人教A版（2019） 必修一 4.1 指数
一、单选题
1．（2020高一下·太和期末）已知 ，则下列各式中一定成立（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020高二下·嘉兴期中）对任意的正实数a及 ，下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2019高一上·临渭月考）化简： （ ）
A．3 B． C． D． 或3
4．（2019高一上·广州期中）下列各式：① ；② ；③ ．中正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
5．（2019高一上·邵东期中）若 ，则 （ ）
A．－3 B． C． D．3
6．（2019高一上·遵义期中）已知 ，则 的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
7．（2019高一上·丰台期中）函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
8．（2019高一上·拉萨期中） 等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2019高一上·临渭期中）已知 ， ，则 （ ）
A．36 B．12 C．24 D．13
10．（2019高一上·石门月考）化简 的结果是（ ）
A． B．
C． 或 D．不确定
11．（2019·全国Ⅱ卷理）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 点的轨道运行． 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R， 点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
.设 ，由于 的值很小，因此在近似计算中 ，则r的近似值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．（2019高一上·郑州期中） .
13．（2019高一上·青冈期中）若 ，则 等于 ．.
14．（2019高一上·石门月考）若 ,则 的取值范围是 .
15．（2019高一上·太原月考）已知 则 ．
三、解答题
16．（2020高二下·哈尔滨期末）比较下列各题中两个值的大小：
（1） ；
（2） .
17．（2020高二下·吉林期中）化简求值：
（1） ；
（2） .
18．（2019高一上·辽源期中）计算求值：
（1）
（2）若 ， 求 的值
19．（2019高一上·石门月考）已知 ＝3，求 的值．
20．（2019高一上·武汉月考）计算：
（1） ；
（2）
（3）已知x＞0，化简
21．（2019高一上·东莞月考）计算：
（1） ；
（2）已知 ，求 ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】指数函数单调性的应用；不等式的基本性质
【解析】【解答】x，y的符号不确定，当x＝2，y＝－1时， ，
对于A， 不成立，所以错误；
对于B、 也错；
对于C， 是减函数，所以， 也错；
对于D，因为 ，所以， ，正确，
故答案为：D
【分析】利用不等式的性质与指数函数性质即可作出判断.
2．【答案】D
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】根据指数的运算性质 排除ABC.
故答案为：D
【分析】直接根据指数的运算性质即可得出答案.
3．【答案】C
【知识点】n次方根与根式
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】根据根式的性质 化简即可.
4．【答案】D
【知识点】根式与有理数指数幂的互化
【解析】【解答】① ，是错误的，如： ，所以该结论是错误的；
② ，是错误的，因为当 或-1时， ，原式没有意义，所以是错误的；
③ ，是错误的，因为等式左边是一个负数，等式右边是一个正数，所以等式错误.
故答案为：D
【分析】逐一分析判断每一个选项得解.
5．【答案】C
【知识点】根式与有理数指数幂的互化
【解析】【解答】
故答案为： ．
【分析】将被开方数配成完全平方式，然后根据 化简即可。
6．【答案】D
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】由 得：
故答案为：
【分析】将已知等式平方后即可得到关于所求式子的方程，从而得到结果.
7．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法；n次方根与根式
【解析】【解答】解：由 ，可得 ，
∴
即函数 的定义域为 .
故答案为：D
【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0，然后求解指数不等式得答案．
8．【答案】D
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】
故答案为：D
【分析】直接将根式化为幂的形式，再化简即可得出答案。
9．【答案】A
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】依题意 .
故答案为：A.
【分析】根据指数运算公式，求得所求表达式的值.
10．【答案】C
【知识点】n次方根与根式
【解析】【解答】解： ，
当 时，原式 ，
当 时，原式 ，
故答案为：C．
【分析】当 为偶数时， ，当 为奇数时， ，从而得出结论．
11．【答案】D
【知识点】根式与有理数指数幂的互化
【解析】 【解答】根据题意可得 ,等号两边同时乘以 ，可得 , ,由已知 代入可得 ， = = 由题中给出的 ，
∴ , , .
故答案为：D
【分析】利用已知的代数式整理化简即可得出结果。
12．【答案】
【知识点】n次方根与根式
【解析】【解答】
，
故答案为：
【分析】将每个被开方数化为完全平方式的形式，从而开方整理得到结果.
13．【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】∵
∴
∴ ,
故答案为: .
【分析】由指数的运算法则直接计算即可得出答案.
14．【答案】
【知识点】n次方根与根式
【解析】【解答】解：由题意知， ，
∴ ，解得 ，
故答案为： ．
【分析】由 可得 ，从而求出范围．
15．【答案】2
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】由 得a= ，由 ，得b= .
所以 =
故答案为：2
【分析】利用指对互化的公式，转化已知的等式整理化简即可得出结果。
16．【答案】（1）解：∵函数 在R上单调递减，且 ，
∴
（2）解：∵函数 在R上单调递增，且 ，
∴
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）根据底数小于1的指数函数的单调性比较即可；（2）根据底数大于1的指数函数的单调性比较即可.
17．【答案】（1）解：
.
（2）解： .
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算法则求解即可；（2）把根式化成分数指数幂后根据指数幂的运算法则求解即可.
18．【答案】（1）解：原式
（2）解：
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】根据指数式的运算化简即可。
19．【答案】解：解法一：∵ ＝3，
∴两边平方，得( )2＝9，即x＋x－1＝7.
两边再平方得x2＋x－2＝47，
将等式 ＝3两边立方，
得 ＝27，
即 ＝18.
∴原式＝ .
解法二：设 ＝t，则 ，
∴原式＝
＝
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】对条件两边分别平方和立方即可和目标代数式联系到一起.
20．【答案】（1）解：
=16
（2）解：
=-45
（3）解：
=-23
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】（1）利用幂运算，指数运算法则计算得到答案.（2）利用幂运算，指数运算法则计算得到答案.（3）将式子展开化简得到答案.
21．【答案】（1）解：原式
（2）解： ，
，
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】（1）利用指数性质、运算法则求解．（2）利用有理数指数幂的性质、运算法则求解．
1 / 1人教A版（2019） 必修一 4.1 指数
一、单选题
1．（2020高一下·太和期末）已知 ，则下列各式中一定成立（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数单调性的应用；不等式的基本性质
【解析】【解答】x，y的符号不确定，当x＝2，y＝－1时， ，
对于A， 不成立，所以错误；
对于B、 也错；
对于C， 是减函数，所以， 也错；
对于D，因为 ，所以， ，正确，
故答案为：D
【分析】利用不等式的性质与指数函数性质即可作出判断.
2．（2020高二下·嘉兴期中）对任意的正实数a及 ，下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】根据指数的运算性质 排除ABC.
故答案为：D
【分析】直接根据指数的运算性质即可得出答案.
3．（2019高一上·临渭月考）化简： （ ）
A．3 B． C． D． 或3
【答案】C
【知识点】n次方根与根式
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】根据根式的性质 化简即可.
4．（2019高一上·广州期中）下列各式：① ；② ；③ ．中正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【知识点】根式与有理数指数幂的互化
【解析】【解答】① ，是错误的，如： ，所以该结论是错误的；
② ，是错误的，因为当 或-1时， ，原式没有意义，所以是错误的；
③ ，是错误的，因为等式左边是一个负数，等式右边是一个正数，所以等式错误.
故答案为：D
【分析】逐一分析判断每一个选项得解.
5．（2019高一上·邵东期中）若 ，则 （ ）
A．－3 B． C． D．3
【答案】C
【知识点】根式与有理数指数幂的互化
【解析】【解答】
故答案为： ．
【分析】将被开方数配成完全平方式，然后根据 化简即可。
6．（2019高一上·遵义期中）已知 ，则 的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】D
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】由 得：
故答案为：
【分析】将已知等式平方后即可得到关于所求式子的方程，从而得到结果.
7．（2019高一上·丰台期中）函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法；n次方根与根式
【解析】【解答】解：由 ，可得 ，
∴
即函数 的定义域为 .
故答案为：D
【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0，然后求解指数不等式得答案．
8．（2019高一上·拉萨期中） 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】
故答案为：D
【分析】直接将根式化为幂的形式，再化简即可得出答案。
9．（2019高一上·临渭期中）已知 ， ，则 （ ）
A．36 B．12 C．24 D．13
【答案】A
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】依题意 .
故答案为：A.
【分析】根据指数运算公式，求得所求表达式的值.
10．（2019高一上·石门月考）化简 的结果是（ ）
A． B．
C． 或 D．不确定
【答案】C
【知识点】n次方根与根式
【解析】【解答】解： ，
当 时，原式 ，
当 时，原式 ，
故答案为：C．
【分析】当 为偶数时， ，当 为奇数时， ，从而得出结论．
11．（2019·全国Ⅱ卷理）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 点的轨道运行． 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R， 点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
.设 ，由于 的值很小，因此在近似计算中 ，则r的近似值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】根式与有理数指数幂的互化
【解析】 【解答】根据题意可得 ,等号两边同时乘以 ，可得 , ,由已知 代入可得 ， = = 由题中给出的 ，
∴ , , .
故答案为：D
【分析】利用已知的代数式整理化简即可得出结果。
二、填空题
12．（2019高一上·郑州期中） .
【答案】
【知识点】n次方根与根式
【解析】【解答】
，
故答案为：
【分析】将每个被开方数化为完全平方式的形式，从而开方整理得到结果.
13．（2019高一上·青冈期中）若 ，则 等于 ．.
【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】∵
∴
∴ ,
故答案为: .
【分析】由指数的运算法则直接计算即可得出答案.
14．（2019高一上·石门月考）若 ,则 的取值范围是 .
【答案】
【知识点】n次方根与根式
【解析】【解答】解：由题意知， ，
∴ ，解得 ，
故答案为： ．
【分析】由 可得 ，从而求出范围．
15．（2019高一上·太原月考）已知 则 ．
【答案】2
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】由 得a= ，由 ，得b= .
所以 =
故答案为：2
【分析】利用指对互化的公式，转化已知的等式整理化简即可得出结果。
三、解答题
16．（2020高二下·哈尔滨期末）比较下列各题中两个值的大小：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：∵函数 在R上单调递减，且 ，
∴
（2）解：∵函数 在R上单调递增，且 ，
∴
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）根据底数小于1的指数函数的单调性比较即可；（2）根据底数大于1的指数函数的单调性比较即可.
17．（2020高二下·吉林期中）化简求值：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：
.
（2）解： .
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算法则求解即可；（2）把根式化成分数指数幂后根据指数幂的运算法则求解即可.
18．（2019高一上·辽源期中）计算求值：
（1）
（2）若 ， 求 的值
【答案】（1）解：原式
（2）解：
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】根据指数式的运算化简即可。
19．（2019高一上·石门月考）已知 ＝3，求 的值．
【答案】解：解法一：∵ ＝3，
∴两边平方，得( )2＝9，即x＋x－1＝7.
两边再平方得x2＋x－2＝47，
将等式 ＝3两边立方，
得 ＝27，
即 ＝18.
∴原式＝ .
解法二：设 ＝t，则 ，
∴原式＝
＝
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】对条件两边分别平方和立方即可和目标代数式联系到一起.
20．（2019高一上·武汉月考）计算：
（1） ；
（2）
（3）已知x＞0，化简
【答案】（1）解：
=16
（2）解：
=-45
（3）解：
=-23
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】（1）利用幂运算，指数运算法则计算得到答案.（2）利用幂运算，指数运算法则计算得到答案.（3）将式子展开化简得到答案.
21．（2019高一上·东莞月考）计算：
（1） ；
（2）已知 ，求 ．
【答案】（1）解：原式
（2）解： ，
，
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】（1）利用指数性质、运算法则求解．（2）利用有理数指数幂的性质、运算法则求解．
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