第8章 8.1二分法与求方程近似值（练习）
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
班级 姓名：
选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．若函数在区间[1，1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下：
x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125
f（x） -1 0.875 -0.2969 0.2246 -0.05151
那么方程的一个近似根（精确度为0.1）可以为（ ）
A．1.3 B．1.32 C．1.4375 D．1.25
【答案】B
【解析】由，，且为连续函数，由零点存在性定理知：区间内存在零点，故方程的一个近似根可以为1.32，B选项正确，其他选项均不可.
故选：B
2．用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】因为，
由零点存在性知：零点，
根据二分法，第二次应计算，即，
故选：D.
3．函数的零点所在的区间是（ ）
A．（0，1） B．(1，2) C．(2，3) D．（3，4）
【答案】B
【解析】：因为函数均为上的单调递减函数，
所以函数在上单调递减，
因为，，
所以函数的零点所在的区间是.
故选：B
4．函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，
且函数的定义域是，定义域内是增函数，也是增函数，所以是增函数，且，
所以函数的零点所在的区间为.
故选：B
5．已知函数若关于x的方程恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数的图像如下图所示：
若关于x的方程恰有三个不相等的实数解，
则函数的图像与直线有三个交点，
若直线经过原点时，m＝0，
若直线与函数的图像相切，令，令.
故.
故选：D．
6．已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】：根据题意画出函数的图象，如图所示：
函数有三个零点，等价于函数与函数有三个交点，
当直线位于直线与直线之间时，符合题意，
由图象可知：，，
所以，
故选：D.
7．若函数的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程的一个近似根（精确度0.1）为（ ）．
A．1.2 B．1.4 C．1.3 D．1.5
【答案】B
【解析】：因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以满足精确度；
所以方程的一个近似根（精确度）是区间内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选B .
故选：B
8．对于函数，若，则称为函数的“不动点”；若，则称为函数的“稳定点”．如果函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数的“不动点”一定是“稳定点”，而函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，即不存在非“不动点”的“稳定点”，
所以有解，但方程组无解，
由，得有解，
所以，解得
由得
两式相减，得，
因为，所以，
消去，得，
因为方程无解或仅有两个相等的实根，
所以，解得，
故a的取值范围是
故选：D.
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9．已知函数，则（ ）
A．对任意的，函数都有零点.
B．当时，对，都有成立.
C．当时，方程有4个不同的实数根.
D．当时，方程有2个不同的实数根.
【答案】AC
【解析】当时，；当时，；
所以当时，函数只有个零点，当时，函数只有个零点，
时，函数只有个零点，故A正确；
当时，由指数函数与二次函数的单调性知，函数为单调递增函数，故B错；
当时，令，由得或，作出函数的图象
如图所示，当时，方程有两个解；方程有两个解；
所以方程有4个不同的实数根，故C正确；
当时，方程，则，如图所示，有1个不同的交点，
则故D错误．
故选：AC
10．已知函数，如果函数恰有两个零点，那么实数的取值范围可以是（ ）
A． B． C． D．.
【答案】BD
【解析】在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，如图，
由图象可知，当时，函数f (x)有两个零点和，当时，函数f (x）有两个零点和.
故选：BD
11．定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，下列四个结论中正确的有（ ）
A．方程有且仅有三个解 B．方程有且仅有三个解
C．方程有且仅有八个解 D．方程有且仅有一个解
【答案】ABD
【解析】由图象可知，对于方程，当或，方程只有一解；
当时，方程只有两解；当时，方程有三解；
对于方程，当时，方程只有唯一解.
对于A选项，令，则方程有三个根，，，
方程、、均只有一解，
所以，方程有且仅有三个解，A选项正确；
对于B选项，令，方程只有一解，
方程只有三解，所以，方程有且仅有三个解，B选项正确；
对于C选项，设，方程有三个根，，，
方程有三解，方程有三解，方程有三解，
所以，方程有且仅有九个解，C选项错误；
对于D选项，令，方程只有一解，方程只有一解，
所以，方程有且仅有一个解，D选项正确.
故选：ABD.
12．关于函数，下列描述正确的有（ ）
A．在区间上单调递增 B． 的图象关于直线对称
C．若则 D．有且仅有两个零点
【答案】ABD
【解析】根据图象变换作出函数的图象（，作出的图象，
再作出其关于轴对称的图象，然后向右平移2个单位，
最后把轴下方的部分关于轴翻折上去即可得），如图，
由图象知在是单调递增，A正确，函数图象关于直线对称，B正确；
，直线与函数图象相交可能是4个交点，如图，
如果最左边两个交点横坐标分别是，则不成立，C错误，
与轴仅有两个公共点，即函数仅有两个零点，D正确．
故选：ABD．
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数在上有且仅有2个零点，则整数的值为________．
【答案】1
【解析】依题意，.由得，
要使函数在有且只有个零点，
则需，即，
所以整数的值为1.
故答案为：1
14．已知函数若函数恰有8个零点，则的范围为___________．
【答案】
【解析】画出函数的图像如图所示，
设，由，得．
因为有8个零点，
所以方程有4个不同的实根，
结合的图像可得在内有4个不同的实根．
所以方程必有两个不等的实数根，
即在内有2个不同的实根，
画出函数的图象，如图所示：
结合图像可知，
，故．
15．当时，.若函数没有零点，则正实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】当时，
当时，可化为
作出函数与的图象
由图可知当时，要使得函数没有零点
必须满足，解得
当时，要使得函数没有零点
必须满足或者，解得或
综上，
故答案为：
26．已知函数，().若函数是偶函数，则___________；若函数存在两个零点，则的一个取值是___________.
【答案】 答案不唯一.
【解析】由已知得，因是偶函数，则有，
所以，解得a=0；
函数存在两个零点，即方程有两个根，
而，函数单调递减，且
方程与各有一个根，从而a<2且a<-2，所以a<-2，取a=-3，答案不唯一.
故答案为：0；答案不唯一.
四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知函数f（x）＝3x2－5x＋a．
（1）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）的一个零点在(－2，0)内，另一个零点在(1，3)内，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）(－12，0)．
【解析】（1）由题意得Δ＝25－4×3×a>0，解得．所以a的取值范围是．
（2）由草图可知
得，解得．所以a的取值范围是
18．用二分法求函数在区间内的零点（精确到0.1）．
【答案】
【解析】由题，可取区间作为计算初始区间，
用二分法逐步计算，列表如下：
端点或中点横坐标 计算端点或中点的函数值 定区间
函数在区间内的零点为
19．已知函数（m∈R）．
(1)若关于x的方程在区间上有三个不同解，求m与的值；
(2)对任意，都有，求m的取值范围．
【答案】(1)m＝4，；
(2).
【解析】（1）,
设，在上，则，
若有三个不同解，则有两个不同的根，其中，，
所以，得：m＝4，
由得：，
由，知：两个解关于对称，即，
综上，；
（2）由（1），当时，，
要使恒成立，即，得，
当t＝0时，不等式恒成立，
当t＞0时，恒成立，又，当且仅当时取等号，此时，
当t＜0时，，而时为减函数，而，此时，
综上，实数m的取值范围是．
20．已知函数，k∈R．
(1)若为偶函数，求k的值；
(2)若有且仅有一个零点，求k的取值范围；
(3)求在区间[0,2]上的最大值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)当时最大值为；当时最大值为0.
【解析】(1)∵为偶函数，
∴，即，解得k＝0，经检验k＝0符合题意；
(2)由题意得，方程有且仅有一个解，显然，x＝1已是该方程的解，
当x≥1时，方程化为；当x＜1时，方程化为；
∴(x≥1)有且仅有一个等于1的解或无解且(x＜1)无解，
又x＝1时，k＝2，此时x＝3也是方程的解，不合题意，
∴关于x的方程(x≥1)、(x＜1)均无解，可得k＜2且k≤2，
综上，k≤2，即实数k的取值范围为(∞,2]．
(3)当x∈[0,2]时，，
∵在 [0,2]上由两段抛物线段组成，且两个抛物线开口均向上，
∴最大值只可能是其中之一，
又，，，显然，
∴当k＜3时，所求最大值为；当k≥3时，所求最大值为．
21．已知函数的图象关于直线x＝1对称，且函数为偶函数，函数.
(1)求函数的表达式；
(2)求证：方程在区间上有唯一实数根；
(3)若存在实数m，使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【解析】（1）∵的图象关于直线x＝1对称，
∴.
又为偶函数，∴，.
∴.
（2）设，∵，，∴.
又，在区间上均单调递减，
∴在区间上单调递减，
∴在区间上存在唯一零点.
∴方程在区间上有唯一实数根.
（3）由题可知，，
若存在实数m，使得，则，
即，解得.
∴n的取值范围是.
22．已知函数为常数，．请在下面四个函数：①，②，③，④中选择一个函数作为，使得是偶函数．
(1)求的表达式；
(2)设函数，若方程只有一个解，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）若选①，，则，为偶函数；
又，
不是偶函数，不合题意；
若选②，定义域为，不关于原点对称，为非奇非偶函数，不合题意；
若选③，，
，
若为偶函数，则，，解得：，
；
若选④，，
，
若为偶函数，则，，即；
为常数，不恒成立，即为偶函数不恒成立，不合题意；
综上所述：；
（2）由（1）得：只有一个解，
整理可得：，
，即，
令，则，
①当时，，解得：（舍）；
②当时，，，解得：，
即在上有且仅有一个解；
令，则对称轴为，
则需，；
③当时，，，解得：，
即在上有且仅有一个解；
令，则对称轴为，
，，则需，解得：；
综上所述：的取值范围为.第8章 8.1二分法与求方程近似值（练习）
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
班级 姓名：
选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．若函数在区间[1，1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下：
x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125
f（x） -1 0.875 -0.2969 0.2246 -0.05151
那么方程的一个近似根（精确度为0.1）可以为（ ）
A．1.3 B．1.32 C．1.4375 D．1.25
2．用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．函数的零点所在的区间是（ ）
A．（0，1） B．(1，2) C．(2，3) D．（3，4）
4．函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数若关于x的方程恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
7．若函数的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程的一个近似根（精确度0.1）为（ ）．
A．1.2 B．1.4 C．1.3 D．1.5
8．对于函数，若，则称为函数的“不动点”；若，则称为函数的“稳定点”．如果函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9．已知函数，则（ ）
A．对任意的，函数都有零点.
B．当时，对，都有成立.
C．当时，方程有4个不同的实数根.
D．当时，方程有2个不同的实数根.
10．已知函数，如果函数恰有两个零点，那么实数的取值范围可以是（ ）
A． B． C． D．.
11．定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，下列四个结论中正确的有（ ）
A．方程有且仅有三个解 B．方程有且仅有三个解
C．方程有且仅有八个解 D．方程有且仅有一个解
12．关于函数，下列描述正确的有（ ）
A．在区间上单调递增 B． 的图象关于直线对称
C．若则 D．有且仅有两个零点
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数在上有且仅有2个零点，则整数的值为________．
14．已知函数若函数恰有8个零点，则的范围为___________．
15．当时，.若函数没有零点，则正实数的取值范围是___________.
26．已知函数，().若函数是偶函数，则___________；若函数存在两个零点，则的一个取值是___________.
四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知函数f（x）＝3x2－5x＋a．
（1）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）的一个零点在(－2，0)内，另一个零点在(1，3)内，求实数a的取值范围．
18．用二分法求函数在区间内的零点（精确到0.1）．
19．已知函数（m∈R）．
(1)若关于x的方程在区间上有三个不同解，求m与的值；
(2)对任意，都有，求m的取值范围．
20．已知函数，k∈R．
(1)若为偶函数，求k的值；
(2)若有且仅有一个零点，求k的取值范围；
(3)求在区间[0,2]上的最大值．
21．已知函数的图象关于直线x＝1对称，且函数为偶函数，函数.
(1)求函数的表达式；
(2)求证：方程在区间上有唯一实数根；
(3)若存在实数m，使得，求实数的取值范围.
22．已知函数为常数，．请在下面四个函数：①，②，③，④中选择一个函数作为，使得是偶函数．
(1)求的表达式；
(2)设函数，若方程只有一个解，求的取值范围．
