3.1 椭圆
一、单选题
1．已知命题p：方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
2．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点、在轴上，椭圆的面积为，且离心率为，则的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
3．椭圆的左、右焦点分别为、，上存在两点、满足，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知是椭圆的右焦点，点在上，直线与轴交于点，点为C上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，椭圆的中心在坐标原点顶点分别是，焦点分别为，延长与交于点，若为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．在平面直角坐标系中，若△ABC的顶点和，顶点B在椭圆上，则的值是（ ）
A． B．2 C． D．4
7．已知点和，是椭圆上的动点，则最大值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆为C的左 右焦点，为C上一点，且的内心，若的面积为2b，则n的值为（ ）
A． B． C． D．3
二、多选题
9．（多选）设定点，，动点满足，则点的轨迹可能是（ ）
A．圆 B．线段 C．椭圆 D．直线
10．已知椭圆的左、右焦点分别是，，是椭圆上一点，若，则椭圆的离心率可以是（ ）
A． B． C． D．
11．某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，并且三点在同一直线上，地球半径约为千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为，则
A． B． C．D．
12．已知椭圆上有一点， 分别为其左右焦点，，的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则；B．若，则满足题意的点有个；
C．若是钝角三角形，则； D．椭圆的内接矩形的周长的最小值为.
三、填空题
13．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，⊥x轴，则的面积为_________．
14．已知椭圆的焦点为，，若椭圆C上存在一点P，使得，且△的面积等于4.则实数b的值为___________.
15．已知椭圆的一个顶点为，对于x轴上的点，椭圆E上存在点M，使得，则实数t的取值范围是____________.
16．已知椭圆的焦点，，长轴长为6，设直线交椭圆于，两点，则线段的中点坐标为________.
四、解答题
17．已知△ABC底边两端点、，若这个三角形另外两边所在直线的斜率之积为，求点A的轨迹方程．
18．已知圆C满足:圆心在直线x+y=0上，且过圆x2+y2-2x+10y-24=0与圆x2+y2+2x+2y-8=0的交点A，B.
（1）求弦AB所在直线的方程；
（2）求圆C的方程.
19．已知直线：，⊙的方程为．
(1)求证：与⊙相交；
(2)若与⊙的交点为、两点，求的面积最大值．（为坐标原点）
20．已知点P是椭圆上一动点，分别为椭圆的左焦点和右焦点，的最大值为，圆．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过圆O上任意一点Q作圆的的切线交椭圆C于点M，N，求证：以为直径的圆过点O．
21．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上，且有，.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过点的直线与椭圆交于两点，点，求证：.
22．已知椭圆，点 分别是其左 右焦点，点A B分别为其左 右顶点.若两焦点与短轴两端点围成四边形面积为，且圆为该四边形的内切圆.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若以（1）中较圆的椭圆为研究对象，过的直线交椭圆于两点，求面积的最大值.3.1 椭圆
一、单选题
1．已知命题p：方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若方程表示焦点在轴上的椭圆，
则，解得：．
所以成立的充要条件是：．
结合四个选项可知：成立的充分不必要条件是，
故选：B.
2．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点、在轴上，椭圆的面积为，且离心率为，则的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，椭圆的面积为，且、、均为正数，
即，解得，
因为椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为.故选：C.
3．椭圆的左、右焦点分别为、，上存在两点、满足，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】作点关于原点的对称点，连接、、、，
则为、的中点，故四边形为平行四边形，故且，则，
所以，，故、、三点共线，
由椭圆定义，，有，所以，则，
再由椭圆定义，有，
因为，所以，
在中，即，所以，离心率．
故选：A.
4．已知是椭圆的右焦点，点在上，直线与轴交于点，点为C上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可得，
∴，即椭圆，
∴，直线方程为，
∴，又，
设，则，，
∴
，又，
∴当时，有最小值为.
故选：C.
5．如图，椭圆的中心在坐标原点顶点分别是，焦点分别为，延长与交于点，若为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：由题意，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为，，，则，，
因为就是与的夹角，所以与的夹角为钝角，
所以，即，又，
所以，两边同时除以，得，即，
解得或，又，
所以，
所以椭圆离心率的取值范围为，
故选：D．
6．在平面直角坐标系中，若△ABC的顶点和，顶点B在椭圆上，则的值是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
【解析】由题设知：为椭圆的两个焦点，而B在椭圆上，
所以，，
由正弦定理边角关系知：.
故选：A
7．已知点和，是椭圆上的动点，则最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：椭圆，所以为椭圆右焦点，设左焦点为，
则由椭圆定义，
于是.
当不在直线与椭圆交点上时， 三点构成三角形，于是，
而当在直线与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有，
在第三象限交点时有.
显然当在直线与椭圆第三象限交点时有最大值，其最大值为
.
故选：A.
8．已知椭圆为C的左 右焦点，为C上一点，且的内心，若的面积为2b，则n的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【解析】由题意可得，的内心到x轴的距离就是内切圆的半径.又点P在椭圆C上，.又，，即，解得或（舍），.又，解得.
故选：C.
二、多选题
9．（多选）设定点，，动点满足，则点的轨迹可能是（ ）
A．圆 B．线段 C．椭圆 D．直线
【答案】BC
【解析】由题意知，定点，，可得，
因为，可得，
当且仅当，即时等号成立．
当时，可得的，此时点的轨迹是线段；
当时，可得，此时点的轨迹是椭圆．
故选：BC．
10．已知椭圆的左、右焦点分别是，，是椭圆上一点，若，则椭圆的离心率可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】由椭圆的定义，可得．
又，所以，．
①当点与，不共线时，在中，，
即，所以．
②当点与，共线时，分析知，，
所以，即，所以．
综上，椭圆的离心率的取值范围是，
故选：CD．
11．某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，并且三点在同一直线上，地球半径约为千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为，则
A． B． C．D．
【答案】ABD
【解析】因为地球的中心是椭圆的一个焦点，
并且根据图象可得 ，（*）
，故A正确；
，故B正确；
（*）两式相加，可得，故C不正确；
由（*）可得 ，两式相乘可得
，
，故D正确.
故选ABD
12．已知椭圆上有一点， 分别为其左右焦点，，的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则；B．若，则满足题意的点有个；
C．若是钝角三角形，则； D．椭圆的内接矩形的周长的最小值为.
【答案】ABC
【解析】由椭圆可得，则，
对于A，设，，则，由此可得，所以的面积为
所以，所以A正确，
对于B，因为，则，所以由椭圆的对称性可知满足题意的点有个，所以B正确，
对于C，因为是钝角三角形，所以中有一个角大于，当时，设，则，因为，所以解得，所以，所以是钝角三角形时，有，所以C正确，
对于D，令，，则椭圆内接矩形的周长为
（其中且满足），由得，所以椭圆内接矩形的周长的范围为，即，所以D错误，
故选：ABC
三、填空题
13．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，⊥x轴，则的面积为_________．
【答案】##
【解析】由题意不妨设﹣，0)，，0)，
∵P⊥x轴，∴P(，±)，
∵△P的面积＝|P|||＝2＝，
故答案为：．
14．已知椭圆的焦点为，，若椭圆C上存在一点P，使得，且△的面积等于4.则实数b的值为___________.
【答案】2
【解析】由题设，，且，可得，
又，则，
综上，，又，则.
故答案为：2
15．已知椭圆的一个顶点为，对于x轴上的点，椭圆E上存在点M，使得，则实数t的取值范围是____________.
【答案】
【解析】设，则,①
，，
由可得，即,②
由①②消去，整理得,
因为，所以,
因为，所以,
所以实数t的取值范围为.
故答案为：.
16．已知椭圆的焦点，，长轴长为6，设直线交椭圆于，两点，则线段的中点坐标为________.
【答案】
【解析】由已知条件得椭圆的焦点在轴上，其中，，从而，
∴其标准方程是：，
联立方程组，消去得，.
设、，线段的中点为，则，，
∴，即线段中点坐标为.
故答案为：
四、解答题
17．已知△ABC底边两端点、，若这个三角形另外两边所在直线的斜率之积为，求点A的轨迹方程．
【解析】设且，则，
整理得：A的轨迹方程.
18．已知圆C满足:圆心在直线x+y=0上，且过圆x2+y2-2x+10y-24=0与圆x2+y2+2x+2y-8=0的交点A，B.
（1）求弦AB所在直线的方程；
（2）求圆C的方程.
【解析】（1）由，得
故弦AB所在直线的方程为
（2）由，解得或
故
设圆心，由，解得，即
，故圆C的方程为
19．已知直线：，⊙的方程为．
(1)求证：与⊙相交；
(2)若与⊙的交点为、两点，求的面积最大值．（为坐标原点）
【解析】(1)
由直线：，得，
由可得，所以直线过定点，
由圆：可得，
可得圆心坐标，从而可得直线过圆心，则与⊙相交；
(2)
因为直线过圆的圆心，所以，
因为点在圆上，则到直线距离的最大值为，
所以的面积最大值为．
20．已知点P是椭圆上一动点，分别为椭圆的左焦点和右焦点，的最大值为，圆．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过圆O上任意一点Q作圆的的切线交椭圆C于点M，N，求证：以为直径的圆过点O．
【解析】(1)当点P在短轴端点处时，最大，而的最大值为，则有，，
所以所求椭圆的标准方程为；
(2)过点Q的圆O的切线斜率不存在时，切线方程为或，由椭圆及圆的对称性，不妨令切线为，
由(1)可得，，于是得，即，
过点Q的圆O的切线斜率存在时，设切线方程为，则有，即，
由消去y得：，
显然圆O在椭圆C内，则圆O的每一条切线都与椭圆C交于两点，设，，
，而，，
于是得
，
则有，
综上，过圆O上任意一点Q作圆的的切线交椭圆C于点M，N，都有，
所以，以为直径的圆过点O.
21．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上，且有，.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过点的直线与椭圆交于两点，点，求证：.
【解析】（1）在△中，，，
解得，所以，则椭圆的方程为：.
（2）当直线斜率为0时，易知成立，
当直线斜率不为0时，设直线方程为，
，消去有，
，
所以，
综上可知不论直线的斜率是否为0，总有.
22．已知椭圆，点 分别是其左 右焦点，点A B分别为其左 右顶点.若两焦点与短轴两端点围成四边形面积为，且圆为该四边形的内切圆.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若以（1）中较圆的椭圆为研究对象，过的直线交椭圆于两点，求面积的最大值.
【解析】（1）设半焦距为，则即，
又直线与圆相切，
∴，
故，
∴，故，
故，或，，
椭圆方程为或.
（2）较圆的椭圆为
根据题意，直线斜率不为0，设直线，
联立方程得，
令，则
易知单调递增，
所以当时，取最大值，此时.
