4.2 等差数列
一、单选题
1．已知是等差数列的前n项和，若，，则（ ）
A．40 B．45 C．50 D．55
2．一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
3．已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．设是等差数列，，，，则使成立的最大自然数是（ ）
A．4013 B．4014 C．4015 D．4016
5．已知等差数列，且，则数列的前14项之和为（ ）
A．14 B．28 C．35 D．70
6．记为等差数列的前项和，且，则取最大值时的值为（ ）
A．12 B．12或11 C．11或10 D．10
7．已知数列的前n项和为，满足，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设等差数列的前n项和为，若，且（），则（ ）
A．数列为递增数列 B．
C．存在正整数k，使得 D．存在正整数m，使得
10．设等差数列的前项和为，公差为．已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．设的前项和为，则时，的最大值为27
11．已知数列是公差不为0的等差数列，前项和为.若对任意的，都有，则的值可能为（ ）
A．2 B． C． D．
12．某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为40mm，满盘时直径为120mm，已知该卫生纸的厚度为0.1mm，为了求出满盘时卫生纸的总长度，下列做法正确的是（ ）
A．从底面看，可以将绕在盘上的卫生纸看作一组同心圆，由内向外各圈的半径分别是20.0，21.1，…，59.9
B．从底面看，可以将绕在盘上的卫生纸看作一组同心圆，由内向外各圈的半径分别是20.05，20.15，…，59.95
C．同心圆由内向外各圈周长组成一个首项为，公差为的等差数列
D．设卷筒的高度为，由等式可以求出卫生纸的总长
三、填空题
13．已知等差数列的前n项和为，且，则的前15项和______.
14．我国古代《九章算术》一书中记载关于“竹九”问题：今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问五、六两节欲均容各多少？意思是下三节容量和为4升，上四节容量和为3升，且每一节容量变化均匀，问第五、六两节容量分别是多少？在这个问题中，九节总容量是__________.
15．已知数列，（其中[x]表示不超过x的最大整数，n∈N且n≥1），是关于x的方程的实数根，记数列的前n项和为，则的值为______.
16．已知在数列{an}中，a1＝1，an+3≤an+3，an+2≥an+2，则a2023＝______.
故答案为：2023.
四、解答题
17．设等差数列的前n项和为，，，且有最大值．
(1)求数列的通项公式及的最大值；
(2)求
18．等差数列，，公差．
(1)求通项公式和前项和公式；
(2)当取何值时，前项和最大，最大值是多少．
19．已知各项均为正数的数列的前项和为，向量，向量，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若对任意正整数都有成立，求．
20．已知数列的前项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
21．已知数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，
若，求的值．
22．已知数列中，，当时，，记．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，证明：．4.2 等差数列
一、单选题
1．已知是等差数列的前n项和，若，，则（ ）
A．40 B．45 C．50 D．55
【答案】A
【分析】根据等差数列片段和性质可得，解方程即可求得结果.
【详解】由等差数列性质知：，，成等差数列，
所以，即，解得：.
故选：A.
2．一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】A
【分析】设成为等差数列的其中10层的塔数为：，设出公差，根据题意得，又，，且，故只能满足，进而可得答案.
【详解】设成为等差数列的其中10层的塔数为：，由已知得，该等差数列为递增数列，因为剩下两层的塔数之和为8，故剩下两层中的任一层，都不可能是第十二层，所以，第十二层塔数必为；
故，①；
又由②，，且，所以，
①+②得，，得，
由知，
又因为观察答案，当且仅当时，满足条件，所以，；
组成等差数列的塔数为：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19；
剩下两层的塔数之和为8，只能为2，6.
所以，十二层的塔数，从上到下，可以如下排列：
1，2，3，5，6，7，9，11，13，15，17，19；其中第二层的2和第五层的6不组成等差数列，满足题意，则第11层的塔数为17.
故答案选：A
3．已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质以及等差数列的前项和公式求得正确答案.
【详解】，
由题意可得.
故选：B
4．设是等差数列，，，，则使成立的最大自然数是（ ）
A．4013 B．4014 C．4015 D．4016
【答案】B
【分析】由题意利用等差数列的性质可得，且，推出，，再根据可得．
【详解】因为首项为正数的等差数列满足：，，
所以为首项大于零的递减的等差数列，
所以，且，
所以，，
由得，，，
又因为，即，
故选：B
5．已知等差数列，且，则数列的前14项之和为（ ）
A．14 B．28 C．35 D．70
【答案】C
【分析】根据等差数列的性质及求和公式即可求解.
【详解】解：因为为等差数列，
所以，
所以，
则数列的前14项之和.
故选：C.
6．记为等差数列的前项和，且，则取最大值时的值为（ ）
A．12 B．12或11 C．11或10 D．10
【答案】B
【分析】设等差数列的公差为d，由可解出d值为，从而可知数列前11项为正；第12项为0；从第13项起，各项为负，所以取得最大值时的值可确定．
【详解】设等差数列的公差为d，由，得，即，
又，所以，所以，令，可得，
所以数列满足：当时，；当时，；当时，，
所以取得最大值时，的取值为11或12．
故选：B．
7．已知数列的前n项和为，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据通项与前n项和的关系，分与两种情况分别求解即可.
【详解】当时，；当时，，且当时也满足.
故.
故选：D
8．已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造等差数列，结合等差数列的通项公式，求得，再求结果即可.
【详解】根据题意可得：，则，故数列是首项为，公差为的等差数列，
则，，故.
故选：B.
二、多选题
9．设等差数列的前n项和为，若，且（），则（ ）
A．数列为递增数列 B．
C．存在正整数k，使得 D．存在正整数m，使得
【答案】ACD
【分析】根据已知条件求得的关系式以及的符号，由此对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】设等差数列的公差为，
，，
，，
，
由得，数列为递增数列，A选项正确.
，，B选项错误.
由上述分析可知，所以当时，，
所以存在正整数k，使得，C选项正确.
，
若，则，（舍去），D选项正确.
故选：ACD
10．设等差数列的前项和为，公差为．已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．设的前项和为，则时，的最大值为27
【答案】BC
【分析】由已知求得，，解公差为的取值范围，利用等差数列的通项公式求和公式及其性质逐个选项判断正误即可.
【详解】∵，，∴，，
∴，，∴，A选项错误；
又∵，即，
∴ ，解得，B选项正确；
∵，故C选项正确；
因为等差数列的前n项和为，所以，即，
由，
∴数列为等差数列，设，
因为当时，，当时，，
所以当时，，当时，，
所以，，
因为，所以可能为正数，也可能为负数，所以D选项不正确．
故选：BC．
11．已知数列是公差不为0的等差数列，前项和为.若对任意的，都有，则的值可能为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】ABC
【分析】由等差数数列前项和公式推导出，由此能求出的值不可能为.
【详解】数列是公差不为0的等差数列，前项和.
若对任意的，都有，
，，解得，
当时，．成立；
当时，．成立；
当时，．成立；
当时，．不成立．
的值不可能为．
故选：ABC．
12．某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为40mm，满盘时直径为120mm，已知该卫生纸的厚度为0.1mm，为了求出满盘时卫生纸的总长度，下列做法正确的是（ ）
A．从底面看，可以将绕在盘上的卫生纸看作一组同心圆，由内向外各圈的半径分别是20.0，21.1，…，59.9
B．从底面看，可以将绕在盘上的卫生纸看作一组同心圆，由内向外各圈的半径分别是20.05，20.15，…，59.95
C．同心圆由内向外各圈周长组成一个首项为，公差为的等差数列
D．设卷筒的高度为，由等式可以求出卫生纸的总长
【答案】BCD
【分析】把绕在盘上的纸近似地看作是一组同心圆，从内到外，半径依次组成等差数列，分别计算出各圆的周长，再由体积求总长即可．
【详解】卫生纸的厚度为0.1mm，可以把绕在盘上的卫生纸近似地看作一组同心圆，取半径时从每层纸的中间开始算，则由内向外各圈的半径组成首项为20.05，公差为0.1的等差数列，A选项错误，B选项正确；
这个等差数列首项，公差，由，得，解得；
设各圈周长的，则，，，
所以各圈的周长组成一个首项为，公差为，项数为400的等差数列，C选项正确；
利用体积相等，可得，D选项正确．故选：BCD
三、填空题
13．已知等差数列的前n项和为，且，则的前15项和______.
【答案】30
【分析】设出公差，利用等差数列通项公式和前n项和公式得到，进而计算出.
【详解】设等差数列的公差为，则，
又，，
所以，即，
.
故答案为：30.
14．我国古代《九章算术》一书中记载关于“竹九”问题：今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问五、六两节欲均容各多少？意思是下三节容量和为4升，上四节容量和为3升，且每一节容量变化均匀，问第五、六两节容量分别是多少？在这个问题中，九节总容量是__________.
【答案】##
【分析】设由下到上九节容量分别记为，则成等差数列，设公差为，根据题意列方程解出基本量，即可利用公式求和.
【详解】设由下到上九节容量分别记为，则成等差数列，设公差为，
则，，即，，解得，，
故.
故答案为：.
15．已知数列，（其中[x]表示不超过x的最大整数，n∈N且n≥1），是关于x的方程的实数根，记数列的前n项和为，则的值为______.
【答案】1010
【分析】根据给定条件，令，利用方程根的意义，构造函数，探讨函数的零点确定数列的通项，再利用等差数列前n项和公式求解作答.
【详解】因是关于x的方程的实数根，当时，，
令，显然函数在上单调递减，，
因此，，则有，
显然有，令，于是得，
令，函数在上单调递增，而，，
因此存在，使得，即，
当时，，，
当时，，，
从而得
，
所以.
故答案为：1010
16．已知在数列{an}中，a1＝1，an+3≤an+3，an+2≥an+2，则a2023＝______.
【答案】2023
【分析】根据题中所给条件，进行化简整理，得出从第四项起数列 {an} 是等差数列，公差 d＝1，进而可以求解.
【详解】∵an+3 an+3，∴an+6 an+3+3 an+6，
∵an+2 an+2，∴an+6 an+4+2 an+2+4 an+6，
∴an+6＝an+6，当且仅当同时取等号成立，
即 an+3＝an+3，an+2＝an+2，
则 an+3﹣an+2＝1，则从第四项起数列 {an} 是等差数列，公差 d＝1，
∵a1＝1，∴a3＝a1+2＝3，
则当 n 3 时，an＝a3+(n﹣3)d＝3+n﹣3＝n，
则 a2023＝2023，
故答案为：2023.
四、解答题
17．设等差数列的前n项和为，，，且有最大值．
(1)求数列的通项公式及的最大值；
(2)求
【答案】(1)，前n项和最大值108；
(2)，
【分析】（1）由有最大值得，结合等差中项性质可解出、，即可进一步解出基本量，，即可由公式法列出通项公式，的最大值为前面所有非负项的和；
（2）由数列的符号，分别求、时的即可，其中当时.
【详解】（1）设等差数列的公差是d，首项是，由有最大值得，
则数列是递减数列，因为，，解得、或、舍去，
则，，解得，，所以，
令得，则当时，；当时，，所以；
（2）由（1）可得，
当时，…，
当时，……，
综上可得，，
18．等差数列，，公差．
(1)求通项公式和前项和公式；
(2)当取何值时，前项和最大，最大值是多少．
【答案】(1)，
(2)当时，前项和最大，最大值是
【分析】（1）根据等差中项可得，从而得，从而求通项公式和前项和公式；
（2），知当时，前项和最大，利用前项和公式求最值即可．
【详解】（1）由为等差数列的前项和，则，解得，
，则，
.
（2）由，则数列为递减数列，
由，，则当时，取得最大值，即最大值为.
19．已知各项均为正数的数列的前项和为，向量，向量，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若对任意正整数都有成立，求．
【分析】（1）由已知可推得，进而可推出是等差数列，从而求得通项公式；
（2）由（1）可得，，观察通项形式，采用裂项得到，然后相加即可得到结果.
【详解】（1）因为，所以，
所以，.
当时，，解得（舍）或.
当时，，，
相减得，
即，，
化简得.
，
所以，是以2为首项，2为公差的等差数列.
.
（2）因为，所以.
由（1）知，，
所以
.
20．已知数列的前项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先将代入题干表达式计算出的值，当时，由，可得，两式相减并进一步推导即可发现数列是以2为首项，2为公差的等差数列，即可计算出数列的通项公式；
（2）先根据第（1）题的结果计算出数列的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出前项和．
【详解】（1）由题意，当时，，
当时，由，
可得，
两式相减，
可得，
化简整理，得，
也满足上式，
数列是以2为首项，2为公差的等差数列，
，．
（2）由（1），可得，
则
．
21．已知数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，
若，求的值．
【答案】(1)(2)25
【分析】（1）根据递推公式得到奇数项和偶数项的通项公式，最后再合并即可；（2）根据题意，利用对数的运算性质求解.
【详解】（1）∵，
∴，所以，
∴的奇数项与偶数项各自成等差数列且公差均为2．
∵，则，
∴对,，
所以n为奇数时，，
对,，
所以n为偶数时，，
综上可知，，．
（2）由（1）得，
∴，
解得．
22．已知数列中，，当时，，记．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，证明：．
【分析】(1)根据地推公式可得，累加法可得数列的通项公式
(2)先验证时不等式成立，再根据时，，
利用放缩法结合裂项相消可证得结论.
【详解】（1）解：由题意得，
所以，即．
当时，
．
当时，也符合．综上，．
（2）证明：由（1）得，
当时；
当时，，
故当时，
．
综上，．
