2023-2024学年人教A版数学选择性必修第二册同步检测 5.1.2导数的概念及其几何意义（解析版）

第5章5.1.2导数的概念及其几何意义
A组·基础自测
一、选择题
1．设 f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴斜交
2．函数y＝f(x)的图象在点P(5，f(5))处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f ′(5)＝( )
A. B．1
C．2 D．0
3．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么( )
A．f ′(x0)>0 B．f ′(x0)<0
C．f ′(x0)＝0 D．f ′(x0)不存在
4．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f ′(xA)与f ′(xB)的大小关系是( )
A．f ′(xA)>f ′(xB) B．f ′(xA)C．f ′(xA)＝f ′(xB) D．不能确定
5．如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则 ＝( )
A．0 B．－2
C．2 D．3
二、填空题
6．若f ′(2)＝3，则 ＝___.
7．已知曲线f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线的斜率为16，则点P的坐标为___.
8．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则实数a的值为___.
三、解答题
9．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(1,2)，求：
(1)曲线在点A处的切线的斜率；
(2)曲线在点A处的切线方程．
10．已知曲线y＝f(x)＝上两点P(2，－1)，Q.
(1)求曲线在点P，Q处的切线的斜率；
(2)求曲线在P，Q处的切线方程．
B组·素养提升
一、选择题
1．已知函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A．f(x)在a到b之间的平均变化率大于g(x)在a到b之间的平均变化率
B．f(x)在a到b之间的平均变化率小于g(x)在a到b之间的平均变化率
C．对于任意x0∈(a，b)，函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率
D．存在x0∈(a，b)，使得函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率
2．已知曲线y＝x2－2上一点P，则过点P的切线的倾斜角为( )
A．30°　　　　　　　 B．45°
C．135° D．165°
3．(多选题)已知函数y＝f(x)在自变量x0处的改变量为Δx，函数值的改变量为Δy，f(x)在x0处的导数值为f ′(x0)，下列等式中正确的是( )
A．f ′(x0)＝
B．f ′(x0)＝
C．f ′(x0)＝ [f(x0＋Δx)－f(x0)]
D．f ′(x0)＝
二、填空题
4．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f ′(x)，f ′(0)>0，且对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为___.
5．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为　 .
三、解答题
6．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．
C组·探索创新
过点(－1，－2)且与曲线y＝2x－x3相切的直线方程为_ __.
第5章5.1.2导数的概念及其几何意义
A组·基础自测
一、选择题
1．设 f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( B )
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴斜交
[解析]　由导数的几何意义知B正确，故应选B.
2．函数y＝f(x)的图象在点P(5，f(5))处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f ′(5)＝( C )
A. B．1
C．2 D．0
[解析]　∵y＝f(x)的图象在点P(5，f(5))处的切线方程为y＝－x＋8，可得y＝f(x)在点P(5，f(5))处的切点纵坐标和切线斜率分别为f(5)＝－5＋8＝3，f ′(5)＝－1，则f(5)＋f ′(5)＝2.
3．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么( B )
A．f ′(x0)>0 B．f ′(x0)<0
C．f ′(x0)＝0 D．f ′(x0)不存在
[解析]　由x＋2y－3＝0知斜率k＝－，
∴f ′(x0)＝－<0.
4．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f ′(xA)与f ′(xB)的大小关系是( B )
A．f ′(xA)>f ′(xB) B．f ′(xA)C．f ′(xA)＝f ′(xB) D．不能确定
[解析]　由图象易知，点A，B处的切线斜率kA，kB满足kA5．如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则 ＝( B )
A．0 B．－2
C．2 D．3
[解析]　函数f(x)＝
＝ ＝－2.
二、填空题
6．若f ′(2)＝3，则 ＝_3__.
[解析]　由导数的定义可知应为3.
7．已知曲线f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线的斜率为16，则点P的坐标为_(3,30)__.
[解析]　设点P(x0,2x＋4x0)，
则f ′(x0)＝
＝ ＝4x0＋4，
令4x0＋4＝16得x0＝3，∴点P的坐标为(3,30)．
8．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则实数a的值为_－7__.
[解析]　设点P(x0,2x＋a)．由导数的几何意义可得f ′(x0)＝ ＝ ＝4x0＝8，∴x0＝2，
∴P(2,8＋a)．将x＝2，y＝8＋a代入8x－y－15＝0，得a＝－7.
三、解答题
9．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(1,2)，求：
(1)曲线在点A处的切线的斜率；
(2)曲线在点A处的切线方程．
[解析]　(1)k＝f ′(1)＝
＝
＝
＝ (4＋2Δx)＝4，
∴曲线在点A处的切线的斜率为4.
(2)由(1)知曲线在点A处的切线的斜率是4，
∴切线方程是y－2＝4(x－1)，即y＝4x－2.
10．已知曲线y＝f(x)＝上两点P(2，－1)，Q.
(1)求曲线在点P，Q处的切线的斜率；
(2)求曲线在P，Q处的切线方程．
[解析]　将点P(2，－1)代入y＝，得t＝1，
所以y＝.
y′＝ ＝
＝
＝ ＝.
(1)曲线在点P处的切线斜率为y′|x＝2＝＝1；
曲线在点Q处的切线斜率为y′|x＝－1＝.
(2)曲线在点P处的切线方程为y－(－1)＝x－2，
即x－y－3＝0，
曲线在点Q处的切线方程为y－＝[x－(－1)]，
即x－4y＋3＝0.
B组·素养提升
一、选择题
1．已知函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上的图象如图所示，则下列说法正确的是( D )
A．f(x)在a到b之间的平均变化率大于g(x)在a到b之间的平均变化率
B．f(x)在a到b之间的平均变化率小于g(x)在a到b之间的平均变化率
C．对于任意x0∈(a，b)，函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率
D．存在x0∈(a，b)，使得函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率
[解析]　对于A、B，∵f(x)在a到b之间的平均变化率是，
g(x)在a到b之间的平均变化率是，
∴＝，即二者相等；
∴选项A、B错误；
对于C、D，∵函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)在x＝x0处的导数，
即函数f(x)在该点处的切线的斜率，
同理函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数g(x)在x＝x0处的导数，
即函数g(x)在x＝x0处的切线的斜率，
由图形知，选项C错误，D正确．
故选D.
2．已知曲线y＝x2－2上一点P，则过点P的切线的倾斜角为( B )
A．30°　　　　　　　 B．45°
C．135° D．165°
[解析]　∵y＝x2－2，
∴y′＝
＝
＝ ＝x.
∴y′|x＝1＝1.
∴过点P的切线的斜率为1，
则切线的倾斜角为45°.
3．(多选题)已知函数y＝f(x)在自变量x0处的改变量为Δx，函数值的改变量为Δy，f(x)在x0处的导数值为f ′(x0)，下列等式中正确的是( ABD )
A．f ′(x0)＝
B．f ′(x0)＝
C．f ′(x0)＝ [f(x0＋Δx)－f(x0)]
D．f ′(x0)＝
[解析]　根据导数的定义可知，A正确；对于B，若令x＝x0＋Δx，当x→x0时，Δx→0，则
＝＝f ′(x0)，B正确；
根据导数的定义f ′(x0)＝ ，所以，C错误；根据导数的定义可知，D正确．故选ABD.
二、填空题
4．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f ′(x)，f ′(0)>0，且对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为_2__.
[解析]　由导数的定义，得f ′(0)＝
＝ ＝ (a·Δx＋b)＝b.
又因为对于任意实数x，有f(x)≥0，
则所以ac≥，所以c>0.
所以＝≥≥＝2.
当且仅当a＝c＝时取等号．
5．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为 　.
[解析]　y′＝
＝ (2x＋2＋Δx)
＝2x＋2，
且切线倾斜角θ∈，
∴切线的斜率k满足0≤k≤1，即0≤2x＋2≤1，
∴－1≤x≤－.
三、解答题
6．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．
[解析]　∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x＋ax－9x0－1)
＝(3x＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，
∴＝3x＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2.
当Δx无限趋近于零时，无限趋近于3x＋2ax0－9.
即f′(x0)＝3x＋2ax0－9，
∴f′(x0)＝32－9－.
当x0＝－时，f′(x0)取最小值－9－.
∵斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，
∴该切线斜率为－12.
∴－9－＝－12.解得a＝±3.
又a<0，∴a＝－3.
C组·探索创新
过点(－1，－2)且与曲线y＝2x－x3相切的直线方程为_y＝2x或19x＋4y＋27＝0__.
[解析]　y ′＝ ＝
＝[2－3x2－3xΔx－(Δx)2]＝2－3x2.
设切点坐标为(x0,2x0－x)，则切线方程为y－2x0＋x＝(2－3x)(x－x0)．
又切线过点(－1，－2)，∴－2－2x0＋x＝(2－3x)(－1－x0)，
即2x＋3x＝0，解得x0＝0或x0＝－.
∴切点坐标为(0,0)或.
当切点坐标为(0,0)时，切线斜率k＝＝2，切线方程为y＝2x；
当切点坐标为时，切线斜率k＝＝－，切线方程为y＋2＝－(x＋1)，即19x＋4y＋27＝0.
综上可知，过点(－1，－2)且与曲线y＝2x－x3相切的直线方程为y＝2x或19x＋4y＋27＝0.