第8章 概率 单元综合检测
一、单选题
1．将红、蓝两个均匀的骰子各掷一次，设事件为“两个骰子的点数之和为6”，事件为“红色骰子的点数大于蓝色骰子的点数”，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件概率的计算公式来计算出.
【解析】“两个骰子的点数之和为6”的事件包括，共种，
其中“红色骰子的点数大于蓝色骰子的点数”的有种，
所以.
故选：B
2．甲箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球，3个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据全概率公式求得正确答案.
【解析】依题意，从乙箱中取出的是红球的概率为：
.
故选：D
3．已知随机变量X的分布列为（，2，3，4），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用分布列的性质求出常数a，再利用分布列计算概率作答.
【解析】依题意，，解得，即，
所以.
故选：A
4．已知随机变量满足，，其中.令随机变量，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意,列表求得随机变量及的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的均值及方差表示出和,根据比较大小即可得解.
【解析】随机变量满足,,其中.
则随机变量的分布列为:
所以
随机变量,
所以当时,,当时,
所以随机变量的分布列如下表所示(当时,只有一个情况,概率为1):
则
当即,解得.所以A、B错误.
恒成立.
所以C错误,D正确
故选:D
【点睛】本题考查了随机变量的分布列,两点分布的特征及均值和方差求法,属于中档题.
5．已知袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个.现从袋中任取一球，X表示所取球的标号.若，则的值是（ ）
A．1或2 B．0或2 C．2或3 D．0或3
【答案】B
【分析】求出的可能取值及概率，从而得到的期望和方差，根据，列出方程，求出，再分两种情况，求解出的值.
【解析】由题意可知，的所有可能取值为，
，
由，得，即.
又，所以当时，由，得，此时；
当时，由，得，此时.
故选：B
6．已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】由正态分布的图像中对称轴位置比较均值大小，图像胖瘦判断标准差的大小.
【解析】由题图中的对称轴知：，
与(一样)瘦高，而胖矮，
所以.
故选：C
7．已知随机变量的分布列如下：
0 1 2
其中，2，若，则（ ）A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】由题知，进而根据二项分布的期望与方差公式，方差的性质依次讨论各选项即可得答案.
【解析】解：由表中数据可知，
∴，，
又∵，
∴，，
∴，.
故选：B
8．我们知道，在次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件发生的概率为，则事件发生的次数服从二项分布，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件首次发生时试验进行的次数，显然，我们称服从“几何分布”，经计算得．由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件和都发生后停止，此时所进行的试验次数记为，则，那么（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】首先得出若，则，
然后，设．利用错位相减法即可得出，然后可得答案.
【解析】因为，．
∴若，则．
那么
．
设．
．
∴．
∴时，．
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查的是随机变量的期望和利用错位相减法求数列的和，属于中档题.
二、多选题
9．已知随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．若，则
C． D．随机变量满足，则
【答案】ABC
【分析】根据正态分布的定义求数学期望和方差求解A，再根据正态分布密度曲线的对称性可求解相应的概率求解B,C，再根据变量关系的期望公式可求解D.
【解析】因为,所以，，A正确；
因为，所以，B正确；
因为，所以，C正确；
因为，所以，
所以,D错误，
故选:ABC.
10．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件 存在如下关系：.某高校有甲 乙两家餐厅，王同学第一天去甲 乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（ ）
A．第二天去甲餐厅的概率为0.54
B．第二天去乙餐厅的概率为0.44
C．第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为
D．第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为
【答案】AC
【分析】根据题中所给的公式进行逐一判断即可.
【解析】设:第一天去甲餐厅，:第二天去甲餐厅，
:第一天去乙餐厅，:第二天去乙餐厅，
所以，，，
因为，
所以，
所以有,
因此选项A正确, ，因此选项B不正确；
因为，所以选项C正确；
，所以选项D不正确，
故选：AC
11．已知下表为离散型随机变量X的分布列，其中，下列说法正确的是（ ）
X 0 1 2
P
A． B．
C．有最大值 D．有最小值
【答案】AC
【分析】利用分布列的性质以及期望与方差公式，列出表达式，结合函数的性质判断选项的正误即可.
【解析】由题意可知 ，即 ，所以A正确.
，所以B不正确.
，
是开口向下的二次函数.
所以 在 上单调递增，在上单调递减，
所以有最大值，无最小值.
所以C正确，D不正确.
故选：AC.
12．将2n(n∈N*)个有编号的球随机放入2个不同的盒子中，已知每个球放入这2个盒子的可能性相同，且每个盒子容纳球数不限记2个盒子中最少的球数为X(0≤X≤n，X∈N*)，则下列说法中正确的有（ ）
A．当n=1时，方差
B．当n=2时，
C．，，使得P(X=k)>P(X=k+1)成立
D．当n确定时，期望
【答案】ACD
【分析】对于A：当n=1时，，，，，根据，可判断；
对于B：当n=2时，由，可判断；
对于C：由，可判断；
对于D：由可判断.
【解析】当n=1时，，，，，
则，A正确；
当n=2时，，B错误；
由已知得，，k≤n-2，
，又有，所以P(X=n-l)>P(X=n)，C正确；
又
，D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：本题考查随机变量的分布列，期望和方差，关键在于准确地写出随机变量的分布列，运用期望和方差的公式.
三、填空题
13．一道单项选择题有4个答案，要求学生将正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是___________.
【答案】##
【分析】由全概率公式求出考生答对的概率，再由条件概率公式求他答对条件下，他确实知道正确答案的概率.
【解析】设表示“考生答对”，表示“考生知道正确答案”，由全概率公式得
故
故答案为：
14．学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的概率为，设他参加一次答题活动得分为，则_________．
【答案】
【解析】先求得的所有可能取值，再根据相互独立事件概率计算公式进行计算，从而求得期望值.
【解析】依题意可知的可能取值为，且：
，
，
，
，
所以.
故答案为：
15．甲、乙两名运动员在羽毛球场进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为P，乙胜的概率为1-p，且各局比赛结果相互独立.当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为.现甲、乙进行7局比赛，采取7局4胜制，则甲获胜时比赛局数X的数学期望为_____________
【答案】
【分析】根据当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为，求得每局比赛甲胜的概率P，再由采取7局4胜制得到X的可能取值为：4，5，6，7，分别求得其相应概率，列出分布列求解.
【解析】因为当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为，
且每局比赛甲胜的概率为p，乙胜的概率为1-p，
所以，
解得 ，
X的可能取值为：4，5，6，7，
则 ，
，
X的分布列为：
X 4 5 6 7
p
所以采取7局4胜制，则甲获胜时比赛局数x的数学期望为：
故答案为：
16．2020年5月，修订后的《北京市生活垃圾管理条例》正式实施，某校为宣传垃圾分类知识，组织高中三个年级的学生进行垃圾分类知识测试．如表记录了各年级同学参与测试的优秀率（即测试达到优秀的人数占该年级总人数的比例）．
年级 高一 高二 高三
垃圾分类知识测试优秀率 55% 75% 65%
假设从高年级中各随机选取一名同学分别进行考察，用“”表示该同学的测试成绩达到优秀，“”表示该同学的测试成绩没有达到优秀．表示测试成绩的方差，则、、的大小关系为______．
【答案】
【分析】分别写出三个年级随机选取一名同学测试成绩优秀和没有达到优秀的概率，算出各自的方差，即可比较，得到答案.
【解析】当时，在高一年级中随机抽取一名同学进行考察，
则，，
则，
当时，在高二年级中随机抽取一名同学进行考察，
则，，
则，
当时，
在高三年级中随机抽取一名同学进行考察，
则，，
则，
故．
故答案为：
四、解答题
17．某批规格相同的产品由甲、乙、丙三个工厂共同生产，甲厂生产的产品次品率为2%，乙厂和丙厂生产的产品次品率均为4%，三个工厂生产的产品混放在一起，已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品数分别占总数的40%，40%，20%.
(1)任选一件产品，计算它是次品的概率；
(2)如果取到的产品是次品，分别计算此次品出自甲厂、乙厂和丙厂的概率.
【答案】(1)
(2)， ， .
【分析】(1)根据独立事件同时发生的概率计算公式求解；
(2)利用条件概率公式求解.
【解析】（1）设表示“取到的产品是次品”，
表示“产品由甲工厂生产”，表示“产品由乙工厂生产”，
表示“产品由丙工厂生产”，易知，，两两互斥，
根据题意得，，，
根据全概率公式可得
，
故取到次品的概率为.
（2）“如果取到的产品是次品，计算分别出自三个工厂的概率”，
就是计算在发生的条件下，事件发生的概率.
同理可得，
所以如果取到的产品是次品，
此次品出自甲厂、乙厂和丙厂的概率分别是， ， .
18．在某校举办“青春献礼二十大，强国有我新征程”的知识能力测评中，随机抽查了100名学生，其中共有4名女生和3名男生的成绩在90分以上，从这7名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次，记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B．
(1)求，，
(2)若把抽取学生的方式更改为：从这7名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望．
【答案】(1)，
(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）法一：根据古典概型结合条件概率运算求解；法二：根据独立事件概率乘法公式结合条件概率运算求解；
（2）根据题意结合超几何分布求分布列和期望.
【解析】（1）方法一：
由题意可得：，
“第一次抽到女生且第二次抽到男生”就是事件AB：“第一次抽到男生且第二次抽到男生”就是事件，从7个同学中每次不放回地随机抽取2人，试验的样本空间Ω包含个等可能的样本点，
因为，，
所以，
故．
方法二：，
“在第一次抽到女生的条件下，第二次抽到男生”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率，则，，
故．
（2）被抽取的3人中女生人数X的取值为0，1，2，3，
，，
，，
X的分布列：
X 0 1 2 3
P
X的数学期望.
19．党的二十大是全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会.认真学习宣传和全面贯彻落实党的二十大精神，是当前和今后一个时期的首要政治任务和头等大事.某校计划举行党的二十大知识竞赛，对前来报名者进行初试，初试合格者进入正赛.初试有备选题6道，从备选题中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者视为合格.已知甲、乙两人报名参加，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对相互独立.
(1)分别求甲、乙两人进入正赛的概率；
(2)记甲、乙两人中进入正赛的人数为，求的分布列及.
【答案】(1)甲、乙两人进入正赛的概率分别为
(2)分布列见详解，
【分析】（1）根据超几何分布和二项分布运算求解；
（2）根据（1）中的数据，求分布列和期望，再根据期望性质求.
【解析】（1）设甲、乙两人答对的题目数分别为，则，
可得甲进入正赛的概率，
乙进入正赛的概率，
故甲、乙两人进入正赛的概率分别为.
（2）由题意可得：的可能取值为，则有：
，
，
，
则的分布列为：
0 1 2
则，
故.
20．我们认为灯泡寿命的总体密度曲线是正态分布曲线，其中为总体平均数，为总体标准差，某品牌灯泡的总体寿命平均数小时．
(1)随机取三个该品牌灯泡，求三个灯泡中恰有两个寿命超过2600小时的概率；
(2)该品牌灯泡寿命超过2800小时的概率为．我们通过设计模拟试验的方法解决“随机取三个该品牌灯泡，求三个灯泡中恰有两个寿命超过2800小时的概率”问题．利用计算器可以产生0到9十个随机数，我们用1，2，3，4表示寿命超过2800小时，用5，6，7，8，9，0表示寿命没有超过2800小时．因为是三个灯泡，所以每三个随机数一组．例如，产生20组随机数
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
就相当于做了20次试验．估计三个灯泡中恰有两个寿命超过2800小时的概率．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据正态分布曲线的性质，结合古典概型计算公式进行求解即可；
（2）根据随机数，结合古典概型计算公式进行求解即可
（1）
由题知平均数，所以每个灯泡寿命超过2600小时的概率都是，这个随机试验满足古典概型条件：有限性，等可能性．
设三个灯泡寿命超过2600小时分别为A，B，C；
没有超过2600小时分别为，，．
则样本空间，
三个灯泡中恰有两个寿命超过2600小时的事件，
所以；
（2）
20组随机数中满足恰有两灯泡寿命超过2800小时的有191，271，932，812，393共计5组，所以三个灯泡中恰有两个灯泡寿命超过2800小时的概率估计值．
21．已知两个投资项目的利润率分别为随机变量和，根据市场分析，和的分布列如下：
(1)在两个项目上各投资200万元，和（单位：万元）表示投资项目和所获得的利润，求和；
(2)将万元投资项目，万元投资项目，表示投资项目所得利润的方差与投资项目所得利润的方差之和.则当为何值时，取得最小值？
【答案】(1)=24，=36；
(2).
【分析】（1）由已知写出和对应分布列，并求出它们的期望，进而由方差公式求和；
（2）由题设、项目所获利润分别为、，应用方差的性质求出关于x的表达式，即可知结果.
（1）
依题意得：
10 20
4 16 24
，
.
（2）
设投资项目所获利润为，投资项目所获利润为.
，
故当时，取得最小值.
22．灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示.以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，n表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量.
(1)求的分布列；
(2)若满足的n的最小值为，求；
(3)在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较与哪种方案更优.
【答案】(1)分布列见解析；
(2)13；
(3)更优
【分析】(1)由条件确定随机变量的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得分布列；
(2)根据分布列结合条件求n的最小值；
(3)分别计算与时购买替换灯珠所需总费用的期望值，比较大小确定结论.
【解析】（1）设ξ表示1条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，
则0.2，，
X的取值范围是，
，
，
，
，
，
，
，
X的分布列为
X 10 11 12 13 14 15 16
P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04
（2）由（1）可知，
，
故.
（3）由（2）可知.
在灯带安全使用寿命期内，当时，设购买替换灯珠所需总费用为u元，当时，设购买替换灯珠所需总费用为v元，则，
，
故以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比的方案更优
23．设是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为，其中，令，称是二维离散型随机变量的联合分布列．与一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式：
…
…
…
· …
… … … … …
现有个相同的球等可能的放入编号为1，2，3的三个盒子中，记落下第1号盒子中的球的个数为X，落入第2号盒子中的球的个数为Y．
(1)当n＝2时，求的联合分布列；
(2)设且计算．
【答案】(1)见解析；
(2)
【分析】（1）由题意知：可取0，1，2，可取0，1，2，直接计算概率，列出的联合分布列即可；
（2）直接计算得，结合二项分布的期望公式求出即可.
(1)
可取0，1，2，可取0，1，2，则，，，
，，，
，故的联合分布列为：
0 1 2
0
1
2 ·
(2)
当时，，
故，
所以，设服从二项分布，由二项分布的期望公式可得.第8章 概率 单元综合检测
一、单选题
1．将红、蓝两个均匀的骰子各掷一次，设事件为“两个骰子的点数之和为6”，事件为“红色骰子的点数大于蓝色骰子的点数”，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．甲箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球，3个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知随机变量X的分布列为（，2，3，4），则（ ）
A． B． C． D．
4．已知随机变量满足，，其中.令随机变量，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个.现从袋中任取一球，X表示所取球的标号.若，则的值是（ ）
A．1或2 B．0或2 C．2或3 D．0或3
6．已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．已知随机变量的分布列如下：
0 1 2
其中，2，若，则（ ）A．， B．，
C．， D．，
8．我们知道，在次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件发生的概率为，则事件发生的次数服从二项分布，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件首次发生时试验进行的次数，显然，我们称服从“几何分布”，经计算得．由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件和都发生后停止，此时所进行的试验次数记为，则，那么（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．若，则
C． D．随机变量满足，则
10．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件 存在如下关系：.某高校有甲 乙两家餐厅，王同学第一天去甲 乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（ ）
A．第二天去甲餐厅的概率为0.54
B．第二天去乙餐厅的概率为0.44
C．第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为
D．第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为
11．已知下表为离散型随机变量X的分布列，其中，下列说法正确的是（ ）
X 0 1 2
P
A． B．
C．有最大值 D．有最小值
12．将2n(n∈N*)个有编号的球随机放入2个不同的盒子中，已知每个球放入这2个盒子的可能性相同，且每个盒子容纳球数不限记2个盒子中最少的球数为X(0≤X≤n，X∈N*)，则下列说法中正确的有（ ）
A．当n=1时，方差
B．当n=2时，
C．，，使得P(X=k)>P(X=k+1)成立
D．当n确定时，期望
三、填空题
13．一道单项选择题有4个答案，要求学生将正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是___________.
14．学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的概率为，设他参加一次答题活动得分为，则_________．
15．甲、乙两名运动员在羽毛球场进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为P，乙胜的概率为1-p，且各局比赛结果相互独立.当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为.现甲、乙进行7局比赛，采取7局4胜制，则甲获胜时比赛局数X的数学期望为_____________
16．2020年5月，修订后的《北京市生活垃圾管理条例》正式实施，某校为宣传垃圾分类知识，组织高中三个年级的学生进行垃圾分类知识测试．如表记录了各年级同学参与测试的优秀率（即测试达到优秀的人数占该年级总人数的比例）．
年级 高一 高二 高三
垃圾分类知识测试优秀率 55% 75% 65%
假设从高年级中各随机选取一名同学分别进行考察，用“”表示该同学的测试成绩达到优秀，“”表示该同学的测试成绩没有达到优秀．表示测试成绩的方差，则、、的大小关系为______．
四、解答题
17．某批规格相同的产品由甲、乙、丙三个工厂共同生产，甲厂生产的产品次品率为2%，乙厂和丙厂生产的产品次品率均为4%，三个工厂生产的产品混放在一起，已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品数分别占总数的40%，40%，20%.
(1)任选一件产品，计算它是次品的概率；
(2)如果取到的产品是次品，分别计算此次品出自甲厂、乙厂和丙厂的概率.
18．在某校举办“青春献礼二十大，强国有我新征程”的知识能力测评中，随机抽查了100名学生，其中共有4名女生和3名男生的成绩在90分以上，从这7名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次，记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B．
(1)求，，
(2)若把抽取学生的方式更改为：从这7名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望．
19．党的二十大是全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会.认真学习宣传和全面贯彻落实党的二十大精神，是当前和今后一个时期的首要政治任务和头等大事.某校计划举行党的二十大知识竞赛，对前来报名者进行初试，初试合格者进入正赛.初试有备选题6道，从备选题中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者视为合格.已知甲、乙两人报名参加，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对相互独立.
(1)分别求甲、乙两人进入正赛的概率；
(2)记甲、乙两人中进入正赛的人数为，求的分布列及.
20．我们认为灯泡寿命的总体密度曲线是正态分布曲线，其中为总体平均数，为总体标准差，某品牌灯泡的总体寿命平均数小时．
(1)随机取三个该品牌灯泡，求三个灯泡中恰有两个寿命超过2600小时的概率；
(2)该品牌灯泡寿命超过2800小时的概率为．我们通过设计模拟试验的方法解决“随机取三个该品牌灯泡，求三个灯泡中恰有两个寿命超过2800小时的概率”问题．利用计算器可以产生0到9十个随机数，我们用1，2，3，4表示寿命超过2800小时，用5，6，7，8，9，0表示寿命没有超过2800小时．因为是三个灯泡，所以每三个随机数一组．例如，产生20组随机数
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
就相当于做了20次试验．估计三个灯泡中恰有两个寿命超过2800小时的概率．
21．已知两个投资项目的利润率分别为随机变量和，根据市场分析，和的分布列如下：
(1)在两个项目上各投资200万元，和（单位：万元）表示投资项目和所获得的利润，求和；
(2)将万元投资项目，万元投资项目，表示投资项目所得利润的方差与投资项目所得利润的方差之和.则当为何值时，取得最小值？
22．灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示.以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，n表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量.
(1)求的分布列；
(2)若满足的n的最小值为，求；
(3)在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较与哪种方案更优.
23．设是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为，其中，令，称是二维离散型随机变量的联合分布列．与一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式：
…
…
…
· …
… … … … …
现有个相同的球等可能的放入编号为1，2，3的三个盒子中，记落下第1号盒子中的球的个数为X，落入第2号盒子中的球的个数为Y．
(1)当n＝2时，求的联合分布列；
(2)设且计算．
