2023-2024学年人教A版数学选择性必修第二册同步检测 5.2.1基本初等函数的导数（解析版）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年人教A版数学选择性必修第二册同步检测 5.2.1基本初等函数的导数（解析版） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 188.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-13 22:10:48 | ||
图片预览
文档简介
第5章5.2.1基本初等函数的导数
A组·基础自测
一、选择题
1．下列结论不正确的是( )
A．若y＝0，则y′＝0
B．若y＝5x，则y′＝5
C．若y＝x－1，则y′＝－x－2
D．若，则
2．若y＝cos，则y′＝( )
A．－ B．－
C．0 D．
3．质点沿直线运动的路程和时间的关系是s＝，则质点在t＝4时的速度是( )
A. B．
C. D．
4．曲线f(x)＝在点P处的切线的倾斜角为π，则点P的坐标为( )
A．(1,1) B．(－1，－1)
C. D．(1,1)和(－1，－1)
5．设函数f(x)＝－x3＋3，则曲线y＝f(x)在点(3，－6)处的切线方程为( )
A．y＝9x＋21 B．y＝－9x＋19
C．y＝9x＋19 D．y＝－9x＋21
二、填空题
6．函数f(x)＝，则f ′(x)＝ ，f ′＝ .
7．曲线y＝cos x在x＝处的切线方程为 .
8．过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为___，切线的斜率为___.
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝；
(3)y＝(1－)＋；
10．已知点P在曲线y＝cos x上，直线l是以点P为切点的切线．
(1)求a的值；
(2)求过点P与直线l垂直的直线方程．
B组·素养提升
一、选择题
1．(多选题)下列各式正确的是( )
A.′＝cos B．(cos x)′＝－sin x
C．()′＝ D．(logax)′＝
2．(多选题)函数y＝在点P处的切线斜率为－4，则P的坐标为( )
A. B．
C. D．
3．正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( )
A.∪ B．[0，π)
C. D．∪
二、填空题
4．若曲线y＝ln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是 .
5．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝，f2(x)＝，…，fn＋1(x)＝，n∈N，则f2 023(x)等于 .
三、解答题
6．若曲线处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值．
C组·探索创新
点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
第5章5.2.1基本初等函数的导数
A组·基础自测
一、选择题
1．下列结论不正确的是( D )
A．若y＝0，则y′＝0
B．若y＝5x，则y′＝5
C．若y＝x－1，则y′＝－x－2
D．若，则
[解析] 当时，＝()′＝＝.D不正确．故应选D.
2．若y＝cos，则y′＝( C )
A．－ B．－
C．0 D．
[解析] 常数函数的导数为0.
3．质点沿直线运动的路程和时间的关系是s＝，则质点在t＝4时的速度是( B )
A. B．
C. D．
[解析]
4．曲线f(x)＝在点P处的切线的倾斜角为π，则点P的坐标为( D )
A．(1,1) B．(－1，－1)
C. D．(1,1)和(－1，－1)
[解析] 切线的斜率k＝tan π＝－1，
设切点P的坐标为(x0，y0)，则f ′(x0)＝－1.
又∵f ′(x)＝－，∴－＝－1，解得x0＝1或－1，
∴切点P的坐标为(1,1)或(－1，－1)．故选D.
5．设函数f(x)＝－x3＋3，则曲线y＝f(x)在点(3，－6)处的切线方程为( D )
A．y＝9x＋21 B．y＝－9x＋19
C．y＝9x＋19 D．y＝－9x＋21
[解析] 因为函数f(x)＝－x3＋3，所以f ′(x)＝－x2，所以f ′(3)＝－9，所以曲线y＝f(x)在点(3，－6)处的切线方程为y＋6＝－9(x－3)，即y＝－9x＋21，故选D.
二、填空题
6．函数f(x)＝，则f ′(x)＝ ，f ′＝ .
[解析] 因为f(x)＝，
所以f ′(x)＝.
＝×－2＝.
7．曲线y＝cos x在x＝处的切线方程为 x＋y－＝0 .
[解析] 因为cos＝0，即求曲线y＝cos x，在点处的切线方程，
y′＝－sin x，当x＝时，y′＝－1.
所以切线方程为y＝－1·，
即x＋y－＝0.
8．过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为_(1，e)__，切线的斜率为_e__.
[解析] 设切点的坐标为(x0，y0)．由y ′＝ex，得.过点(x0，y0)的曲线的切线方程为y－(x－x0)，此直线过原点，所以0－(0－x0)，解得x0＝1.所以切点的坐标为(1，e)，切线的斜率为e.
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝；
(3)y＝(1－)＋；
[解析]
(2)y ′＝′＝x－.
(3)y＝＋＝，
(4)y＝x3－1＋1＝x3，
∴y ′＝3x2.
10．已知点P在曲线y＝cos x上，直线l是以点P为切点的切线．
(1)求a的值；
(2)求过点P与直线l垂直的直线方程．
[解析] (1)因为P在曲线y＝cos x上，所以a＝cos＝.
(2)因为y′＝－sin x，
所以＝－sin＝－.
又因为所求直线与直线l垂直，
所以所求直线的斜率为－＝，
所以所求直线方程为y－＝，
即y＝x－＋.
B组·素养提升
一、选择题
1．(多选题)下列各式正确的是( BC )
A.′＝cos B．(cos x)′＝－sin x
C．()′＝ D．(logax)′＝
[解析] 对于A，′＝0，A错误，B显然正确；对于C，()′＝＝，C正确；对于D，(logax)′＝，D错误．故选BC.
2．(多选题)函数y＝在点P处的切线斜率为－4，则P的坐标为( AC )
A. B．
C. D．
[解析] ∵y＝，
∴y′＝－，
∵曲线y＝在点P的切线的斜率为－4，
∴－＝－4，
∴x＝±，
∴y＝±2.
即点P或，故选AC.
3．正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( A )
A.∪ B．[0，π)
C. D．∪
[解析] 因为y′＝cos x，而cos x∈[－1,1]．所以直线l的斜率的范围是[－1,1]，所以直线l倾斜角的范围是∪.
二、填空题
4．若曲线y＝ln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是 .
[解析] 由题意得y′＝，
直线2x－y＋1＝0的斜率为2.
设P(m，n)，
则＝2，解得m＝，n＝－ln 2，
所以点P的坐标为.
5．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝，f2(x)＝，…，fn＋1(x)＝，n∈N，则f2 023(x)等于 －cos x .
[解析] 因为f0(x)＝sin x，
所以4为最小正周期，
所以f2 023(x)＝f3(x)＝－cos x.
三、解答题
6．若曲线处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值．
[解析]
令y＝0得x＝3a.
∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝×3a×＝18，
∴a＝64.
C组·探索创新
点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
[解析] 如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近，则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，所以＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为.
A组·基础自测
一、选择题
1．下列结论不正确的是( )
A．若y＝0，则y′＝0
B．若y＝5x，则y′＝5
C．若y＝x－1，则y′＝－x－2
D．若，则
2．若y＝cos，则y′＝( )
A．－ B．－
C．0 D．
3．质点沿直线运动的路程和时间的关系是s＝，则质点在t＝4时的速度是( )
A. B．
C. D．
4．曲线f(x)＝在点P处的切线的倾斜角为π，则点P的坐标为( )
A．(1,1) B．(－1，－1)
C. D．(1,1)和(－1，－1)
5．设函数f(x)＝－x3＋3，则曲线y＝f(x)在点(3，－6)处的切线方程为( )
A．y＝9x＋21 B．y＝－9x＋19
C．y＝9x＋19 D．y＝－9x＋21
二、填空题
6．函数f(x)＝，则f ′(x)＝ ，f ′＝ .
7．曲线y＝cos x在x＝处的切线方程为 .
8．过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为___，切线的斜率为___.
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝；
(3)y＝(1－)＋；
10．已知点P在曲线y＝cos x上，直线l是以点P为切点的切线．
(1)求a的值；
(2)求过点P与直线l垂直的直线方程．
B组·素养提升
一、选择题
1．(多选题)下列各式正确的是( )
A.′＝cos B．(cos x)′＝－sin x
C．()′＝ D．(logax)′＝
2．(多选题)函数y＝在点P处的切线斜率为－4，则P的坐标为( )
A. B．
C. D．
3．正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( )
A.∪ B．[0，π)
C. D．∪
二、填空题
4．若曲线y＝ln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是 .
5．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝，f2(x)＝，…，fn＋1(x)＝，n∈N，则f2 023(x)等于 .
三、解答题
6．若曲线处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值．
C组·探索创新
点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
第5章5.2.1基本初等函数的导数
A组·基础自测
一、选择题
1．下列结论不正确的是( D )
A．若y＝0，则y′＝0
B．若y＝5x，则y′＝5
C．若y＝x－1，则y′＝－x－2
D．若，则
[解析] 当时，＝()′＝＝.D不正确．故应选D.
2．若y＝cos，则y′＝( C )
A．－ B．－
C．0 D．
[解析] 常数函数的导数为0.
3．质点沿直线运动的路程和时间的关系是s＝，则质点在t＝4时的速度是( B )
A. B．
C. D．
[解析]
4．曲线f(x)＝在点P处的切线的倾斜角为π，则点P的坐标为( D )
A．(1,1) B．(－1，－1)
C. D．(1,1)和(－1，－1)
[解析] 切线的斜率k＝tan π＝－1，
设切点P的坐标为(x0，y0)，则f ′(x0)＝－1.
又∵f ′(x)＝－，∴－＝－1，解得x0＝1或－1，
∴切点P的坐标为(1,1)或(－1，－1)．故选D.
5．设函数f(x)＝－x3＋3，则曲线y＝f(x)在点(3，－6)处的切线方程为( D )
A．y＝9x＋21 B．y＝－9x＋19
C．y＝9x＋19 D．y＝－9x＋21
[解析] 因为函数f(x)＝－x3＋3，所以f ′(x)＝－x2，所以f ′(3)＝－9，所以曲线y＝f(x)在点(3，－6)处的切线方程为y＋6＝－9(x－3)，即y＝－9x＋21，故选D.
二、填空题
6．函数f(x)＝，则f ′(x)＝ ，f ′＝ .
[解析] 因为f(x)＝，
所以f ′(x)＝.
＝×－2＝.
7．曲线y＝cos x在x＝处的切线方程为 x＋y－＝0 .
[解析] 因为cos＝0，即求曲线y＝cos x，在点处的切线方程，
y′＝－sin x，当x＝时，y′＝－1.
所以切线方程为y＝－1·，
即x＋y－＝0.
8．过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为_(1，e)__，切线的斜率为_e__.
[解析] 设切点的坐标为(x0，y0)．由y ′＝ex，得.过点(x0，y0)的曲线的切线方程为y－(x－x0)，此直线过原点，所以0－(0－x0)，解得x0＝1.所以切点的坐标为(1，e)，切线的斜率为e.
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝；
(3)y＝(1－)＋；
[解析]
(2)y ′＝′＝x－.
(3)y＝＋＝，
(4)y＝x3－1＋1＝x3，
∴y ′＝3x2.
10．已知点P在曲线y＝cos x上，直线l是以点P为切点的切线．
(1)求a的值；
(2)求过点P与直线l垂直的直线方程．
[解析] (1)因为P在曲线y＝cos x上，所以a＝cos＝.
(2)因为y′＝－sin x，
所以＝－sin＝－.
又因为所求直线与直线l垂直，
所以所求直线的斜率为－＝，
所以所求直线方程为y－＝，
即y＝x－＋.
B组·素养提升
一、选择题
1．(多选题)下列各式正确的是( BC )
A.′＝cos B．(cos x)′＝－sin x
C．()′＝ D．(logax)′＝
[解析] 对于A，′＝0，A错误，B显然正确；对于C，()′＝＝，C正确；对于D，(logax)′＝，D错误．故选BC.
2．(多选题)函数y＝在点P处的切线斜率为－4，则P的坐标为( AC )
A. B．
C. D．
[解析] ∵y＝，
∴y′＝－，
∵曲线y＝在点P的切线的斜率为－4，
∴－＝－4，
∴x＝±，
∴y＝±2.
即点P或，故选AC.
3．正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( A )
A.∪ B．[0，π)
C. D．∪
[解析] 因为y′＝cos x，而cos x∈[－1,1]．所以直线l的斜率的范围是[－1,1]，所以直线l倾斜角的范围是∪.
二、填空题
4．若曲线y＝ln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是 .
[解析] 由题意得y′＝，
直线2x－y＋1＝0的斜率为2.
设P(m，n)，
则＝2，解得m＝，n＝－ln 2，
所以点P的坐标为.
5．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝，f2(x)＝，…，fn＋1(x)＝，n∈N，则f2 023(x)等于 －cos x .
[解析] 因为f0(x)＝sin x，
所以4为最小正周期，
所以f2 023(x)＝f3(x)＝－cos x.
三、解答题
6．若曲线处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值．
[解析]
令y＝0得x＝3a.
∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝×3a×＝18，
∴a＝64.
C组·探索创新
点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
[解析] 如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近，则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，所以＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为.