3.2 双曲线
一、单选题
1．已知椭圆和双曲线有相同焦点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题得椭圆的半焦距为，
双曲线的半焦距为，
所以.
故选：A
2．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故选：A
3．设是双曲线的右支上的点，则代数式的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
设,上式表示,由于双曲线的左焦点为,
双曲线的实轴,,
,
,当在的延长线与双曲线右支的交点处时取到等号，所以的最小值为.
故选：B
4．已知椭圆，双曲线为的焦点，为和的交点，若的内切圆的圆心的横坐标为2，和的离心率之积为，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】不妨设点在第一象限内，的内切圆与边的切点分别为，双曲线的焦距为.
则，
因为点在双曲线上，所以，则，
又因为和的离心率之积为，而椭圆的离心率，双曲线的离心率为，
所以，
解得.故选：C.
5．已知双曲线的左焦点为F，O为坐标原点，M，N两点分别在C的左、右两支上，若四边形OFMN为菱形，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，四边形为菱形，如图，则且
，分别为的左，右支上的点，设点在第二象限，在第一象限.由双曲线的对称性，可得，过点作轴交轴于点，则，所以,则，所以，所以，则，即，解得，或，由双曲线的离心率，所以取，则
故选：C
6．设双曲线与直线相交于两个不同的点A，B，则双曲线C的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
所以
，故选：B
7．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆有公共焦点.则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意已知椭圆的焦点坐标为，即为双曲线的焦点坐标，双曲线中，
渐近线方程为，其中一条为，
于是有，，∴，
∴渐近线方程为．
故选：C．
8．方程－＝12的化简结果为（ ）
A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1(x＞0) D．－＝1(x＞0)
【答案】C
【解析】解：设A( 10,0)，B(10,0)，，
由于动点P(x,y)的轨迹方程为－＝12，
则|PA| |PB|=12，故点P到定点A( 10,0)与到定点B(10,0)的距离差为12，
则动点P(x,y)的轨迹是以(±10,0)为焦点，以12为实轴长的双曲线的右支，
由于2a=12，c=10，则，
故P的轨迹的标准方程为－＝1(x＞0).
所以原方程可以化简为－＝1(x＞0).故选：C
二、多选题
9．已知双曲线C：，下列对双曲线C判断正确的是（ ）
A．实轴长是虚轴长的2倍 B．焦距为4
C．离心率为 D．渐近线方程为
【答案】BD
【解析】∵双曲线C：∴..∴∴.∴双曲线的实轴长是，虚轴长是，A错误；焦距为.B正确；离心率为，C错误：渐近线方程为，D正确.
故选：BD
10．已知圆：和圆：则（ ）
A．两圆相交 B．公共弦长为
C．两圆相离 D．公切线长
【答案】AB
【解析】圆的标准方程为：，圆心为（5，5）半径为
圆 的标准方程为：，圆心为（3，-1）半径为
所以两圆心的距离：，
两圆相交，选项A正确，选项C错误；
设两圆公共弦长为L，则有：
，选项B正确，选项D错误.
故选：AB
11．已知点，点是双曲线左支上的动点，是圆上的动点，则（ ）
A．的实轴长为6
B．的渐近线为
C．的最小值为
D．的最小值为
【答案】ACD
【解析】A：由双曲线方程知：，则的实轴长为6，正确；
B：由双曲线方程知：的渐近线为，错误；
C：双曲线、圆如下：为左焦点，当且仅当为x轴交点，为x轴右交点时，最小为，正确；
D：由为右焦点，，则，要使最小只需共线，此时，正确.
故选：ACD.
12．已知曲线分别为曲线的左右焦点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则曲线的两条渐近线所成的锐角为
B．若曲线的离心率，则
C．若，则曲线上不存在点，使得
D．若为上一个动点，则面积的最大值为
【答案】ABD
【解析】对于A选项，当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，渐近线方程为，故渐近线的倾斜角分别为，所以曲线的两条渐近线所成的锐角为，故A选项正确；
对于B选项，离心率，则曲线为焦点在轴上的双曲线，，故，所以，所以，故B选项正确；
对于C选项，若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，此时，设椭圆的短轴的一个顶点坐标为，则，故为钝角，所以线上存在点，使得，故C选项错误；
对于D选项，若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，此时，为上一个动点，则面积的最大值为，故D选项正确.
故选：ABD
三、填空题
13．双曲线的焦距为4，且其渐近线与圆相切，则双曲线的标准方程为______．
【答案】
【解析】因为双曲线的焦距为4，所以．
由双曲线的两条渐近线与圆相切，可得．
又，所以，，
所以双曲线的标准方程为．
故答案为：
14．与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程为_________.
【答案】
【解析】依题意，设双曲线方程为：，于是得，则有，
所以双曲线的标准方程为.
故答案为：
15．若坐标原点和点分别为双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的最小值为________.
【答案】
【解析】解：由题意得：
是已知双曲线的左焦点
，即
双曲线方程为
设点，则有，解得
，，
根据二次函数的单调性分析可知函数在上单调递增
当时，取得最小值，
故答案为：
16．已知为双曲线：（，）的右焦点，为坐标原点，点是以为直径的圆与双曲线的一个公共点.若点关于点的对称点也在双曲线上，则双曲线的渐近线的斜率为___________.
【答案】
【解析】因点是以为直径的圆与双曲线的一个公共点，则，
设点关于点的对称点为，双曲线的左焦点为，则，有，如图，
令，则，，，又，
在中，，即，
在中，，即
于是得，解得，即，
所以双曲线的渐近线的斜率为.
故答案为：
四、解答题
17．解答下列两个小题：
（1）双曲线：离心率为，且点在双曲线上，求的方程；
（2）双曲线实轴长为2，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程．
【解析】（1）由，得，即，
又，即，
双曲线的方程即为，点坐标代入得，解得．
所以，双曲线的方程为．
（2）椭圆的焦点为，
设双曲线的方程为，
所以，且，
所以，
所以，双曲线的方程为．
18．根据下列已知条件求曲线方程.
(1)求与双曲线共渐近线且过，点的双曲线方程；
(2)求与椭圆有相同离心率且经过点的椭圆方程.
【解析】(1)设与双曲线共渐近线的双曲线方程为：
点，在双曲线上，
所求双曲线方程为：，即.
(2)若焦点在轴上，设所求椭圆方程为，将点代入，得，
故所求方程为.
若焦点在轴上，设方程为代入点，得，
.
19．已知点、，为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴的上方交双曲线于点，且．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线过点（0，1）且与双曲线交于、两点，若、中点的横坐标为1，求直线的方程；
（3）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂直，垂足分别为、，求证：为定值．
【解析】（1）由双曲线的方程可得，
在直角三角形中，，，
可得，且，
解得，又，
所以，
则双曲线的方程为；
（2）由题意可得直线的斜率存在，设为，直线的方程为，
联立，可得，
，解得
设，的横坐标分别为，，则
由、中点的横坐标为1，可得，
解得或（舍去），
所以直线的方程为；
（3）证明：设，则，
由，解得，
由，解得，
所以
，
即．
20．已知双曲线的离心率为2，右顶点到一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于两点，且为坐标原点，点到直线的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
【解析】(1)
由题意，得双曲线的渐近线方程为，
右顶点为.又，
且，
所以，故.
又，解得，
所以双曲线的方程为.
(2)
设.
当直线和轴线平行时，，解得，
所以点到直线的距离为.
当直线和轴线不平行时，
设直线的方程为，
由得，
，
所以.
又，
所以，
得，
解得.
又点到直线的距离为，
则，故，
所以点到直线的距离为定值.
21．已知椭圆，双曲线，设椭圆与双曲线有相同的焦点，点，分别为椭圆与双曲线在第一、二象限的交点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与轴相交于点，过点作直线交椭圆于，两点（不同于，），求证：直线与直线的交点在一定直线上运动，并求出该直线的方程．
【解析】（1）因为椭圆与双曲线有相同的焦点，所以，
将点代入椭圆方程得，
联立两式解得，，，所以椭圆的标准方程为：．
（2）依题意，直线AB：，则点坐标为，直线与直线不重合，于是得直线的斜率不为0，
设直线的方程为，由得，
设，，，则，，
由，，共线得：，即：，
同理，由，，共线得：，
两式相减并整理得，，从而得，解得，
综上所述，直线与直线的交点在定直线上运动．
22．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【解析】（1）右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．∴C的方程为：；
（2）由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；总之，直线的斜率存在且不为零.设直线的斜率为,直线方程为,则条件①在上，等价于；两渐近线的方程合并为,联立消去y并化简整理得：设,线段中点为,则,设,则条件③等价于,移项并利用平方差公式整理得：，,即,即；由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,∴由,∴,所以直线的斜率,直线,即,代入双曲线的方程,即中，得：,解得的横坐标：,同理：，∴∴,∴条件②等价于，综上所述：条件①在上，等价于；条件②等价于；条件③等价于；选①②推③:由①②解得：,∴③成立；选①③推②：由①③解得：，，∴，∴②成立；选②③推①：由②③解得：，，∴，∴，∴①成立.3.2 双曲线
一、单选题
1．已知椭圆和双曲线有相同焦点，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．设是双曲线的右支上的点，则代数式的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆，双曲线为的焦点，为和的交点，若的内切圆的圆心的横坐标为2，和的离心率之积为，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知双曲线的左焦点为F，O为坐标原点，M，N两点分别在C的左、右两支上，若四边形OFMN为菱形，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．设双曲线与直线相交于两个不同的点A，B，则双曲线C的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆有公共焦点.则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．方程－＝12的化简结果为（ ）
A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1(x＞0) D．－＝1(x＞0)
二、多选题
9．已知双曲线C：，下列对双曲线C判断正确的是（ ）
A．实轴长是虚轴长的2倍 B．焦距为4
C．离心率为 D．渐近线方程为
10．已知圆：和圆：则（ ）
A．两圆相交 B．公共弦长为
C．两圆相离 D．公切线长
11．已知点，点是双曲线左支上的动点，是圆上的动点，则（ ）
A．的实轴长为6
B．的渐近线为
C．的最小值为
D．的最小值为
12．已知曲线分别为曲线的左右焦点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则曲线的两条渐近线所成的锐角为
B．若曲线的离心率，则
C．若，则曲线上不存在点，使得
D．若为上一个动点，则面积的最大值为
三、填空题
13．双曲线的焦距为4，且其渐近线与圆相切，则双曲线的标准方程为______．
14．与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程为_________.
15．若坐标原点和点分别为双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的最小值为________.
16．已知为双曲线：（，）的右焦点，为坐标原点，点是以为直径的圆与双曲线的一个公共点.若点关于点的对称点也在双曲线上，则双曲线的渐近线的斜率为___________.
四、解答题
17．解答下列两个小题：
（1）双曲线：离心率为，且点在双曲线上，求的方程；
（2）双曲线实轴长为2，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程．
18．根据下列已知条件求曲线方程.
(1)求与双曲线共渐近线且过，点的双曲线方程；
(2)求与椭圆有相同离心率且经过点的椭圆方程.
19．已知点、，为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴的上方交双曲线于点，且．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线过点（0，1）且与双曲线交于、两点，若、中点的横坐标为1，求直线的方程；
（3）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂直，垂足分别为、，求证：为定值．
20．已知双曲线的离心率为2，右顶点到一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于两点，且为坐标原点，点到直线的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
21．已知椭圆，双曲线，设椭圆与双曲线有相同的焦点，点，分别为椭圆与双曲线在第一、二象限的交点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与轴相交于点，过点作直线交椭圆于，两点（不同于，），求证：直线与直线的交点在一定直线上运动，并求出该直线的方程．
22．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
