黑龙江省牡丹江市重点高级中学2023-2024学年高三上学期数学开学考试试卷
一、单项选择题(共8小题,每小题5分,每题只有一个正确选项,共40分)
1．（2023高三上·牡丹江开学考）设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：由题意可得： .
故答案为：C.
【分析】根据题意结合交集运算求解.
2．（2023高三上·牡丹江开学考）的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】全称量词命题；命题的否定
【解析】【解答】解：由题意可得： 的否定是 .
故答案为：B.
【分析】根据全称命题的否定分析判断.
3．（2023高三上·牡丹江开学考）下列所给图象是函数图象的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】函数的概念及其构成要素
【解析】【解答】解：根据函数的定义可知：直线与函数图象至多有1个交点.
故①②错误，③④正确，即 函数图象的个数为 2.
故答案为：B.
【分析】根据函数的定义一个x对于一个y，即直线与函数图象至多有1个交点，逐项分析判断.
4．（2019高一上·辽宁月考）若 ，则下列不等式：① ；② ；③ ；④ 中，正确的不等式是（ ）
A．①④ B．②③ C．①② D．③④
【答案】A
【知识点】基本不等式；不等式的基本性质
【解析】【解答】由于 ，所以 ，由此可知：
① ，所以①正确.
② ，所以②错误.
③错误.
④由于 ，所以 ，有基本不等式得 ，所以④正确.
综上所述，正确不等式的序号是①④.
故答案为：A
【分析】首先根据 判断出 的关系，然后对四个不等式逐一分析，由此确定正确不等式的序号.
5．（2019高一上·北京期中）若函数 同时满足：(1)对于定义域内的任意 ，有 ；(2)对于定义域内的任意 ，当 时，有 ，则称函数 为“理想函数”.给出下列四个函数：① ；② ；③ ；④ .
其中是“理想函数”的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解： 函数 同时满足①对于定义域上的任意 ，恒有 ；
②对于定义域上的任意 ， ，当 时，恒有 ，则称函数 为“理想函数”，
“理想函数”既是奇函数，又是减函数，
① 是偶函数，且不是单调函数，故①不是“理想函数”；
② 是奇函数，且是减函数，故②是“理想函数”；
③ 是奇函数，但在定义域上不是单调函数，故③不是“理想函数”．
④ 是奇函数，且是减函数，故④是“理想函数”．
故答案为：
【分析】由已知得“理想函数”既是奇函数，又是减函数，由此判断所给四个函数的奇偶性和单调性，能求出结果．
6．（2023高三上·牡丹江开学考）某学校调查了高三1000名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为、.根据直方图，以下结论不正确的是（ ）
A．估计这1000名学生每周的自习时间的众数是23.85
B．估计这1000名学生每周的自习时间的中位数是23.75
C．估计这1000名学生每周的自习时间小于22.5小时的人数是300
D．估计这1000名学生每周的自习时间不小于25小时的人数是300
【答案】A
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：由频率分布直方图可得每组的频率依次为：，
对于A：因为的频率最大，
所以估计这1000名学生每周的自习时间的众数是，故A错误；
对于B：因为，
设中位数为，则，解得，
所以估计这1000名学生每周的自习时间的中位数是23.75，故B正确；
对于C：每周的自习时间小于22.5小时的频率为0.3，
所以估计这1000名学生每周的自习时间小于22.5小时的人数是，故C正确；
对于D：每周的自习时间不小于25小时的频率为，
所以估计这1000名学生每周的自习时间不小于25小时的人数是，故选项D正确.
故答案为：A.
【分析】根据题意求各组的频率，结合众数、中位数以及频率的相关性质运算求解.
7．（2023高三上·牡丹江开学考）函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C．和 D．
【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法；复合函数的单调性
【解析】【解答】解：令，解得或，即 函数的 定义域为，
因为在定义域内单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
则函数 在上单调递减，在上单调递增，
所以 函数的单调递减区间为.
故答案为：B.
【分析】先求函数的定义域，进而根据复合函数的定义域分析判断.
8．（2023高三上·牡丹江开学考）已知函数，则该函数在上的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的值域；函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：因为 ，可知在上单调递减，在上单调递增，
且，
所以函数在上的值域是.
故答案为：A.
【分析】根据题意整理得，结合对勾函数单调性运算求解.
二、多选题（共4小题,每小题5分,每题有多个正确选项,选不全得2分,选错得0分,完全正确得5分,共20分)
9．（2023高三上·牡丹江开学考）下面命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“"是“”的充要条件
C．设，则“且”是“”的必要而不充分条件
D．设，则““是““的必要不充分条件
【答案】A,B,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：对于A：因为，解得或，
因为是的真子集，
所以“”是“”的充分不必要条件故A正确；
对于B：因为 ，所以“"是“”的充要条件，故B正确；
对于C：“且”可以推出“”，
但“”不可以推出“且”，例如“且”，
所以“且”是“”的充分而不必要条件，故C错误；
对于D：““可以推出““，
但““不可以推出““，例如“”，
所以““是““的必要不充分条件，故C错误；
故答案为：ABD.
【分析】根据题意结合充分、必要条件逐项分析判断.
10．（2023高三下·重庆市开学考）下列命题中，正确的命题是（ ）
A．数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的分位数是7
B．若随机变量，则
C．若事件A，B满足，则A与B独立
D．若随机变量，，则
【答案】C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；条件概率与独立事件
【解析】【解答】A：由，所以分位数是，错误；
B：由题设，，错误；
C：因为，即，又，即，所以，A与B独立，正确；
D：由题设，关于对称，所以，正确；
故答案为：CD
【分析】 应用百分数的求法求70%分位数，可判断A；应用二项分布方差公式求D(X)，即可判断B；应用全概率公式及已知条件判断P(AB)= P(A)P(B)是否成立即可判断C； 根据正态分布的对称性求P(2≤x<3)即可判断D.
11．（2022高一上·金堂期中）已知函数，则下列正确的为（ ）
A．函数的定义域为
B．，
C．函数的定义域为
D．若的值域为，则其定义域必为
【答案】A,B
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】A，由题意，即，解得，故函数定义域为，正确；
B，，，正确；
C，由题意，解得，即函数的定义域为，错误；
D，当定义域为，即，此时，，，即的值域为，错误.
故答案为：AB
【分析】 由已知结合函数的定义域，值域及奇偶性定义，逐项进行判断，可得答案.
12．（2023高三上·牡丹江开学考） 3名男同学和3名女同学报名参加3个不同的课外活动小组，且每人只能报一个小组，则以下说法正确的是（ ）
A．共有种不同的报名方法
B．若每个活动小组至少有1名同学参加，则各活动小组的报名人数共有10种不同的可能
C．若每个活动小组都有一名男同学和一名女同学报名，则共有108种不同的报名方法
D．若每个活动小组最少安排一名同学，且甲、乙两名同学报名同一个活动小组，则共有150种不同的报名方法
【答案】A,B,D
【知识点】基本计数原理的应用；排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：对于A：每个人均有3种选择，共有种不同的报名方法，故A正确；
对于B：若3个活动小组的报名人数分别为1，2，3，则有6种可能；
若3个活动小组的报名人数分别为2，2，2，则有1种可能；
若3个活动小组的报名人数分别为1，1，4，则有3种可能，
所以共有种不同的报名方法，故B正确；
对于C： 若每个活动小组都有一名男同学和一名女同学报名，则 每组均有2名学生，
所以 共有种不同的报名方法，故C正确；
对于D：由B可知：各活动小组的报名人数可分为1，2，3，2，2，2，1，1，4三种情况，
且甲 乙两名同学报名同一个活动小组，
若3个活动小组的报名人数分别为1，2，3，则有种方法；
若3个活动小组的报名人数分别为2，2，2，则有种方法；
若3个活动小组的报名人数分别为1，1，4，则有种方法，
所以报名的方法有种，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】对于A：根据分布乘法计数原理运算求解；对于B：分类讨论人数的配比即可；对于C：由题意可知：每组均有2名学生，结合组合数运算求解；对于D：分类讨论人数的配比，结合部分分组情况运算求解.
三、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13．（2023高三上·牡丹江开学考）不等式的解集是 .
【答案】
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为 ，则，
可得，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
【分析】根据题意分析可得，结合一元二次不等式运算求解.
14．（2022高三上·胶州期中）已知，函数，若，则 ．
【答案】-1
【知识点】函数的值；分段函数的应用
【解析】【解答】 ，解得
故答案为： -1
【分析】根据定义域选择合适的表达式代入求值.
15．（2023高三上·牡丹江开学考）二项式的展开式中第4项的系数为 .
【答案】
【知识点】二项式定理；二项展开式
【解析】【解答】解： 二项式的展开式中第4项为，
所以展开式中第4项为 .
故答案为： .
【分析】根据题意结合二项展开式的通项公式运算求解.
16．（2023高三上·牡丹江开学考）设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，已知当时，，则
①2是函数的一个周期；
②函数在上是减函数，在上是增函数；
③函数的最大值是1，最小值是0；
④是函数的一个对称轴；
⑤当时，.
其中所有正确命题的序号是 .
【答案】①②④⑤
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质；函数的奇偶性；抽象函数及其应用；函数的周期性
【解析】【解答】解： 因为，则，
所以2是函数f(x)的一个周期，故①正确；
当时， ，可知其为单调递增，
因为2是函数f(x)的一个周期，所以当上单调递增；
又因为函数是定义在上的偶函数，且，
可得，则，
当时，则，则；
综上所述： 函数在上是减函数，在上是增函数，故②正确；
由①②可知：函数的最大值是；函数的最小值是；故③不正确；
由②可知：，所以 是函数的一个对称轴 ，故 ④ 正确；
由周期可知： 当时，则，可得，故 ⑤ 正确；
故答案为： ①②④⑤ .
【分析】根据题意可得，进而可得其周期，进而可得，可得对称轴，根据函数性质逐项分析判断.
四、解答题(共6题,共70分)
17．（2023高三上·牡丹江开学考）已知，且或，求：
（1）；
（2）.
【答案】（1）因为，且，或，
或；
（2）或，
则或.
【知识点】交集及其运算；补集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】 (1) 根据题意结合交集运算求解；
(2)根据集合的交、补的运算求解.
18．（2023高三上·牡丹江开学考）已知函数.
（1）若关于的不等式的解集为，求a，b的值；
（2）b=1时，解关于的不等式.
【答案】（1）由函数，不等式化为，由不等式的解集为，所以方程的两根为1和2，
由根与系数的关系知：，解得a＝2，b＝1；
（2）b＝1时不等式，可化为
即；
当a＞1时，解不等式得x＜1或x＞a；
当a＝1时，解不等式得x≠1；
当a＜1时，解不等式得x＜a或x＞1．
综上，a＞1时，不等式的解集为{x|x＜1或x＞a}；
a＝1时，不等式的解集为{x|x≠1}；
a＜1时，不等式的解集为{x|x＜a或x＞1}．
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【分析】(1)根据三个二次之间的关系结合韦达定理运算求解；
(2)分三种情况，结合一元二次不等式运算求解.
19．（2023高三上·牡丹江开学考）求下列最值：
（1）当时，求函数的最大值；
（2）设，求函数的最大值.
【答案】（1），则，
，
当，即时等号成立.
（2），
当，即时等号成立.
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1)根据题意可得 ， 结合基本不等式运算求解；
（2）根据题意可得 ， 结合基本不等式运算求解.
20．（2023高三上·牡丹江开学考）为了迎接北京冬奥会，某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束后随机抽取100名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为2：3，抽取的学生中男生有20名对讲座活动满意，女生中有 20 名对讲座活动不满意．
（1）完成2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对讲座活动是否满意与性别有关”；
满意 不满意 合计
男生
女生
合计 100
（2）从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用分层抽样抽取6名学生，再在这6名学生中抽取2名学生，谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中1名男生与1名女生的概率.
附：
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
【答案】（1）根据题目所给数据得到如下的列联表：
满意 不满意 合计
男生
女生
合计
所以有的把握认为“对讲座活动是否满意与性别有关”.
（2）解：由题意，抽取的名学生中，男生人，分别记为、，女生人，分别记为、、、，
则在这名学生中抽取名学生，所有的基本事件有：、、、、、
、、、、、、、、、，共种，
其中，事件“恰好抽中名男生与名女生”所包含的基本事件有：、、、
、、、、，共种，
故所求概率为.
【知识点】分层抽样方法；独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式；2×2列联表
【解析】【分析】(1)根据题意完善列联表，求 ，并与临界值对比分析；
(2)根据题意可知： 抽取的名学生中，男生人，女生人，利用列举法，结合古典概型运算求解.
21．（2023高三上·牡丹江开学考）近年来，“双11网购的观念逐渐深入人心．某人统计了近5年某网站“双11当天的交易额，统计结果如下表：
年份 2018 2019 2020 2021 2022
年份代码 1 2 3 4 5
交易额/亿元 7 16 20 27 30
（1）根据上表数据，计算y与的线性相关系数，并说明与的线性相关性强弱.(已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性般；，则认为与线性相关性较弱.)
（2）求出关于的线性回归方程，并预测2023年该网站“双11"当天的交易额.
参考数据：，参考公式：，
【答案】（1）由题意，根据表格中的数据，
可得，，
因为，所以变量与的线性相关性很强．
（2）．
可得关于的线性回归方程为
令，可得y=37.1，
即可预测2023年该网站“双11”当天的交易额数约为37.1亿元．
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】(1)根据题中数据和公式求 相关系数， 并根据相关系数的性质分析判断；
(2)根据题意求回归方程 ， 令， 即可得结果.
22．（2023高三上·牡丹江开学考）甲 乙两人进行猜灯谜游戏，每次同时猜同一个灯谜，若一方猜对且另一方猜错，则猜对一方获胜，且获胜一方得1分，失败一方得 1分；若两人都猜对或两人都猜错，则为平局，两人均得0分.已知猜灯谜游戏中，甲 乙每次猜对的概率分别为，且甲、乙猜对与否互不影响，每次猜灯谜游戏也互不影响.
（1）求1次猜灯谜游戏中，甲得分的分布列与数学期望；
（2）设3次猜灯谜游戏后累计得分为正者获胜，求甲获胜的概率.
【答案】（1）1次猜灯谜游戏中，甲的得分记为，则的所有可能取值为1，0，.
，，.
的分布列为：
1 0
的数学期望.
（2）设3次猜灯谜游戏后甲获胜的累计得分为，
则表示甲获胜3次，，
表示甲获胜2次且平局1次，，
表示甲获胜2次且失败1次或甲获胜1次且平局2次，
，
所以，
所以3次猜灯谜游戏后甲获胜的概率为.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)因为 的所有可能取值为1，0，，根据题意求分布列和期望；
(2)根据题意分 、 和 三种情况运算求解.
1 / 1黑龙江省牡丹江市重点高级中学2023-2024学年高三上学期数学开学考试试卷
一、单项选择题(共8小题,每小题5分,每题只有一个正确选项,共40分)
1．（2023高三上·牡丹江开学考）设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023高三上·牡丹江开学考）的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023高三上·牡丹江开学考）下列所给图象是函数图象的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2019高一上·辽宁月考）若 ，则下列不等式：① ；② ；③ ；④ 中，正确的不等式是（ ）
A．①④ B．②③ C．①② D．③④
5．（2019高一上·北京期中）若函数 同时满足：(1)对于定义域内的任意 ，有 ；(2)对于定义域内的任意 ，当 时，有 ，则称函数 为“理想函数”.给出下列四个函数：① ；② ；③ ；④ .
其中是“理想函数”的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
6．（2023高三上·牡丹江开学考）某学校调查了高三1000名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为、.根据直方图，以下结论不正确的是（ ）
A．估计这1000名学生每周的自习时间的众数是23.85
B．估计这1000名学生每周的自习时间的中位数是23.75
C．估计这1000名学生每周的自习时间小于22.5小时的人数是300
D．估计这1000名学生每周的自习时间不小于25小时的人数是300
7．（2023高三上·牡丹江开学考）函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C．和 D．
8．（2023高三上·牡丹江开学考）已知函数，则该函数在上的值域是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（共4小题,每小题5分,每题有多个正确选项,选不全得2分,选错得0分,完全正确得5分,共20分)
9．（2023高三上·牡丹江开学考）下面命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“"是“”的充要条件
C．设，则“且”是“”的必要而不充分条件
D．设，则““是““的必要不充分条件
10．（2023高三下·重庆市开学考）下列命题中，正确的命题是（ ）
A．数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的分位数是7
B．若随机变量，则
C．若事件A，B满足，则A与B独立
D．若随机变量，，则
11．（2022高一上·金堂期中）已知函数，则下列正确的为（ ）
A．函数的定义域为
B．，
C．函数的定义域为
D．若的值域为，则其定义域必为
12．（2023高三上·牡丹江开学考） 3名男同学和3名女同学报名参加3个不同的课外活动小组，且每人只能报一个小组，则以下说法正确的是（ ）
A．共有种不同的报名方法
B．若每个活动小组至少有1名同学参加，则各活动小组的报名人数共有10种不同的可能
C．若每个活动小组都有一名男同学和一名女同学报名，则共有108种不同的报名方法
D．若每个活动小组最少安排一名同学，且甲、乙两名同学报名同一个活动小组，则共有150种不同的报名方法
三、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13．（2023高三上·牡丹江开学考）不等式的解集是 .
14．（2022高三上·胶州期中）已知，函数，若，则 ．
15．（2023高三上·牡丹江开学考）二项式的展开式中第4项的系数为 .
16．（2023高三上·牡丹江开学考）设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，已知当时，，则
①2是函数的一个周期；
②函数在上是减函数，在上是增函数；
③函数的最大值是1，最小值是0；
④是函数的一个对称轴；
⑤当时，.
其中所有正确命题的序号是 .
四、解答题(共6题,共70分)
17．（2023高三上·牡丹江开学考）已知，且或，求：
（1）；
（2）.
18．（2023高三上·牡丹江开学考）已知函数.
（1）若关于的不等式的解集为，求a，b的值；
（2）b=1时，解关于的不等式.
19．（2023高三上·牡丹江开学考）求下列最值：
（1）当时，求函数的最大值；
（2）设，求函数的最大值.
20．（2023高三上·牡丹江开学考）为了迎接北京冬奥会，某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束后随机抽取100名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为2：3，抽取的学生中男生有20名对讲座活动满意，女生中有 20 名对讲座活动不满意．
（1）完成2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对讲座活动是否满意与性别有关”；
满意 不满意 合计
男生
女生
合计 100
（2）从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用分层抽样抽取6名学生，再在这6名学生中抽取2名学生，谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中1名男生与1名女生的概率.
附：
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
21．（2023高三上·牡丹江开学考）近年来，“双11网购的观念逐渐深入人心．某人统计了近5年某网站“双11当天的交易额，统计结果如下表：
年份 2018 2019 2020 2021 2022
年份代码 1 2 3 4 5
交易额/亿元 7 16 20 27 30
（1）根据上表数据，计算y与的线性相关系数，并说明与的线性相关性强弱.(已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性般；，则认为与线性相关性较弱.)
（2）求出关于的线性回归方程，并预测2023年该网站“双11"当天的交易额.
参考数据：，参考公式：，
22．（2023高三上·牡丹江开学考）甲 乙两人进行猜灯谜游戏，每次同时猜同一个灯谜，若一方猜对且另一方猜错，则猜对一方获胜，且获胜一方得1分，失败一方得 1分；若两人都猜对或两人都猜错，则为平局，两人均得0分.已知猜灯谜游戏中，甲 乙每次猜对的概率分别为，且甲、乙猜对与否互不影响，每次猜灯谜游戏也互不影响.
（1）求1次猜灯谜游戏中，甲得分的分布列与数学期望；
（2）设3次猜灯谜游戏后累计得分为正者获胜，求甲获胜的概率.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：由题意可得： .
故答案为：C.
【分析】根据题意结合交集运算求解.
2．【答案】B
【知识点】全称量词命题；命题的否定
【解析】【解答】解：由题意可得： 的否定是 .
故答案为：B.
【分析】根据全称命题的否定分析判断.
3．【答案】B
【知识点】函数的概念及其构成要素
【解析】【解答】解：根据函数的定义可知：直线与函数图象至多有1个交点.
故①②错误，③④正确，即 函数图象的个数为 2.
故答案为：B.
【分析】根据函数的定义一个x对于一个y，即直线与函数图象至多有1个交点，逐项分析判断.
4．【答案】A
【知识点】基本不等式；不等式的基本性质
【解析】【解答】由于 ，所以 ，由此可知：
① ，所以①正确.
② ，所以②错误.
③错误.
④由于 ，所以 ，有基本不等式得 ，所以④正确.
综上所述，正确不等式的序号是①④.
故答案为：A
【分析】首先根据 判断出 的关系，然后对四个不等式逐一分析，由此确定正确不等式的序号.
5．【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解： 函数 同时满足①对于定义域上的任意 ，恒有 ；
②对于定义域上的任意 ， ，当 时，恒有 ，则称函数 为“理想函数”，
“理想函数”既是奇函数，又是减函数，
① 是偶函数，且不是单调函数，故①不是“理想函数”；
② 是奇函数，且是减函数，故②是“理想函数”；
③ 是奇函数，但在定义域上不是单调函数，故③不是“理想函数”．
④ 是奇函数，且是减函数，故④是“理想函数”．
故答案为：
【分析】由已知得“理想函数”既是奇函数，又是减函数，由此判断所给四个函数的奇偶性和单调性，能求出结果．
6．【答案】A
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：由频率分布直方图可得每组的频率依次为：，
对于A：因为的频率最大，
所以估计这1000名学生每周的自习时间的众数是，故A错误；
对于B：因为，
设中位数为，则，解得，
所以估计这1000名学生每周的自习时间的中位数是23.75，故B正确；
对于C：每周的自习时间小于22.5小时的频率为0.3，
所以估计这1000名学生每周的自习时间小于22.5小时的人数是，故C正确；
对于D：每周的自习时间不小于25小时的频率为，
所以估计这1000名学生每周的自习时间不小于25小时的人数是，故选项D正确.
故答案为：A.
【分析】根据题意求各组的频率，结合众数、中位数以及频率的相关性质运算求解.
7．【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法；复合函数的单调性
【解析】【解答】解：令，解得或，即 函数的 定义域为，
因为在定义域内单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
则函数 在上单调递减，在上单调递增，
所以 函数的单调递减区间为.
故答案为：B.
【分析】先求函数的定义域，进而根据复合函数的定义域分析判断.
8．【答案】A
【知识点】函数的值域；函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：因为 ，可知在上单调递减，在上单调递增，
且，
所以函数在上的值域是.
故答案为：A.
【分析】根据题意整理得，结合对勾函数单调性运算求解.
9．【答案】A,B,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：对于A：因为，解得或，
因为是的真子集，
所以“”是“”的充分不必要条件故A正确；
对于B：因为 ，所以“"是“”的充要条件，故B正确；
对于C：“且”可以推出“”，
但“”不可以推出“且”，例如“且”，
所以“且”是“”的充分而不必要条件，故C错误；
对于D：““可以推出““，
但““不可以推出““，例如“”，
所以““是““的必要不充分条件，故C错误；
故答案为：ABD.
【分析】根据题意结合充分、必要条件逐项分析判断.
10．【答案】C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；条件概率与独立事件
【解析】【解答】A：由，所以分位数是，错误；
B：由题设，，错误；
C：因为，即，又，即，所以，A与B独立，正确；
D：由题设，关于对称，所以，正确；
故答案为：CD
【分析】 应用百分数的求法求70%分位数，可判断A；应用二项分布方差公式求D(X)，即可判断B；应用全概率公式及已知条件判断P(AB)= P(A)P(B)是否成立即可判断C； 根据正态分布的对称性求P(2≤x<3)即可判断D.
11．【答案】A,B
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】A，由题意，即，解得，故函数定义域为，正确；
B，，，正确；
C，由题意，解得，即函数的定义域为，错误；
D，当定义域为，即，此时，，，即的值域为，错误.
故答案为：AB
【分析】 由已知结合函数的定义域，值域及奇偶性定义，逐项进行判断，可得答案.
12．【答案】A,B,D
【知识点】基本计数原理的应用；排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：对于A：每个人均有3种选择，共有种不同的报名方法，故A正确；
对于B：若3个活动小组的报名人数分别为1，2，3，则有6种可能；
若3个活动小组的报名人数分别为2，2，2，则有1种可能；
若3个活动小组的报名人数分别为1，1，4，则有3种可能，
所以共有种不同的报名方法，故B正确；
对于C： 若每个活动小组都有一名男同学和一名女同学报名，则 每组均有2名学生，
所以 共有种不同的报名方法，故C正确；
对于D：由B可知：各活动小组的报名人数可分为1，2，3，2，2，2，1，1，4三种情况，
且甲 乙两名同学报名同一个活动小组，
若3个活动小组的报名人数分别为1，2，3，则有种方法；
若3个活动小组的报名人数分别为2，2，2，则有种方法；
若3个活动小组的报名人数分别为1，1，4，则有种方法，
所以报名的方法有种，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】对于A：根据分布乘法计数原理运算求解；对于B：分类讨论人数的配比即可；对于C：由题意可知：每组均有2名学生，结合组合数运算求解；对于D：分类讨论人数的配比，结合部分分组情况运算求解.
13．【答案】
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为 ，则，
可得，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
【分析】根据题意分析可得，结合一元二次不等式运算求解.
14．【答案】-1
【知识点】函数的值；分段函数的应用
【解析】【解答】 ，解得
故答案为： -1
【分析】根据定义域选择合适的表达式代入求值.
15．【答案】
【知识点】二项式定理；二项展开式
【解析】【解答】解： 二项式的展开式中第4项为，
所以展开式中第4项为 .
故答案为： .
【分析】根据题意结合二项展开式的通项公式运算求解.
16．【答案】①②④⑤
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质；函数的奇偶性；抽象函数及其应用；函数的周期性
【解析】【解答】解： 因为，则，
所以2是函数f(x)的一个周期，故①正确；
当时， ，可知其为单调递增，
因为2是函数f(x)的一个周期，所以当上单调递增；
又因为函数是定义在上的偶函数，且，
可得，则，
当时，则，则；
综上所述： 函数在上是减函数，在上是增函数，故②正确；
由①②可知：函数的最大值是；函数的最小值是；故③不正确；
由②可知：，所以 是函数的一个对称轴 ，故 ④ 正确；
由周期可知： 当时，则，可得，故 ⑤ 正确；
故答案为： ①②④⑤ .
【分析】根据题意可得，进而可得其周期，进而可得，可得对称轴，根据函数性质逐项分析判断.
17．【答案】（1）因为，且，或，
或；
（2）或，
则或.
【知识点】交集及其运算；补集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】 (1) 根据题意结合交集运算求解；
(2)根据集合的交、补的运算求解.
18．【答案】（1）由函数，不等式化为，由不等式的解集为，所以方程的两根为1和2，
由根与系数的关系知：，解得a＝2，b＝1；
（2）b＝1时不等式，可化为
即；
当a＞1时，解不等式得x＜1或x＞a；
当a＝1时，解不等式得x≠1；
当a＜1时，解不等式得x＜a或x＞1．
综上，a＞1时，不等式的解集为{x|x＜1或x＞a}；
a＝1时，不等式的解集为{x|x≠1}；
a＜1时，不等式的解集为{x|x＜a或x＞1}．
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【分析】(1)根据三个二次之间的关系结合韦达定理运算求解；
(2)分三种情况，结合一元二次不等式运算求解.
19．【答案】（1），则，
，
当，即时等号成立.
（2），
当，即时等号成立.
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1)根据题意可得 ， 结合基本不等式运算求解；
（2）根据题意可得 ， 结合基本不等式运算求解.
20．【答案】（1）根据题目所给数据得到如下的列联表：
满意 不满意 合计
男生
女生
合计
所以有的把握认为“对讲座活动是否满意与性别有关”.
（2）解：由题意，抽取的名学生中，男生人，分别记为、，女生人，分别记为、、、，
则在这名学生中抽取名学生，所有的基本事件有：、、、、、
、、、、、、、、、，共种，
其中，事件“恰好抽中名男生与名女生”所包含的基本事件有：、、、
、、、、，共种，
故所求概率为.
【知识点】分层抽样方法；独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式；2×2列联表
【解析】【分析】(1)根据题意完善列联表，求 ，并与临界值对比分析；
(2)根据题意可知： 抽取的名学生中，男生人，女生人，利用列举法，结合古典概型运算求解.
21．【答案】（1）由题意，根据表格中的数据，
可得，，
因为，所以变量与的线性相关性很强．
（2）．
可得关于的线性回归方程为
令，可得y=37.1，
即可预测2023年该网站“双11”当天的交易额数约为37.1亿元．
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】(1)根据题中数据和公式求 相关系数， 并根据相关系数的性质分析判断；
(2)根据题意求回归方程 ， 令， 即可得结果.
22．【答案】（1）1次猜灯谜游戏中，甲的得分记为，则的所有可能取值为1，0，.
，，.
的分布列为：
1 0
的数学期望.
（2）设3次猜灯谜游戏后甲获胜的累计得分为，
则表示甲获胜3次，，
表示甲获胜2次且平局1次，，
表示甲获胜2次且失败1次或甲获胜1次且平局2次，
，
所以，
所以3次猜灯谜游戏后甲获胜的概率为.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)因为 的所有可能取值为1，0，，根据题意求分布列和期望；
(2)根据题意分 、 和 三种情况运算求解.
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