人教新课标A版必修1数学2.3 幂函数同步检测
一、选择题
1．下列函数：①y=x2+1；② ；③y=2x2；④ ；⑤ ，其中幂函数是（ ）
A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤
2．若y=x2，y=（ ）x，y=4x2，y=x5+1，y=（x﹣1）2，y=x，y=ax（a＞1）上述函数是幂函数的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．下列函数是幂函数的是（ ）
A．y=2x2 B．y=x3 C．y=x2+1 D．
4．幂函数y=xn的图象（ ）
A．一定经过点（0，0） B．一定经过点（﹣1，﹣1）
C．一定经过点（﹣1，1） D．一定经过点（1，1）
5．幂函数f（x）=xα的图象经过点 （4，） ，则 的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．幂函数y=f（x）的图象经过点（4， ），则f（ ）的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．当 时，幂函数y=xα的图象不可能经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．幂函数的图象过点 ，则它的单调递增区间是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，0）
C．（0，﹣∞） D．（﹣∞，+∞）
9．设 ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
10．已知幂函数y=f（x）的图象过（4，2）点，则 =（ ）
A． B． C． D．
11．已知幂函数f（x）的图象过点 ，若x1＞x2＞1，则（ ）
A．f（x1）＞f（x2）＞1 B．f（x1）＞1＞f（x2）
C．f（x1）＜f（x2）＜1 D．f（x1）＜1＞f（x2）
12．若 ，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c
13．设a＞1，若对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax+logay=3，这时a的取值集合为（ ）
A．{a|1＜a≤2} B．{a|a≥2}
C．{a|2≤a≤3} D．{2，3}
14．幂函数f（x）的图象过点（4， ，那么f﹣1（8）的值是（ ）
A． B． C． D．
15．幂函数y=xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα，y=xβ的图象三等分，即有BM=MN=NA．那么，αβ=（ ）
A．1 B．2 C． D．
二、填空题
16．已知幂函数y=xn图象过点（2，8），则其解析式是 ．
17．已知幂函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R，当且仅当x1=x2时，有f（x1）=f（x2）．则f（﹣1）+f（0）+f（1）的值为 ．
18．函数y= 在第一象限内单调递减，则m的最大负整数是 ．
19．幂函数f（x）的图象过点（3， ），则f（x）的解析式是 ．
20．若幂函数y=f（x）的图象经过点（9， ），则f（25）的值是 ．
三、解答题
21．幂函数f（x）=xn（n∈Z）具有性质f2（1）+f2（﹣1）=2[f（1）+f（﹣1）﹣1]，判断函数f（x）的奇偶性．
22．已知幂函数y=f（x）的图象过点 ．
（1）求函数f（x）的解析式
（2）记g（x）=f（x）+x，判断g（x）在（1，+∞）上的单调性，并证明之．
23．已知幂函数y=xm2﹣2m﹣3（m∈Z）的图象与x，y轴都无公共点，且，求m的值．
24．已知幂函数 （m∈Z）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数
（1）求m的值和函数f（x）的解析式
（2）解关于x的不等式f（x+2）＜f（1﹣2x）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】幂函数的定义规定；y=xa（a为常数）为幂函数，
所以选项中：①y=x2+1错；
② 正确；
③y=2x2错；
④ 正确；
⑤ 错，其中幂函数是②④．
故选C．
【分析】根据幂函数的定义，直接判定选项的正误，推出正确结论．
2．【答案】C
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】解答：由幂函数的定义知，
y=x2，y=（ ）x，y=4x2，y=x5+1，y=（x﹣1）2，y=x，y=ax（a＞1）七个函数中，
是幂函数的是y=x2和y=x，
故选C．
分析：由幂函数的定义直接进行判断知甩给的函数中是幂函数的是y=x2和y=x．
3．【答案】B
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】根据幂函数的定义：y=xa（a为常数）为幂函数；
所以选项中A中项的系数不为1，错；
C选项后多了一个：“1”，错；
D选项被开方数不是x，不正确；
只有B正确；
故选B
【分析】根据幂函数的定义：y=xa（a为常数）为幂函数，直接判定选项的正确与否，得出正确结论．
4．【答案】D
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】由幂的运算性质，令x=1，对任意的n∈R总有y=1，即幂函数y=xn的图象一定经过点（1，1）
故选D
【分析】本题研究幂函数的图象所过的定点，根据幂函数的性质易知，当底数为1时，函数值不随着指数的变化而变化，故令底数为1，解出此时的函数值即可得到函数所过的定点坐标．
5．【答案】C
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】解答：幂函数f（x）=xα的图象经过点 （4，） ，所以 ,,
∴
故选C．
分析：把点代入幂函数，求得a的值，然后求 的值．
6．【答案】B
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】解答：设幂函数为：y=xα
∵幂函数的图象经过点（4， ），
∴ =4α
∴α=﹣
∴y=
则f（ ）的值为： ．
故选B．
分析：先设出幂函数解析式来，再通过经过点（4， ），解得参数，从而求得其解析式，再代入 求f（ ）的值．
7．【答案】D
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】解答：当α= 、1、2、3 时，y=xα是定义域内的增函数，图象过原点，
当α=﹣1 时，幂函数即y= ，图象在第一、第三象限，
故图象一定不在第四象限．
∴答案选 D．
分析：利用幂函数的图象特征和性质，结合答案进行判断．
8．【答案】B
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】解答：设幂函数为y=xa，
把点 ，得 ，
解得a=﹣2．
∴幂函数为y=x﹣2．
∴它的单调递增区间是（﹣∞，0）．
故选B．
分析：设幂函数为y=xa，把点 ，求出a的值，从而得到幂函数的方程，由此能得到幂函数的单调递增区间．
9．【答案】A
【知识点】幂函数图象及其与指数的关系
【解析】解答：∵ 在x＞0时是增函数
∴a＞c
又∵ 在x＞0时是减函数，所以c＞b
故答案选A
分析：根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来．
10．【答案】D
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】解答：因由题意可设f（x）=xα，又函数图象过定点（4，2），∴4α=2，∴ ，从而可知 ，
∴ ．
故选D．
分析：本题考查的是幂函数的图象与性质以及求解析式问题．在解答时可以先设出幂函数的解析式，由于过定点，从而可解得函数的解析式，故而获得问题的解答．
11．【答案】C
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】解答：幂函数f（x）的图象过点 ，所以 ，
所以α=﹣1，所以幂函数为y=x﹣1，幂函数在x＞0时是减函数，
因为x1＞x2＞1，所以f（x1）＜f（x2）＜1．
故选C．
分析：求出幂函数的解析式，根据幂函数的单调性，判断f（x1），1，f（x2）的大小即可．
12．【答案】D
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】解答：∵ 在第一象限内是增函数，
∴ ，
∵ 是减函数，
∴ ，
所以b＜a＜c．
故选D．
分析：由 在第一象限内是增函数，知 ．由 是减函数，知 ．由此可知a、b、c的大小关系．
13．【答案】B
【知识点】幂函数的实际应用
【解析】解答：易得 ，在[a，2a]上单调递减，
所以 ，
故 a≥2
故选B．
分析：先由方程logax+logay=3解出y，转化为函数的值域问题求解．
14．【答案】B
【知识点】幂函数的实际应用
【解析】解答：设幂函数为：y=xα
∵幂函数的图象经过点（4， ），
∴ =4α
∴α=﹣
∴
∴f（x）=8 x=
故选B．
分析：先设出幂函数解析式来，再通过经过点（4， ），解得参数，从而求得其解析式，再代入f（x）= 求x值即得．
15．【答案】A
【知识点】幂函数的实际应用
【解析】解答：BM=MN=NA，点A（1，0），B（0，1），所以M
N ，分别代入y=xα，y=xβ
故选A．
分析：先根据题意结合图形确定M、N的坐标，然后分别代入y=xα，y=xβ求得α，β；最后再求αβ的值即得．
16．【答案】y=x3
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】设f（x）=xn，
∵幂函数y=f（x）的图象过点 （2，8），
∴2n=8
∴n=3．
这个函数解析式为 y=x3．
故答案为：y=x3．
【分析】根据幂函数的概念设f（x）=xn，将点的坐标代入即可求得n值，从而求得函数解析式．
17．【答案】0
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】设f（x）=xα，由已知，函数f（x）的定义域为R，∴α＞0，又∵对任意x1，x2∈R，当且仅当x1=x2时，有f（x1）=f（x2）．即是说，y与x一一对应，f（x）必定不是偶函数．当α为整数时，α必为奇数，从而f（x）为奇函数，f（0）=0，f（﹣1）+f（0）+f（1）=﹣f（1）+0+f（1）=0．
当α为分数时，设α= ，（ 为最简正分数，且n≥2），f（x）= = ，∴m为奇数，n为奇数，此时f（x）为奇函数，
同样地，f（0）=0，f（﹣1）+f（0）+f（1）=﹣f（1）+0+f（1）=0．，
故答案为：0
【分析】由已知，函数f（x）的定义域为R，再进一步的判断出是奇函数，问题解决．
18．【答案】﹣1
【知识点】幂函数图象及其与指数的关系
【解析】【解答】函数y= 即为幂函数y=x﹣（m+2），
∵它在第一象限内单调递减，
∴﹣（m+2）＜0，解得m＞﹣2；
∴m的最大负整数是m=﹣1．
故答案为：﹣1．
【分析】先整理函数的解析式，根据它在第一象限内单调递减，根据幂函数的性质可推断出﹣（m+2）＜0，求得m的范围．
19．【答案】f（x）=
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】由题意设f（x）=xa，
∵幂函数f（x）的图象过点（3， ），
∴f（3）=3a=
∴a=
∴f（x）=
故答案为：f（x）=
【分析】幂函数f（x）的图象过点（3， ），故可根据幂函数的定义用待定系数法设出函数的解析式，代入所给点的坐标求参数，由此可得函数的解析式．
20．【答案】
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】∵幂函数y=f（x）的图象经过点（9， ），设幂函数f（x）=xα，α为常数，
∴9α= ，∴α=﹣ ，∴f（25）= = ，
故答案为： ．
【分析】设出幂函数f（x）=xα，α为常数，把点（9， ）代入，求出待定系数α的值，得到幂函数的解析式，进而可求f（25）．
21．【答案】解：由题意得：（1n）2+（（﹣1）n）2=2[1n+（﹣1）n﹣1]，2=2[1n+（﹣1）n﹣1]①，
当n为奇数时，①不成立，当n为偶数时，①恒成立，故n一定为偶数，
∴幂函数f（x）=xn（n∈Z）是个偶函数．
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【分析】先化简题目中的等式，分n为奇数和n为偶数2种情况讨论，最后确定n一定为偶数，从而得出幂函数f（x）=xn（n∈Z）是个偶函数．
22．【答案】（1）解：由题意令y=f（x）=xa，由于图象过点（ ， ）， 得 = a，a=﹣1
∴y=f（x）=x﹣1
（2）解：g（x）=f（x）+x=x+ 函数 在区间（1，+∞）上是增函数，
证明：任取x1、x2使得x1＞x2＞1，
都有
由x1＞x2＞1得，x1﹣x2＞0，x1x2＞0，x1x2﹣1＞0，
于是g（x1）﹣g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2），
所以，函数 在区间（1，+∞）上是增函数．
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式即可；（2）函数在区间（1，+∞）上为增函数，理由为：在区间（1，+∞）上任取x1＞x2＞1，求出f（x1）﹣f（x2），通分后，根据设出的x1＞x2＞1，判定其差大于0，即f（x1）＞f（x2），从而得到函数为增函数．
23．【答案】解：由题意可得：m2﹣2m﹣3＜0
解得﹣1＜m＜3，
又∵m∈Z，∴m=0，1，2
∵图形关于y轴对称
∴m2﹣2m﹣3是偶数，
故m的值为1．
【知识点】幂函数的图象与性质；幂函数的实际应用
【解析】【分析】幂函数y=xm2﹣2m﹣3（m∈Z）的图象与x，y轴都无公共点说明指数为负数，而图形关于y轴对称说明函数为偶函数．
24．【答案】（1）幂函数 （m∈Z）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数，
所以，m2﹣4m＜0，解得0＜m＜4，
因为m∈Z，所以m=2；
函数的解析式为：f（x）=x﹣4．
（2）不等式f（x+2）＜f（1﹣2x），函数是偶函数，在区间（0，+∞）为减函数，
所以|1﹣2x|＜|x+2|，解得 ，
又因为1﹣2x≠0，x+2≠0
所以 ，
【知识点】幂函数的实际应用
【解析】【分析】（1）利用幂函数的性质，结合函数的奇偶性通过m∈Z，求出m的值，写出函数的解析式．（2）利用函数的性质，函数的定义域，把不等式转化为同解不等式，即可求出不等式的解集．
1 / 1人教新课标A版必修1数学2.3 幂函数同步检测
一、选择题
1．下列函数：①y=x2+1；② ；③y=2x2；④ ；⑤ ，其中幂函数是（ ）
A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤
【答案】C
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】幂函数的定义规定；y=xa（a为常数）为幂函数，
所以选项中：①y=x2+1错；
② 正确；
③y=2x2错；
④ 正确；
⑤ 错，其中幂函数是②④．
故选C．
【分析】根据幂函数的定义，直接判定选项的正误，推出正确结论．
2．若y=x2，y=（ ）x，y=4x2，y=x5+1，y=（x﹣1）2，y=x，y=ax（a＞1）上述函数是幂函数的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】解答：由幂函数的定义知，
y=x2，y=（ ）x，y=4x2，y=x5+1，y=（x﹣1）2，y=x，y=ax（a＞1）七个函数中，
是幂函数的是y=x2和y=x，
故选C．
分析：由幂函数的定义直接进行判断知甩给的函数中是幂函数的是y=x2和y=x．
3．下列函数是幂函数的是（ ）
A．y=2x2 B．y=x3 C．y=x2+1 D．
【答案】B
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】根据幂函数的定义：y=xa（a为常数）为幂函数；
所以选项中A中项的系数不为1，错；
C选项后多了一个：“1”，错；
D选项被开方数不是x，不正确；
只有B正确；
故选B
【分析】根据幂函数的定义：y=xa（a为常数）为幂函数，直接判定选项的正确与否，得出正确结论．
4．幂函数y=xn的图象（ ）
A．一定经过点（0，0） B．一定经过点（﹣1，﹣1）
C．一定经过点（﹣1，1） D．一定经过点（1，1）
【答案】D
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】由幂的运算性质，令x=1，对任意的n∈R总有y=1，即幂函数y=xn的图象一定经过点（1，1）
故选D
【分析】本题研究幂函数的图象所过的定点，根据幂函数的性质易知，当底数为1时，函数值不随着指数的变化而变化，故令底数为1，解出此时的函数值即可得到函数所过的定点坐标．
5．幂函数f（x）=xα的图象经过点 （4，） ，则 的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】解答：幂函数f（x）=xα的图象经过点 （4，） ，所以 ,,
∴
故选C．
分析：把点代入幂函数，求得a的值，然后求 的值．
6．幂函数y=f（x）的图象经过点（4， ），则f（ ）的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】解答：设幂函数为：y=xα
∵幂函数的图象经过点（4， ），
∴ =4α
∴α=﹣
∴y=
则f（ ）的值为： ．
故选B．
分析：先设出幂函数解析式来，再通过经过点（4， ），解得参数，从而求得其解析式，再代入 求f（ ）的值．
7．当 时，幂函数y=xα的图象不可能经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】解答：当α= 、1、2、3 时，y=xα是定义域内的增函数，图象过原点，
当α=﹣1 时，幂函数即y= ，图象在第一、第三象限，
故图象一定不在第四象限．
∴答案选 D．
分析：利用幂函数的图象特征和性质，结合答案进行判断．
8．幂函数的图象过点 ，则它的单调递增区间是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，0）
C．（0，﹣∞） D．（﹣∞，+∞）
【答案】B
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】解答：设幂函数为y=xa，
把点 ，得 ，
解得a=﹣2．
∴幂函数为y=x﹣2．
∴它的单调递增区间是（﹣∞，0）．
故选B．
分析：设幂函数为y=xa，把点 ，求出a的值，从而得到幂函数的方程，由此能得到幂函数的单调递增区间．
9．设 ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
【答案】A
【知识点】幂函数图象及其与指数的关系
【解析】解答：∵ 在x＞0时是增函数
∴a＞c
又∵ 在x＞0时是减函数，所以c＞b
故答案选A
分析：根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来．
10．已知幂函数y=f（x）的图象过（4，2）点，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】解答：因由题意可设f（x）=xα，又函数图象过定点（4，2），∴4α=2，∴ ，从而可知 ，
∴ ．
故选D．
分析：本题考查的是幂函数的图象与性质以及求解析式问题．在解答时可以先设出幂函数的解析式，由于过定点，从而可解得函数的解析式，故而获得问题的解答．
11．已知幂函数f（x）的图象过点 ，若x1＞x2＞1，则（ ）
A．f（x1）＞f（x2）＞1 B．f（x1）＞1＞f（x2）
C．f（x1）＜f（x2）＜1 D．f（x1）＜1＞f（x2）
【答案】C
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】解答：幂函数f（x）的图象过点 ，所以 ，
所以α=﹣1，所以幂函数为y=x﹣1，幂函数在x＞0时是减函数，
因为x1＞x2＞1，所以f（x1）＜f（x2）＜1．
故选C．
分析：求出幂函数的解析式，根据幂函数的单调性，判断f（x1），1，f（x2）的大小即可．
12．若 ，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c
【答案】D
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】解答：∵ 在第一象限内是增函数，
∴ ，
∵ 是减函数，
∴ ，
所以b＜a＜c．
故选D．
分析：由 在第一象限内是增函数，知 ．由 是减函数，知 ．由此可知a、b、c的大小关系．
13．设a＞1，若对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax+logay=3，这时a的取值集合为（ ）
A．{a|1＜a≤2} B．{a|a≥2}
C．{a|2≤a≤3} D．{2，3}
【答案】B
【知识点】幂函数的实际应用
【解析】解答：易得 ，在[a，2a]上单调递减，
所以 ，
故 a≥2
故选B．
分析：先由方程logax+logay=3解出y，转化为函数的值域问题求解．
14．幂函数f（x）的图象过点（4， ，那么f﹣1（8）的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】幂函数的实际应用
【解析】解答：设幂函数为：y=xα
∵幂函数的图象经过点（4， ），
∴ =4α
∴α=﹣
∴
∴f（x）=8 x=
故选B．
分析：先设出幂函数解析式来，再通过经过点（4， ），解得参数，从而求得其解析式，再代入f（x）= 求x值即得．
15．幂函数y=xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα，y=xβ的图象三等分，即有BM=MN=NA．那么，αβ=（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】幂函数的实际应用
【解析】解答：BM=MN=NA，点A（1，0），B（0，1），所以M
N ，分别代入y=xα，y=xβ
故选A．
分析：先根据题意结合图形确定M、N的坐标，然后分别代入y=xα，y=xβ求得α，β；最后再求αβ的值即得．
二、填空题
16．已知幂函数y=xn图象过点（2，8），则其解析式是 ．
【答案】y=x3
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】设f（x）=xn，
∵幂函数y=f（x）的图象过点 （2，8），
∴2n=8
∴n=3．
这个函数解析式为 y=x3．
故答案为：y=x3．
【分析】根据幂函数的概念设f（x）=xn，将点的坐标代入即可求得n值，从而求得函数解析式．
17．已知幂函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R，当且仅当x1=x2时，有f（x1）=f（x2）．则f（﹣1）+f（0）+f（1）的值为 ．
【答案】0
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】设f（x）=xα，由已知，函数f（x）的定义域为R，∴α＞0，又∵对任意x1，x2∈R，当且仅当x1=x2时，有f（x1）=f（x2）．即是说，y与x一一对应，f（x）必定不是偶函数．当α为整数时，α必为奇数，从而f（x）为奇函数，f（0）=0，f（﹣1）+f（0）+f（1）=﹣f（1）+0+f（1）=0．
当α为分数时，设α= ，（ 为最简正分数，且n≥2），f（x）= = ，∴m为奇数，n为奇数，此时f（x）为奇函数，
同样地，f（0）=0，f（﹣1）+f（0）+f（1）=﹣f（1）+0+f（1）=0．，
故答案为：0
【分析】由已知，函数f（x）的定义域为R，再进一步的判断出是奇函数，问题解决．
18．函数y= 在第一象限内单调递减，则m的最大负整数是 ．
【答案】﹣1
【知识点】幂函数图象及其与指数的关系
【解析】【解答】函数y= 即为幂函数y=x﹣（m+2），
∵它在第一象限内单调递减，
∴﹣（m+2）＜0，解得m＞﹣2；
∴m的最大负整数是m=﹣1．
故答案为：﹣1．
【分析】先整理函数的解析式，根据它在第一象限内单调递减，根据幂函数的性质可推断出﹣（m+2）＜0，求得m的范围．
19．幂函数f（x）的图象过点（3， ），则f（x）的解析式是 ．
【答案】f（x）=
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】由题意设f（x）=xa，
∵幂函数f（x）的图象过点（3， ），
∴f（3）=3a=
∴a=
∴f（x）=
故答案为：f（x）=
【分析】幂函数f（x）的图象过点（3， ），故可根据幂函数的定义用待定系数法设出函数的解析式，代入所给点的坐标求参数，由此可得函数的解析式．
20．若幂函数y=f（x）的图象经过点（9， ），则f（25）的值是 ．
【答案】
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】∵幂函数y=f（x）的图象经过点（9， ），设幂函数f（x）=xα，α为常数，
∴9α= ，∴α=﹣ ，∴f（25）= = ，
故答案为： ．
【分析】设出幂函数f（x）=xα，α为常数，把点（9， ）代入，求出待定系数α的值，得到幂函数的解析式，进而可求f（25）．
三、解答题
21．幂函数f（x）=xn（n∈Z）具有性质f2（1）+f2（﹣1）=2[f（1）+f（﹣1）﹣1]，判断函数f（x）的奇偶性．
【答案】解：由题意得：（1n）2+（（﹣1）n）2=2[1n+（﹣1）n﹣1]，2=2[1n+（﹣1）n﹣1]①，
当n为奇数时，①不成立，当n为偶数时，①恒成立，故n一定为偶数，
∴幂函数f（x）=xn（n∈Z）是个偶函数．
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【分析】先化简题目中的等式，分n为奇数和n为偶数2种情况讨论，最后确定n一定为偶数，从而得出幂函数f（x）=xn（n∈Z）是个偶函数．
22．已知幂函数y=f（x）的图象过点 ．
（1）求函数f（x）的解析式
（2）记g（x）=f（x）+x，判断g（x）在（1，+∞）上的单调性，并证明之．
【答案】（1）解：由题意令y=f（x）=xa，由于图象过点（ ， ）， 得 = a，a=﹣1
∴y=f（x）=x﹣1
（2）解：g（x）=f（x）+x=x+ 函数 在区间（1，+∞）上是增函数，
证明：任取x1、x2使得x1＞x2＞1，
都有
由x1＞x2＞1得，x1﹣x2＞0，x1x2＞0，x1x2﹣1＞0，
于是g（x1）﹣g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2），
所以，函数 在区间（1，+∞）上是增函数．
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式即可；（2）函数在区间（1，+∞）上为增函数，理由为：在区间（1，+∞）上任取x1＞x2＞1，求出f（x1）﹣f（x2），通分后，根据设出的x1＞x2＞1，判定其差大于0，即f（x1）＞f（x2），从而得到函数为增函数．
23．已知幂函数y=xm2﹣2m﹣3（m∈Z）的图象与x，y轴都无公共点，且，求m的值．
【答案】解：由题意可得：m2﹣2m﹣3＜0
解得﹣1＜m＜3，
又∵m∈Z，∴m=0，1，2
∵图形关于y轴对称
∴m2﹣2m﹣3是偶数，
故m的值为1．
【知识点】幂函数的图象与性质；幂函数的实际应用
【解析】【分析】幂函数y=xm2﹣2m﹣3（m∈Z）的图象与x，y轴都无公共点说明指数为负数，而图形关于y轴对称说明函数为偶函数．
24．已知幂函数 （m∈Z）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数
（1）求m的值和函数f（x）的解析式
（2）解关于x的不等式f（x+2）＜f（1﹣2x）．
【答案】（1）幂函数 （m∈Z）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数，
所以，m2﹣4m＜0，解得0＜m＜4，
因为m∈Z，所以m=2；
函数的解析式为：f（x）=x﹣4．
（2）不等式f（x+2）＜f（1﹣2x），函数是偶函数，在区间（0，+∞）为减函数，
所以|1﹣2x|＜|x+2|，解得 ，
又因为1﹣2x≠0，x+2≠0
所以 ，
【知识点】幂函数的实际应用
【解析】【分析】（1）利用幂函数的性质，结合函数的奇偶性通过m∈Z，求出m的值，写出函数的解析式．（2）利用函数的性质，函数的定义域，把不等式转化为同解不等式，即可求出不等式的解集．
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