中任选一个补充在下面横线中，并完成解答.
已知函数满足___________，在锐角三角形ABC中，，且.试问：这样的锐角三角形ABC是否存在？若存在，求角C；若不存在，请说明理由.
21.某港口的水深（单位：是时间的函数，下面是该港口的水深数据：
0 3 6 9 12 15 18 21 24
10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10
一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于时就是安全的．
(1)若有以下几个函数模型：，，，你认为哪个模型可以更好地刻画与之间的对应关系？请你求出该拟合模型的函数解析式；
(2)如果船的吃水深度（船底与水面的距离）为，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？
22.如图，某圆形小区有两块空余绿化扇形草地（圆心角为）和（圆心角为），为圆的直径.现分别要设计出两块社区活动区域，其中一块为矩形区域，一块为平行四边形区域，已知圆的直径百米，且点在劣弧上（不含端点），点在上 点在上 点和在上 点在上，记.
(1)经设计，当达到最大值时，取得最佳观赏效果，求取何值时，最大，最大值是多少？
(2)设矩形和平行四边形面积和为，求的最大值及此时的值.
