5.3导数在研究函数中的应用
一、单选题
1．已知函数（是函数的导函数）的图象如图所示，则的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．设a为实数，函数，且是偶函数，则的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
3．函数的图像如图所示，则关于函数的说法正确的是（ ）
A．函数有3个极值点
B．函数在区间上是增加的
C．函数在区间上是增加的
D．当时，函数取得极大值
4．函数的单调递减区间是（ ）
A．, B．, C．, D．,
5．函数在上的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．设，，，则（ ）．
A． B． C． D．
8．已知，分别为定义域为的偶函数和奇函数，且，若关于x的不等式在上恒成立，则正实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．定义在上的函数的导函数为，且.则对任意，，其中，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数则下列结论正确的有（ ）
A．当时，是的极值点
B．当时，恒成立
C．当时，有2个零点
D．若是关于x的方程的2个不等实数根，则
11．已知函数有三个不同的极值点，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．为函数的极大值点 D．
12．已知函数，，当时，恒成立，则实数a的可能取值为（ ）
A． B．0 C． D．2
三、填空题
13．如图是函数的导函数的图象：
①函数在区间上严格递减；
②；
③函数在处取极大值；
④函数在区间内有两个极小值点．
则上述说法正确的是______．
14．若函数的极小值为5，那么的值为______.
15．方程在上有三个不同的实根，则实数的取值范围是______.
16．函数的定义域为，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为__________．
四、解答题
17．已知函数.
(1)求的极值；
(2)求在区间，上的最大值与最小值.
18．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间.
19．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若为整数，且恒成立，求的最大值.
20．已知函数在处的极值是2，，.
(1)求，的值；
(2)函数有两个零点，求的取值范围.
21．已知函数（a为实数）．
(1)求函数的单调区间；
(2)若存在两个不相等的正数，满足，求证．
(3)若有两个零点，，证明：．
22．设，函数．
(1)求证：存在唯一零点；
(2)在（1）的结论下，若，求证：．5.3导数在研究函数中的应用
一、单选题
1．已知函数（是函数的导函数）的图象如图所示，则的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设函数的图象在轴上最左边的一个零点为，根据函数的图象得到的正负，即得解.
【详解】解：设函数的图象在轴上最左边的一个零点为，且.
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减.
故选：C
2．设a为实数，函数，且是偶函数，则的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求导，结合是偶函数得到，求出，从而根据小于0，求出单调递减区间.
【详解】因为，所以，
又因为是偶函数，所以，
即，故，即，
所以，令，解得，
所以的单调递减区间为.
故选：C．
3．函数的图像如图所示，则关于函数的说法正确的是（ ）
A．函数有3个极值点
B．函数在区间上是增加的
C．函数在区间上是增加的
D．当时，函数取得极大值
【答案】C
【分析】结合导数与函数单调性的关系可知，，函数单调递增，，函数单调递减，结合图像即可判断函数的单调区间及极值.
【详解】结合导数与函数单调性的关系可知，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
故当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值.所以D错误；
故函数有2个极值点，所以A错误；
函数的单调性为：单增区间；单减区间.故B错误，C正确.故选：C.
4．函数的单调递减区间是（ ）
A．, B．, C．, D．,
【答案】A
【分析】求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系解不等式进行求解即可.
【详解】函数的导数
由得，
即得，
即函数的单调递减区间为,，
故选：A
5．函数在上的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用导数研究函数的单调性，结合单调性即可求得最小值.
【详解】∵，
∴，
当时，
∴函数在区间上单调递增，
∴当时，函数取得最小值，，
∴函数在上的最小值为.
故选：A.
6．对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由得，令，，利用导函数求最小值、最大值即可.
【详解】当时，，不等式显然成立；
当时，，
令，
令，则是上的增函数且，
当时，此时递减，时，此时递增.
故的最小值为，
令，则，
故是增函数，的最大值为，故，
综上所述，，
故选：D
7．设，，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将a，c变为与b相同的形式，构造函数，通过对函数求导，得到单调性，判断大小关系.
【详解】∵，，
令，则，，，
，当时，，
即在上单调递减.
∵，
∴，
即.
故选：D.
8．已知，分别为定义域为的偶函数和奇函数，且，若关于x的不等式在上恒成立，则正实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由奇偶性求得的解析式，化简不等式，并用分离参数法变形为，设，换元后利用函数的单调性求得不等式右边的取值范围，从而可得的范围．
【详解】因为，分别为上的偶函数和奇函数，①，
所以，即②，
联立①②可解得，，
所以不等式可化为，
因为，则，故，
设，则，故，
因为，，所以，
故在上是增函数，则，
又因为在时是增函数，所以，则，
因为在恒成立，所以．
故选：C．
二、多选题
9．定义在上的函数的导函数为，且.则对任意，，其中，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】构造函数，求出导数，利用已知可得在上单调递增，根据单调性依次判断每个选项可得.
【详解】由题意可设，则，
∵，，
∴，
∴在上恒成立，所以在上单调递增，
对于A：由于，所以，即，所以，故A不正确；
对于B：由于，当且仅当时取等号，所以，即，所以，故B正确；
对于C：由得：，即：，
同理：.
两式相加得：，故C正确；
对于D：，，
两式相减得：
，
所以，
即，故D正确.
故选：BCD.
10．已知函数则下列结论正确的有（ ）
A．当时，是的极值点
B．当时，恒成立
C．当时，有2个零点
D．若是关于x的方程的2个不等实数根，则
【答案】ABD
【分析】对于A，代入后对求导，利用导数与函数极值的关系即可得证；对于B，构造函数，利用导数求得，从而可证得；对于C，举反例排除即可；对于D，利用极值点偏移的证明方法即可证得.
【详解】对于A，当时，，则，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以是的极大值点，故A正确；
对于B，令，得，
令，则，
令，解得，
故当，，单调递增；当，，单调递减；
所以，
因为，所以，故，整理得，即恒成立，故B正确；
对于C，令，则，令，解得，故只有1个零点，故C错误；
对于D，因为是关于的方程的2个不等实数根，
所以，即，
所以问题等价于有两个零点，证明，
不妨设，则由得到，
要证，只需要证明，
即只需证明：，
只需证明：，即，
令，
只需证明：，
令，
则，即在上单调递增，
又，所以，即恒成立，
综上所述，原不等式成立，即成立，故D正确.
故选：ABD.
11．已知函数有三个不同的极值点，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．为函数的极大值点 D．
【答案】ACD
【分析】由已知可知方程有三个根，然后利用导数讨论的单调性，结合图象可判断A、B选项；结合图象分析在处的正负，即可得出函数在附近的单调性，即可判断C选项；将代入，然后利用导数讨论其单调性，由单调性可判断D选项.
【详解】由函数有三个不同的极值点，，，
只需有三个零点，即方程有三个根，
设函数，则，
令，即，；令，即或，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
所以函数的极小值为，且当时，，
如图，当，即时，函数与有三个交点，即函数有三个不同的极值点，故A正确；
对于B，观察图象可知，故B不正确；
对于C，由图象可知，当时，，即，
当时，，即，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以为函数的极大值点，故C正确；
对于D，由，即，
令，，
则，故函数在上单调递减，
故，故D正确.
故选：ACD.
12．已知函数，，当时，恒成立，则实数a的可能取值为（ ）
A． B．0 C． D．2
【答案】CD
【分析】原不等式转化为时，恒成立，
只需证明时，恒成立，对求导得，则，分别讨论和，即可求解.
【详解】由题意得：时，恒成立，
即时，恒成立，
设（），则,,
所以时，恒成立.
又，则，
①时，，
设，存在时，，即在上是减函数，
此时，，不满足题意；
②时，在上恒成立，
所以在上恒成立，
设（），即，
则，
令（），则，
当时，，所以在上是增函数，
则时，，
即时，时，，
所以时，.
则，
又时，有，，
所以，当且仅当时等号成立，
故时，.
所以在上是增函数，
则，
所以时，在上恒成立.
综上，时，在恒成立，
故选：CD
三、填空题
13．如图是函数的导函数的图象：
①函数在区间上严格递减；
②；
③函数在处取极大值；
④函数在区间内有两个极小值点．
则上述说法正确的是______．
【答案】②④
【分析】根据导函数图象分析得到函数的单调性，进而判断是否为极值点，比较出函数值的大小，判断出正确答案.
【详解】由导函数的图象可知：函数在上单调递增，在上单调递减，故，故①错误，②正确；
由导函数的图象可知：在上均单调递增，故不是函数的极大值点，③错误；
由导函数图象可得：在区间内有，且在与上导函数小于0，在和上导函数大于0，
故和为函数的两个极小值点，故在区间内有两个极小值点，④正确.
故答案为：②④
14．若函数的极小值为5，那么的值为______.
【答案】6
【分析】对函数求导，再求函数的单调区间与极小值即可.
【详解】，，
令，解得或，
当或时，，当时，，
在和上单调递增，在上单调递减，
当时，取得极小值，
极小值为，解得.
故答案为：6.
15．方程在上有三个不同的实根，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】方程在上有三个不同的实根，则与有3个不同的交点，利用导数研究函数的单调性，作出图象，即可求解
【详解】由得，
令，
则 ，
令，解得，
令，解得或，
所以在上递减，在上递增，在上递减，
所以在处取得极小值，且为；
在处取得极大值，且为；
画出的大致图像如下：
方程在上有三个不同的实根，
则与有3个不同的交点，
由图象可知实数的取值范围是
故答案为：
16．函数的定义域为，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为__________．
【答案】
【分析】构造，得到其在上为偶函数，且在上单调递增，变形得到，从而得到，求出答案.
【详解】令，则，
又，所以得，
即，所以为上的偶函数，
又时，，所以在上单调递增，
又为上的偶函数，所以在上单调递减，
由，得，
所以，
即，所以得，解得：，
所以不等式的解集为．
故答案为：.
四、解答题
17．已知函数.
(1)求的极值；
(2)求在区间，上的最大值与最小值.
【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；
（2）根据函数的单调性以及极值，结合，的值，求出函数的最值即可.
【详解】（1）∵，
∴，
令，解得，令，解得或，
故在递减，在递增，在递减，
故的极大值是，极小值是；
（2）令，得（舍或，
当时，，所以在时单调递增，
当时，所以在时单调递减，
又，，；
即函数在区间,上的最大值为8，最小值为.
18．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间.
【答案】(1)
(2)递增区间为，；递减区间为
【分析】（1）求出函数的导函数，再求得与，利用点斜式可求得曲线在点处的切线方程；
（2）由，利用导函数与函数的单调性的关系可得答案.
【详解】（1），
，
，又，
曲线在点处的切线方程为，
即；
（2），
∴当时，，当时，，
在，上单调递增，在上单调递减.
的递增区间为，；递减区间为.
19．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若为整数，且恒成立，求的最大值.
【分析】（1）求出函数的定义域和，分情况讨论和，即可得到函数的单调性；
（2）不等式恒成立，可转化为在上恒成立，令，则只需即可. 求出，根据导函数求出最值即可.本题中，因为不好求解，两次求导得到导函数单调性，转化为隐零点问题，得到，使得，逐步得到，从而求得的最大值.
【详解】（1）的定义域为，.
当时，，则在上单调递增；
当时，解，即，得（舍去负值）；
解，即，得，所以在上单调递增；解，即，得，所以在上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）由已知可得，恒成立，，
即在上恒成立.
令，则只需即可.，
令，在上恒成立，所以单调递增.
且，，
所以，，使得，且当时，，当时，.
即，使得，且当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
所以，在处取得唯一极小值，也是最小值.
又，则.
所以，
令，，，，
则，当时，，
所以，在上单调递增，
从而在上单调递减，则，
又，，
所以，所以.
又为整数，，所以的最大值为0.
20．已知函数在处的极值是2，，.
(1)求，的值；
(2)函数有两个零点，求的取值范围.
【分析】（1）根据函数在处的极值是2，联立解方程组得到，，代入检验即可确定，的值；
（2）将问题转化为对数函数与一次函数有两个交点，画出两个函数的图象，数形结合分析即可.
【详解】（1）因为，所以，
又函数在处的极值是2，
所以，即，解得，
检验：故，，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在取得极大值，且极大值为，
所以
（2），令，得，
令，的斜率恒为，
所以，当时，，
又，所以在处的切线为，
所以当时，为在处的切线，此时，与有一个零点，如图，
.
要使有两个零点，即与有两个交点，
所以比与相切时的位置还要向下平移，
又因为与相切时，，
所以，即.
21．已知函数（a为实数）．
(1)求函数的单调区间；
(2)若存在两个不相等的正数，满足，求证．
(3)若有两个零点，，证明：．
【分析】（1）讨论的正负，确定的单调区间；
（2）极值点偏移问题处理：不妨设，构造并证得时，，可得即，再利用的单调性可得与大小关系，从而证得结论.
（3）由两式相减用表示，将化为只有的关系式，令可转化为只有一个变量的函数，可得结论.
【详解】（1），
当时，恒成立，在上递增；
当时令；
增区间为，减区间为.
（2）当时，在上递增，与题意矛盾，
令
,
在上递增，又因为时，，
当时，；时，
当时在上递增，上递减必有一个在上，一个在上，不妨设，
若则显然成立；
若，由时，知,即
又
又,在上递增，则即证毕．
（3）不妨设，由，可得
即
=，设，则，
设，则
即函数在上是单调增函数，
即得证
22．设，函数．
(1)求证：存在唯一零点；
(2)在（1）的结论下，若，求证：．
【分析】（1）求导分析函数的单调性可得在上单调递增，再根据零点存在性定理证明即可；
（2）参变分离，代入可得，令，证明，进而构造函数，求导分析可得在上单调递减，构造，进而分析的单调性，得到与在上都单调递减，且，从而证得即可.
【详解】（1）解法一：
，
令，
在上单调递减；上单调递增，∴，
∴，在上单调递增.
当时，，
令，∴，，
∴在上有唯一的零点．
解法二：
∵，
∴，
∴.
∴当时，在内单调递减，
当时，在内单调递增，
∴，∴在上单调递增，
∵，∴当时，存在唯一零点；
当时，，取，
，
所以，由零点存在性定理可知：，使得．
综上，存在唯一零点．
（2）由（1）中可知：，
∴，
∵，∴，
∴，
令，∴，∴.
下证：
设，∴，∴在R上单调递减
又，∴当时，，∴
设
∴
∴在上单调递增
∴，∴在上单调递减
再设
∴
∴
∴在上单调递增
∴，∴在上单调递减
∴，∴，当时取“=”
综上，与在上都单调递减，且，，，∴，即得证．
