4.3 等比数列
一、单选题
1．已知是各项均为正数的等比数列的前n项和，若，，则（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】B
【分析】根据等比数列下标性质，结合等比数列前n项和公式进行求解即可.
【详解】因为等比数列的各项均为正数，
所以由，
当 时，，所以，不符合题意；
当时，由，
或，
因为等比数列的各项均为正数，所以，
故选：B
2．已知三角形的三边构成等比数列，且它们的公比为，则的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
【答案】D
【分析】利用等比数列的通项公式及构成三角形边的特点，结合一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】设三边 ，则
由三边关系两短边和大于第三边，即
当时，，等价于解二次不等式，
由于方程两根为和，
解得且， 即
当时，为最大边，即得，解得或且，即，
综上所述，的取值范围为
故选：D.
3．数列满足，则满足的的最小值为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】A
【分析】分类讨论当时得到，当时得到，从而利用等比数列的前项和公式求得，进而得到，解之即可.
【详解】因为当时，，，
所以，
当时，，
所以当时，是以，的等比数列，故，
所以，
故，即，
因为，，所以，即，
所以的最小值为.故选：A.
4．在等比数列中，，，则公比q的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据等比数列定义两式相除即可得出公比q.
【详解】，，得，∴．
故选：A．
5．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】设出公比根据题干条件列出方程，求出公比，从而利用等比数列通项的基本量计算求出答案.
【详解】设数列的公比为，
则，得，
解得或（舍），
所以.
故选：A.
6．已知等比数列满足，，（其中，），则的最小值为（ ）
A．6 B．16 C． D．2
【答案】D
【分析】利用等比数列的性质，得出和的关系，利用基本不等式求出的最小值
【详解】由题意，
在等比数列中，，，
由等比数列的性质，可得，，
当且仅当，时，等号成立，
因此，的最小值为2.
故选：D.
7．已知数列是等比数列，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等比数列的性质，得到也为等比数列，并求出其基本量，进而可用等比数列求和公式求解即可.
【详解】∵为等比数列，故也为等比数列，
由，又∵，∴的公比满足，则，
而，平方得，，
∴是以为首项，为公比的等比数列，其前项和．故选：B．
8．已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，则数列的前9项的和为（ ）
A．1 B．2 C．81 D．80
【答案】C
【分析】由题知，，进而根据等差数列通项公式解得，再求和即可.
【详解】因为，所以，解得.
又，，成等比数列，所以.设数列的公差为，
则，即，整理得.
因为，所以.
所以.故选:C.
二、多选题
9．将数列中的所有项排成如下数阵：
……
已知从第二行开始每一行比上一行多两项，第一列数成等差数列，且．从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以为公比的等比数列，则（ ）
A． B．在第85列 C．D．
【答案】ACD
【分析】由已知，根据条件，选项A，设第一列数所组成的等差数列公差为d，根据求解公差，然后再求解即可验证；根据数阵的规律，先计算第行共有项，然后再总结前行共有项，先计算前44行共有项，然后用，即可判断选项B；选项D，先计算第一列数所组成的等差数列第行的第一项为：，然后再根据每一行中的数按从左到右的顺序均构成以为公比的等比数列，利用等比数列通项公式即可求解通项；选项C，先表示出，，然后可令、，分别判断数列的单调性，求解出对应的最大值与最小值，比较即可判断.
【详解】由已知，第一列数成等差数列，且，
设第一列数所组成的等差数列公差为d，则，
所以，选项A正确；
第一行共有1项，第二行共有3项，第三行共有5项，，第行共有项，
所以前一行共有项，前二行共有项，前三行共有项，，前行共有项，
所以前44行共有项，而，
所以位于第45行86列，故选项B错误；
第一列数所组成的等差数列第行的第一项为：，
且每一行中的数按从左到右的顺序均构成以为公比的等比数列，
所以第行的数构成以为首项，公比为的等比数列，
所以，故选项D正确；
因为第一列数所组成的等差数列第行的第一项为：，
所以，
令，
所以，
当且时，，
所以，所以，
而令，在上单调递增，
所以，所以成立，选项C正确.
故选：ACD.
10．对于数列，设其前项和，则下列命题正确的是（ ）
A．若数列为等比数列，且成等差数列，则也成等差数列
B．若数列为等比数列，则
C．若数列为等差数列，则数列成等差数列
D．若数列为等差数列，且，则使得的最小的值为
【答案】AC
【分析】利用等差等比数列的定义及等差数列的中项公式，结合等差等比数列的通项公式及前项和公式即可求解.
【详解】对于A，因为数列为等比，且成等差数列，所以，所以，，即，于是有，所以，所以也成等差数列，故A正确；
对于B，因为数列为等比数列，当时，，所以，故B错误；
对于C，因为数列为等差数列，所以，所以是关于的一次函数，所以数列成等差数列，故C正确；
对于D，因为数列为等差数列，且，所以，即，又，所以，所以，即,解得，所以使得的最小的值为，故D错误.
故选：AC.
11．已知数列的前项和满足，则下列说法正确的是（ ）
A．是为等差数列的充要条件
B．可能为等比数列
C．若，，则为递增数列
D．若，则中，，最大
【答案】ABD
【分析】计算，当时，，验证知A正确，当时是等比数列，B正确，举反例知C错误，计算得到D正确，得到答案.
【详解】，；
当时，，
当时，，满足通项公式，数列为等差数列；
当为等差数列时，，，故A正确；
当时，，是等比数列，B正确；
，取，则，C错误；
当时，从第二项开始，数列递减，且，故，故，最大，D正确.
故选：ABD
12．已知公比不为1的等比数列的项和为，则下列一定成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BC
【分析】设等比数列的公比为，根据通项公式及求和公式即可判断出答案.
【详解】设等比数列的公比为，
当时，，A不正确；
当时，，B正确；
当时，即，则，
所以，由与同号，所以，C正确；
当时，取数列为，， ，，，则，D不正确.
故选：BC.
三、填空题
13．已知数列为等差数列，数列为等比数列且公比.数列和数列的前和分别为和，且满足，则等差数列的通项公式为_____________.
【答案】
【分析】分别令，得到，设的公差为，化简得到，解方程组可得答案.
【详解】由已知得，令得，，根据等比数列求和公式，得到，故，
设的公差为，则，
化简得，
故答案为：
14．已知数列是首项为3，公比为的等比数列，是其前n项的和，若，则___________.
【答案】##
【分析】根据题意求出公比，利用等比数列前项和公式即可求解.
【详解】因为数列是首项为3，公比为的等比数列，且，
所以，因为，所以，则，
由等比数列的前项和公式可得：，
故答案为：.
15．我国生物科技发展日新月异，其中生物制药发展尤其迅速，某制药公司今年共投入资金50万元进行新药开发，并计划每年投入的研发资金比上一年增加.按此规律至少___________年后每年投入的资金可达250万元以上（精确到1年）.（参考数据）
【答案】10
【分析】根据题意满足等比数列模型，运用等比数列通项公式解决即可.
【详解】由题知，某制药公司今年共投入资金50万元进行新药开发，并计划每年投入的研发资金比上一年增加，满足等比数列模型，
令，
所以，
所以，
所以，
所以，
又因为为正整数，
所以，
故答案为：10
16．已知数列、满足.其中是等差数列，若，则_____________.
【答案】1011
【分析】根据等差数列的性质以及对数的运算求得，进而求解结论.
【详解】数列、满足.其中是等差数列，，
为等差数列，设公差为，则，，则，故为等比数列，
，
.
故答案为：1011.
四、解答题
17．已知数列的各项均为正数的等比数列，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【分析】（1）由等比数列的通项公式求解即可；
（2）由（1）可得，再分类讨论结合分组并项求和法求解即可
【详解】（1）设公比为，由题意得
解得
（2）
当为偶数时，，
当为奇数时，；
．
18．给定数列，若满足，对于任意的，都有，则称为“指数型数列”.若数列满足：；
(1)判断是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
(2)若，求数列的前项和.
【分析】（1）首先将原式化简整理成，根据等比数列的定义证明为等比数列，再根据等比数列的首项和公比求解的通项公式，最后通过通项公式证明是“指数型数列”；
（2）首先根据（1）求解出，然后根据分组求和求解的前项和即可.
【详解】（1）将两边同除
得：，
是以为首项，公比为的等比数列，
是“指数型数列”
（2）因为，则
.
19．已知数列，其中前项和为，且满足，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式及其前项和．
【分析】（1）根据题意对两边同时加3，进一步推导即可发现数列是以8为首项，2为公比的等比数列；
（2）先根据第（1）题的结果计算出数列的通项公式，进一步计算出数列的通项公式，再运用分组求和法及等比数列的求和公式即可计算出前项和．
【详解】（1）证明：由题意，两边同时加3，
可得，
，
数列是以8为首项，2为公比的等比数列．
（2）解：由（1）可得，
则，，
故
．
20．已知等差数列 和等比数列 满足 ， ， .
(1)求 的通项公式；
(2)求和： .
【分析】（1）设等差数列的公差为，利用，求出，再由等差数列的通项公式计算可得答案；
（2）设等比数列的公比为，则奇数项构成公比为的等比数列，利用求出、，可得是公比为，首项为的等比数列，再由等比数列的前项和公式计算可得答案.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由，，
可得：，
解得，
所以的通项公式；
（2）设等比数列的公比为，则奇数项构成公比为的等比数列，
由（1）可得，等比数列满足，，
由于，可得（舍去），（等比数列奇数项符号相同），
所以，
则是公比为，首项为的等比数列，
.
21．已知数列为等比数列，，，，.
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【分析】（1）由，求得数列的公比，再由等比数列的通项公式得，然后由对数的运算性质得；
（2）根据等差、等比数列的前项和公式，采用分组求和法，即可得解.
【详解】（1）设数列的公比为，则，
所以，
所以，
所以；
（2），
所以
.
22．已知数列中，，，.设.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设数列的前项的和为，求.
(3)设，设数列的前项和，求证：.
【分析】（1）由，变形为，根据，代入即可证明结论.
（2）由（1）可得，利用时，，可得，利用求和公式即可得出数列的前项的和为.
（3），利用裂项求和与数列的单调性即可得出结论.
【详解】（1），
，
，，
数列是等比数列，首项为1，公比为2.
（2）由（1）可得，
时，，
时也成立.
，
，
数列是等比数列，首项为1，公比为2.
数列的前项的和为.
（3），
数列的前项和，
.4.3 等比数列
一、单选题
1．已知是各项均为正数的等比数列的前n项和，若，，则（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
2．已知三角形的三边构成等比数列，且它们的公比为，则的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
3．数列满足，则满足的的最小值为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
4．在等比数列中，，，则公比q的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
5．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
6．已知等比数列满足，，（其中，），则的最小值为（ ）
A．6 B．16 C． D．2
7．已知数列是等比数列，且，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，则数列的前9项的和为（ ）
A．1 B．2 C．81 D．80
二、多选题
9．将数列中的所有项排成如下数阵：
……
已知从第二行开始每一行比上一行多两项，第一列数成等差数列，且．从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以为公比的等比数列，则（ ）
A． B．在第85列 C．D．
10．对于数列，设其前项和，则下列命题正确的是（ ）
A．若数列为等比数列，且成等差数列，则也成等差数列
B．若数列为等比数列，则
C．若数列为等差数列，则数列成等差数列
D．若数列为等差数列，且，则使得的最小的值为
11．已知数列的前项和满足，则下列说法正确的是（ ）
A．是为等差数列的充要条件
B．可能为等比数列
C．若，，则为递增数列
D．若，则中，，最大
12．已知公比不为1的等比数列的项和为，则下列一定成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
三、填空题
13．已知数列为等差数列，数列为等比数列且公比.数列和数列的前和分别为和，且满足，则等差数列的通项公式为_____________.
14．已知数列是首项为3，公比为的等比数列，是其前n项的和，若，则___________.
15．我国生物科技发展日新月异，其中生物制药发展尤其迅速，某制药公司今年共投入资金50万元进行新药开发，并计划每年投入的研发资金比上一年增加.按此规律至少___________年后每年投入的资金可达250万元以上（精确到1年）.（参考数据）
16．已知数列、满足.其中是等差数列，若，则_____________.
四、解答题
17．已知数列的各项均为正数的等比数列，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
18．给定数列，若满足，对于任意的，都有，则称为“指数型数列”.若数列满足：；
(1)判断是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
(2)若，求数列的前项和.
19．已知数列，其中前项和为，且满足，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式及其前项和．
20．已知等差数列 和等比数列 满足 ， ， .
(1)求 的通项公式；
(2)求和： .
21．已知数列为等比数列，，，，.
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列的前项和.
22．已知数列中，，，.设.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设数列的前项的和为，求.
(3)设，设数列的前项和，求证：.
