5.1导数的概念
一、单选题
1．已知函数在处的导数为2，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
2．已知函数，则曲线在处的切线斜率为（ ）．
A． B． C． D．
3．极限存在是函数在点处连续的（ ）
A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件
4．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．设点是函数图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
7．曲线在点处的切线方程为，则a，b的值分别为（ ）
A．-1，1 B．-1，-1 C．1，1 D．1，-1
8．若，则常数a，b的值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、多选题
9．在平面直角坐标系xOy中，设曲线C的方程是，下列结论正确的是（ ）
A．曲线C上的点与定点距离的最小值是
B．曲线C上的点和定点的距离与到定直线l：的距离的比是
C．曲线C绕原点顺时针旋转45°，所得曲线方程是
D．曲线C的切线与坐标轴围成的三角形的面积是2
10．牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是（单位：），环境温度是（单位：），其中，则经过分钟后物体的温度将满足且.现有一杯的热红荼置于的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（ ）（参考数值）
A．若，则.
B．若，则红茶下降到所需时间大约为7分钟
C．若，则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟的速率下降
D．红茶温度从下降到所需的时间比从下降到所需的时间多
11．在曲线上切线的倾斜角为的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．若函数的图象上存在两个不同的点P，Q，使得在这两点处的切线重合，则称函数为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知函数的图象在点的处的切线过点，则______.
14．若直线是曲线在处的切线，则实数______．
15．设函数，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率是___________.
16．已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则实数的值_______．
四、解答题
17．已知函数．
(1)证明有且仅有两条经过原点的直线与曲线相切；
(2)记（1）中两条切线为，，设，与曲线异于原点的公共点分别为．若，求的值．
18．已知函数，求的解析式.
19．已知函数，求这个函数的图像在点处的切线方程．
20．已知函数，求曲线的斜率等于的切线方程．
21．（1）已知曲线，点是曲线上一点，求曲线在点处的切线方程.
（2）已知抛物线，求过点且与抛物线相切的直线方程.
22．已知函数，.
(1)求曲线在处切线的方程；
(2)若直线l过坐标原点且与曲线相切，求直线l的方程.5.1导数的概念
一、单选题
1．已知函数在处的导数为2，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据极限与导数的关系直接求解.
【详解】根据极限与导数的关系可知，
故选:D.
2．已知函数，则曲线在处的切线斜率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求导，令，求出，再结合导数的几何意义即可求解.
【详解】依题意，，令，
故，解得，故，故．
故选：D．
3．极限存在是函数在点处连续的（ ）
A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件
【答案】B
【分析】根据函数的连续性与函数极限的关系即可求解.
【详解】极限存在，函数在点处不一定连续，比如，在处，极限值为0，但在处不连续，
但在点处连续，可得极限存在，故极限存在是函数在点处连续的必要不充分条件，
故选：B
4．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出导函数后计算导数值，再求得后，由斜截点斜式得直线方程
【详解】，所以，又，
所以切线方程为，即．
故选：A．
5．已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据式子几何意义，可得出斜率恒大于1，根据导数的几何意义，可得出在内恒成立，分离参数求解即可.
【详解】因为的几何意义，
表示点与点连线斜率，
∵实数，在区间内，
不等式恒成立，
∴函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1，
故函数的导数大于1在内恒成立，
∴在内恒成立，
由函数的定义域知，，
所以在内恒成立，
由于二次函数在上是单调递减函数，
故，∴，
∴．
故选：A.
6．设点是函数图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
【答案】B
【分析】求出，令后可求，再根据导数的取值范围可得的范围，从而可得的取值范围.
【详解】∵，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴或.
故选：B.
7．曲线在点处的切线方程为，则a，b的值分别为（ ）
A．-1，1 B．-1，-1 C．1，1 D．1，-1
【答案】C
【分析】根据切点和斜率求得切线方程.
【详解】依题意，切点为，斜率为，
，
所以，解得.
故选：C
8．若，则常数a，b的值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】求极限的代数式通分得，时极限存在且极限为1，则，由恒等式知识可得．
【详解】，则，解得，，
故选：C．
二、多选题
9．在平面直角坐标系xOy中，设曲线C的方程是，下列结论正确的是（ ）
A．曲线C上的点与定点距离的最小值是
B．曲线C上的点和定点的距离与到定直线l：的距离的比是
C．曲线C绕原点顺时针旋转45°，所得曲线方程是
D．曲线C的切线与坐标轴围成的三角形的面积是2
【答案】ABD
【分析】A选项，设出曲线任意一点的坐标，根据两点间的距离公式以及基本不等式求得“最小值”；B选项，结合点到直线的距离公式求得正确答案，C选项，通过求实半轴来进行判断；D选项，通过求切线方程来进行判断.
【详解】曲线C的方程是，则，所以曲线是反比例函数对应的图象，即曲线是双曲线.
A选项，设是曲线上的任意一点，
，
令，则，
当时，，当且仅当时，等号成立，
当时，，
当且仅当时，等号成立，
所以.
所以，
，
所以当时，取得最小值为，A选项正确.
B选项，到直线的距离为，
所以曲线C上的点和定点的距离与到定直线l：的距离的比是，
B选项正确.
C选项，由上述分析可知曲线是双曲线，由于曲线的图象关于对称，
所以是双曲线实轴所在直线，
由解得或，
点与点的距离是，所以双曲线的实轴长，
而双曲线的实半轴，所以C选项错误.
D选项，，
所以在曲线上任意一点处的切线方程为，
令得；令得，
所以曲线C的切线与坐标轴围成的三角形的面积是，D选项正确.
故选：ABD
10．牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是（单位：），环境温度是（单位：），其中，则经过分钟后物体的温度将满足且.现有一杯的热红荼置于的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（ ）（参考数值）
A．若，则.
B．若，则红茶下降到所需时间大约为7分钟
C．若，则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟的速率下降
D．红茶温度从下降到所需的时间比从下降到所需的时间多
【答案】ABC
【分析】由题知，根据指对数运算、以及导数的几何意义，依次讨论各选项求解．
【详解】由题知，
A：若，即，所以，
则，A正确；
B：若，则，则，
两边同时取对数得，所以，
所以红茶下降到所需时间大约为7分钟，B正确；
C;表示处的函数值的变化情况，若，所以实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟的速率下降，故C正确；
D;，设红茶温度从下降到所需的时间为，则，设红茶温度从下降到所需的时间为，则 ，则红茶温度从下降到所需的时间为；由于所以，故
可得红茶温度从下降到所需的时间比从下降到所需的时间少，故D错误．
故选：ABC．
11．在曲线上切线的倾斜角为的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，由导数的几何意义，即可得到所求切点
【详解】切线的斜率，
设切点为，则，
又，
所以，
所以或，
所以切点坐标为或．
故选：AB．
12．若函数的图象上存在两个不同的点P，Q，使得在这两点处的切线重合，则称函数为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】求出导函数，确定切线斜率，选项AB，过图象最高点（或最低点）处的切线是同一条直线，可判断，选项C，由导函数斜率相等的点有无数组，结合函数单调性，确定斜率为1的切线，可判断结论，百选项D，导函数是单调增函数，因此不存在斜率相等的两点，这样易判断结论．
【详解】A，，
，时，，取得最大值，
直线是函数图象的切线，且过点，函数是“切线重合函数”；
B，，，时，，，，此时是函数的最大值，
直线是函数图象的切线，且过点，函数是“切线重合函数”；
C，，，
时，，，
过点的切线方程是，即，因此该切线过图象上的两个以上的点，函数是“切线重合函数”；
D，，，令，
则，所以即是R增函数，因此函数图象上不存在两点，它们的切线斜率相等，也就不存在切线过图象上的两点，因此函数不是“切线重合函数”．
故选：ABC．
三、填空题
13．已知函数的图象在点的处的切线过点，则______.
【答案】1
【分析】利用导数的几何意义求出点处的切线方程，再根据点在切线上，求解即可.
【详解】由，得，
∴，又，
∴函数的图象在点的处的切线方程为，
代入，得，解得.
故答案为：1.
14．若直线是曲线在处的切线，则实数______．
【答案】##
【分析】根据导数的几何意义，结合代入法进行求解即可.
【详解】因为，所以，
把代入中，得，
于是有，
由可知，切线的斜率为，所以有，
因此有，
故答案为：
15．设函数，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率是___________.
【答案】
【分析】根据平均变化率的定义直接求解即可.
【详解】函数，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率为
，
故答案为：.
16．已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则实数的值_______．
【答案】2
【分析】运用代入法进行求解即可.
【详解】把点代入中，得，
把代入中，得，即，
故答案为：2
四、解答题
17．已知函数．
(1)证明有且仅有两条经过原点的直线与曲线相切；
(2)记（1）中两条切线为，，设，与曲线异于原点的公共点分别为．若，求的值．
【分析】（1）设出切点，结合导数的几何意义求出有两个不同的切点即可证明；
（2）先求出两条切线的方程，联立曲线方程，求出交点，结合向量夹角公式可求答案.
【详解】（1）证明：，设过原点的直线与曲线相切于点，则，整理得，即或；
所以有且仅有两条经过原点的直线与曲线相切.
（2）当时，，由（1）知切点为，
；
两条切线方程分别为：，即；
联立方程，得和（舍），可得；
同理可求，，，
，
所以.
18．已知函数，求的解析式.
【答案】.
【分析】先对函数求导，再利用条件解得参数，从而得到的解析式.
【详解】，，又，则有
由①②解得：
所以的解析式是
19．已知函数，求这个函数的图像在点处的切线方程．
【答案】
【分析】利用导数的几何意义求解即可.
【详解】由得，
则当时，切线斜率，
又当时，，所以切点为，
切线方程为，
即.
20．已知函数，求曲线的斜率等于的切线方程．
【答案】
【分析】利用导数求得切点坐标，进而求得切线方程.
【详解】因为，所以，
设切点为，则，即，所以切点为，
由点斜式可得切线方程为：，即.
21．（1）已知曲线，点是曲线上一点，求曲线在点处的切线方程.
（2）已知抛物线，求过点且与抛物线相切的直线方程.
【答案】（1）；（2）或
【分析】根据导数的几何意义即得.
【详解】（1）由可得，
所以在点处的切线的斜率为，
切线方程为，即；
（2）设切线的斜率为，直线与抛物线相切的切点坐标为，则直线方程为，
因为，所以，
又点在切线上，
所以，
解得或，
则或，
所以直线方程为或，
即或.
22．已知函数，.
(1)求曲线在处切线的方程；
(2)若直线l过坐标原点且与曲线相切，求直线l的方程.
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式写切线方程即可；
（2）根据设切点坐标，然后利用导数的几何意义得到斜率，再利用点斜式写切线方程，将代入切线方程得到即可得到切线方程.
（1）
，所以，所以，，所以切线方程为：，整理得.
（2）
，所以，设切点坐标为，所以切线斜率为，
则切线方程为：，又因为切线过原点，所以将代入切线方程得，解得，所以切线方程为：，整理得.
