4.1 数列
一、单选题
1．已知数列的前项和，且对任意，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据数列为递减数列，结合与的关系即可求解.
【详解】因为，所以数列为递减数列，当时，，
故可知当时，单调递减，
故为递减数列，只需满足，
因为,
所以,解得，
.故选:.
2．已知数列的前项和,那么它的通项公式（ ）
A．n B．2n C．2n＋1 D．n＋1
【答案】B
【分析】根据即可求．
【详解】，
,
当时，，
.
故选：B.
3．已知数列满足，若，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据递推公式逐项求值发现周期性，结合周期性求值.
【详解】由得
，
所以数列的周期为3，所以．
故选：B
4．在数列中，，（，），则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】利用数列的递推公式求出数列的前4项，推导出为周期数列，从而得到的值
【详解】，，，
可得数列是以3为周期的周期数列，，
故选：A
5．已知数列满足，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根据题意变形为，再转化为与，与的关系，
推导出数列是周期为3的周期数列，即可计算出结果.
【详解】由题意得，所以，
所以，所以数列是周期为3的周期数列，
所以，所以．
故选：C
6．已知数列满足，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数的性质判断，即可猜想数列的奇数项递增，偶数项递减，且奇数项小于偶数项，再证明即可，从而可得答案.
【详解】因为，
所以，，
因为指数函数单调递减，
所以，
所以，
所以，
所以，所以，
所以，
由此可猜想数列的奇数项递增，偶数项递减，且奇数项小于偶数项，
因为，当时，，
所以，
所以（），
因为，所以，所以，
进而可得，
以此类推可得且，
因为当时，，，
所以，
所以，
所以（），
由，得，即，
由，得，
以此类推单调递减，
所以，
所以，
故选：A.
7．已知数列满足，则（ ）
A． B．1 C．4043 D．4044
【答案】A
【分析】由递推式得到，从而得到，由此再结合即可求得的值.
【详解】由得，
两式相加得，即，故，
所以.
故选：A．
8．已知数列的前项和，则这个数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】已知和求通项公式：进行计算.
【详解】当时，
当时，
故选：C
二、多选题
9．已知数列的通项公式为，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据通项公式即可作出判断.
【详解】对于A，6是偶数，则，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，，
，D错误.
故选：BC.
10．下列数列是单调递增数列的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】利用验证各选项即可.
【详解】因为
选项A：，所以，不是单调递增数列；
选项B：，所以是单调递增数列；
选项C：，所以，不是单调递增数列；
选项D：，所以是单调递增数列；
故选：BD
11．意大利数学家列昂纳多 斐波那契提出的“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，，在现代生物及化学等领域有着广泛的应用，它可以表述为数列满足.若此数列各项被3除后的余数构成一个新数列，记的前项和为，则以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据数列可得出数列是以8为周期的周期数列，依次分析即可判断.
【详解】数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，
被3除后的余数构成一个新数列，
数列为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，…，
观察可得数列是以8为周期的周期数列，故，A正确；
且，故，B正确；
，C正确；
则的前2022项和为，D错误.
故选：ABC
12．已知是的前项和，，则下列选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．是以为周期的周期数列
【答案】AC
【分析】推导出，利用数列的周期性可判断各选项的正误.
【详解】因为，，则，，，
以此类推可知，对任意的，，D选项正确；
，A选项错误；
，B选项正确；
，C选项错误.
故选：AC.
三、填空题
13．如下表定义函数：
x 1 2 3 4 5
5 4 3 1 2
对于数列，，，，3，4，…，则的值是______.
【答案】5
【分析】先根据求出前几项，得出周期，利用周期性求解.
【详解】根据题意，，，，
所以周期为4，而，所以.
故答案为：5
14．数列满足，，则______．
【答案】
【分析】利用累乘法求得正确答案.
【详解】
，
也符合上式，
所以.
故答案为：
15．已知数列前项和满足，则________.
【答案】
【分析】先利用对数运算得到，进而利用求出答案.
【详解】因为，所以，
当时，，
当时，，
因为，
故，
故答案为：
16．已知Sn是数列{an}的前n项和．若Sn＝2n，则_____．
【答案】2
【分析】根据求解即可．
【详解】解：∵ Sn＝2n，
∴ ，，
∴ ，
故答案为：2．
四、解答题
17．已知是数列的前n项和，
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如，．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求，利用和可求通项公式；
（2）先求，根据的取值逐个求解，然后求和可得答案.
（1）
∵；
∵，∴
两式相减可得，又，∴.
（2）
由（1）知：，
所以当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时，
所以数列的前10项和为．
18．已知数列满足，求的通项公式．
【答案】.
【分析】利用项与前项和的关系即得.
【详解】对任意的，，
当时，则，
当时，由，可得，
上述两个等式作差可得，
，
满足，
因此，对任意的，.
19．写出下列数列的前10项，并作出它们的图象．
(1)当自变量依次取1，2，3，…时，函数的值构成的数列；
(2)数列的通项公式为．
【答案】(1)3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，图见解析
(2)2，3，2，5，2，7，2，9，2，11，图见解析
【分析】（1）将自变量依次取值代入函数解析式可得各项的值，然后描点作图即可；
（2）分n是奇数还是偶数代入相应通项公式计算可得各项的值，然后描点作图即可.
（1）
依次将的值代入函数，可得数列的前10项依次为：
3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，图象如下：
（2）
∵，
∴数列的前10项依次为2，3，2，5，2，7，2，9，2，11，图象如下：
20．已知数列的前n项和为．求数列的通项公式.
【答案】
【分析】根据求出时的通项，由此求数列的通项公式.
【详解】由得：，
相减得，
当时，也满足上式，
∴．
所以数列的通项公式为.
21．写出下列数列的一个通项公式．
(1)，，，，…；
(2)，，，，…；
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)（答案不唯一）.
【分析】（1）（2）根据数列前几项找到规律，从而得到数列的符合题意的一个通项公式.
【详解】（1）解：由，，，，…，可知奇数项为负数，偶数项为正数，分子均为，且分母为序号与其后一个数之积，
故该数列的通项公式可以为（答案不唯一）.
（2）解：由，，，，…，
可得该数列的一个通项公式为（答案不唯一）.
22．函数的定义域为，若，满足，则称为的不动点.已知函数.
（1）试判断不动点的个数，并给予证明；
（2）若“”是真命题，求实数的取值范围.
【答案】（1）3个，证明见解析；（2）.
【分析】（1）分、、三种情况，利用构造函数，利用函数的单调性可得答案；
（2）解法1：转化为成立，解不等式组，再由可得答案；
解法2：转化为成立，等价于，使成立，构造函数，并利用函数的单调性，由可得答案.
【详解】（1），
若，则，所以，
由得，即，
因为在是单调递增函数，
所以函数在是单调递增的，
，
所以在内存在唯一零点；
若，则，所以，
由得解得；
若，则，所以，
由得；因为在是单调递增的，
，
所以在内有唯一零点；
综上所述，有3个不动点.
（2）由（1）可知，当，
若“”是真命题，
就是，使不等式成立，
等价于成立，
即，不等式组成立，
，
解得，
因为，保证，所以
因为，
，
所以，
所以，解得：.
所以实数的取值范围是.
解法2：由（1）可知，当，
若“”是真命题，
就是，使不等式成立，
等价于成立，
等价于，使成立，
且也成立，
由得，设，
，使成立，
只要即可，函数在上单调递减，
所以，所以，
，使在区间成立，
只需要即可，即得，
所以实数的取值范围是.4.1 数列
一、单选题
1．已知数列的前项和，且对任意，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知数列的前项和,那么它的通项公式（ ）
A．n B．2n C．2n＋1 D．n＋1
3．已知数列满足，若，则（ ）
A． B． C． D．2
4．在数列中，，（，），则（ ）
A． B．1 C． D．2
5．已知数列满足，则（ ）
A． B． C．2 D．
6．已知数列满足，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知数列满足，则（ ）
A． B．1 C．4043 D．4044
8．已知数列的前项和，则这个数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知数列的通项公式为，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列数列是单调递增数列的有（ ）
A． B．
C． D．
11．意大利数学家列昂纳多 斐波那契提出的“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，，在现代生物及化学等领域有着广泛的应用，它可以表述为数列满足.若此数列各项被3除后的余数构成一个新数列，记的前项和为，则以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知是的前项和，，则下列选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．是以为周期的周期数列
三、填空题
13．如下表定义函数：
x 1 2 3 4 5
5 4 3 1 2
对于数列，，，，3，4，…，则的值是______.
14．数列满足，，则______．
15．已知数列前项和满足，则________.
16．已知Sn是数列{an}的前n项和．若Sn＝2n，则_____．
四、解答题
17．已知是数列的前n项和，
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如，．
18．已知数列满足，求的通项公式．
19．写出下列数列的前10项，并作出它们的图象．
(1)当自变量依次取1，2，3，…时，函数的值构成的数列；
(2)数列的通项公式为．
20．已知数列的前n项和为．求数列的通项公式.
21．写出下列数列的一个通项公式．
(1)，，，，…；
(2)，，，，…；
22．函数的定义域为，若，满足，则称为的不动点.已知函数.
（1）试判断不动点的个数，并给予证明；
（2）若“”是真命题，求实数的取值范围.
