2023-2024学年人教A版数学选择性必修第二册同步检测5.2.2+5.2.3简单复合函数的导数（解析版）

第5章5.2.2　5.2.3简单复合函数的导数
A组·基础自测
一、选择题
1．函数y＝(x－a)(x－b)在x＝a处的导数为( )
A．ab　　　　　　　　　 B．－a(a－b)
C．0 D．a－b
2．下列求导运算正确的是( )
A.′＝＋
B．(x2ex)′＝2xex
C．(3xcos 2x)′＝3x(ln 3·cos 2x－2sin 2x)
D.′＝2＋
3．已知f(x)＝x2－xf ′(0)－1，则f(2 023)的值为( )
A．2 020×2 022 B．2 021×2 022
C．2 021×2 023 D．2 022×2 024
4．函数y＝sin2x的图象在处的切线的斜率是( )
A. B．
C. D．
5．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( )
A．－1 B．0
C．2 D．4
二、填空题
6．已知f(x)＝x3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝___.
7．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝___.
8．若函数f(x)＝eax＋ln(x＋1), f ′(0)＝4，则a＝___.
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝xex；
(2)y＝；
(3)y＝sin4＋cos4；
(4)y＝＋ .
10．曲线y＝e2xcos 3x在(0,1)处的切线与直线l平行且与l的距离为，求l的方程．
B　组·素养提升
一、选择题
1．已知f(x)＝x2＋cos x，f ′(x)为f(x)的导函数，则f ′(x)的图象是( )
2．(多选题)下列曲线与直线y＝2x相切的有( )
A．曲线f(x)＝2ex－2
B．曲线f(x)＝2sin x
C．曲线f(x)＝3x＋
D．曲线f(x)＝x3－x－2
3．(多选题)已知函数f(x)＝x2＋f(0)·x－f ′(0)·cos x＋2，其导函数为f ′(x)，则( )
A．f(0)＝－1 B．f ′(0)＝1
C．f(0)＝1 D．f ′(0)＝－1
二、填空题
4．曲线y＝x(x＋1)(2－x)有两条平行于y＝x的切线，则两切线之间的距离为 　.
5．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f ′(x)＝ 　，f ′(x)>0的解集为___.
三、解答题
6．已知f(x)＝x3＋bx2＋cx(b，c∈R)，f′(1)＝0，x∈[－1,3]时，曲线y＝f(x)的切线斜率的最小值为－1，求b，c的值．
C组·探索创新
已知a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是f ′(x)，且f ′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，求切点的横坐标x0.
第5章5.2.2　5.2.3简单复合函数的导数
A组·基础自测
一、选择题
1．函数y＝(x－a)(x－b)在x＝a处的导数为( D )
A．ab　　　　　　　　　 B．－a(a－b)
C．0 D．a－b
[解析]　∵f(x)＝(x－a)(x－b)＝x2－(a＋b)x＋ab
∴f′(x)＝2x－(a＋b)，
∴f′(a)＝2a－(a＋b)＝a－b，故应选D.
2．下列求导运算正确的是( C )
A.′＝＋
B．(x2ex)′＝2xex
C．(3xcos 2x)′＝3x(ln 3·cos 2x－2sin 2x)
D.′＝2＋
[解析]　′＝(ln x)′＋′＝－，A错误；
(x2ex)′＝(x2)′ex＋x2(ex)′＝2xex＋x2ex，B错误；
(3xcos 2x)′＝(3x)′cos 2x＋3x(cos 2x)′＝3x·ln 3·cos 2x－2·3x·sin 2x＝3x(ln 3·cos 2x－2·sin 2x)，C正确；
′＝′＋(log2x)′＝0＋＝，D错误．
3．已知f(x)＝x2－xf ′(0)－1，则f(2 023)的值为( D )
A．2 020×2 022 B．2 021×2 022
C．2 021×2 023 D．2 022×2 024
[解析]　f ′(x)＝2x－f ′(0)，
则f ′(0)＝－f ′(0)，则f ′(0)＝0，
∴f(x)＝x2－1，
∴f(2 023)＝2 0232－1＝2 022×2 024.
故选D.
4．函数y＝sin2x的图象在处的切线的斜率是( D )
A. B．
C. D．
[解析]　y′＝2sin xcos x，当x＝时，y′＝，故函数在点A处的切线的斜率为.
5．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( B )
A．－1 B．0
C．2 D．4
[解析]　由已知得：3k＋2＝1，∴k＝－，又g(x)＝xf(x)，f′(3)＝－，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1＋3×＝0.
二、填空题
6．已知f(x)＝x3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝_1__.
[解析]　根据题意，f(x)＝x3＋3xf ′(0)，
则其导数f ′(x)＝x2＋3f ′(0)，
令x＝0可得： f ′(0)＝3f ′(0)，
解可得f ′(0)＝0，
则f ′(x)＝x2，
则有f ′(1)＝1.
故答案为1.
7．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝_2__.
[解析]　令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0,1)处的切线的斜率为f ′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2.因为f(x)＝eax，所以f ′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f ′(0)＝ae0＝a，故a＝2.
8．若函数f(x)＝eax＋ln(x＋1), f ′(0)＝4，则a＝_3__.
[解析]　由f(x)＝eax＋ln(x＋1)，
得f ′(x)＝aeax＋，
∵f ′(0)＝4，∴f ′(0)＝a＋1＝4，
∴a＝3.
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝xex；
(2)y＝；
(3)y＝sin4＋cos4；
(4)y＝＋ .
[解析]　(1)y′＝x′·ex＋x·(ex)′＝ex＋xex＝(1＋x)ex.
(2)y′＝′
＝
＝＝.
(3)∵y＝sin4＋cos4
＝2－2sin2cos2
＝1－sin2＝1－·＝＋cos x，
∴y′＝－sin x.
(4)∵y＝＋＝＋
＝＝－2，
∴y′＝′＝＝.
10．曲线y＝e2xcos 3x在(0,1)处的切线与直线l平行且与l的距离为，求l的方程．
[解析]　由题意知，
y′＝(e2x)′cos 3x＋e2x(cos 3x)′
＝2e2xcos 3x＋3(－sin 3x)·e2x
＝2e2xcos 3x－3e2x sin 3x，
∴曲线在(0,1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝0＝2.
∴该切线方程为y－1＝2x y＝2x＋1.
设l的方程为y＝2x＋m，
则d＝＝.
解得m＝－4或m＝6.
当m＝－4时，l的方程为y＝2x－4；
当m＝6时，l的方程为y＝2x＋6.
综上，可知l的方程为y＝2x－4或y＝2x＋6.
B　组·素养提升
一、选择题
1．已知f(x)＝x2＋cos x，f ′(x)为f(x)的导函数，则f ′(x)的图象是( A )
[解析]　函数f(x)＝x2＋cos x，
f ′(x)＝－sin x，f ′(－x)＝－sin(－x)＝－f ′(x)，
所以f ′(x)为奇函数，排除BD，
当x＝时，f ′＝－<0，排除C，故选A.
2．(多选题)下列曲线与直线y＝2x相切的有( ABD )
A．曲线f(x)＝2ex－2
B．曲线f(x)＝2sin x
C．曲线f(x)＝3x＋
D．曲线f(x)＝x3－x－2
[解析]　若f(x)＝2ex－2，则由f ′(x)＝2ex＝2，得x＝0，点(0,0)在直线y＝2x上，则直线y＝2x与曲线f(x)＝2ex－2相切；若f(x)＝2sin x，则由f ′(x)＝2cos x＝2，得x＝2kπ(k∈Z)，且f(2kπ)＝0，则直线y＝2x与曲线f(x)＝2sin x相切；若f(x)＝3x＋，则由f ′(x)＝3－＝2，得x＝±1，因为(1,4)，(－1，－4)都不在直线y＝2x上，所以直线y＝2x与曲线f(x)＝3x＋不相切；若f(x)＝x3－x－2，则由f ′(x)＝3x2－1＝2，得x＝±1，其中(－1，－2)在直线y＝2x上，所以直线y＝2x与曲线f(x)＝x3－x－2相切，故选ABD.
3．(多选题)已知函数f(x)＝x2＋f(0)·x－f ′(0)·cos x＋2，其导函数为f ′(x)，则( BC )
A．f(0)＝－1 B．f ′(0)＝1
C．f(0)＝1 D．f ′(0)＝－1
[解析]　∵f(x)＝x2＋f(0)·x－f ′(0)·cos x＋2，∴f(0)＝－f ′(0)＋2，∵f ′(x)＝2x＋f(0)＋f ′(0)sin x，∴f ′(0)＝f(0)，∴f ′(0)＝f(0)＝1.故选BC.
二、填空题
4．曲线y＝x(x＋1)(2－x)有两条平行于y＝x的切线，则两切线之间的距离为 　.
[解析]　y＝x(x＋1)(2－x)＝－x3＋x2＋2x，
y′＝－3x2＋2x＋2，令－3x2＋2x＋2＝1，
得x1＝1或x2＝－.
∴两个切点分别为(1,2)和.
切线方程为x－y＋1＝0和x－y－＝0.
∴d＝＝.
5．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f ′(x)＝ 2x－2－　，f ′(x)>0的解集为_{x|x>2}__.
[解析]　由f(x)＝x2－2x－4ln x，得函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x)＝2x－2－＝＝>0，解得x>2，故f ′(x)>0的解集为{x|x>2}．
三、解答题
6．已知f(x)＝x3＋bx2＋cx(b，c∈R)，f′(1)＝0，x∈[－1,3]时，曲线y＝f(x)的切线斜率的最小值为－1，求b，c的值．
[解析]　f′(x)＝x2＋2bx＋c＝(x＋b)2＋c－b2，
且f′(1)＝1＋2b＋c＝0.①
(1)若－b≤－1，
即b≥1，则f′(x)在[－1,3]上是增函数，
所以f′(x)min＝f′(－1)＝－1，
即1－2b＋c＝－1.②
由①②解得b＝，不满足b≥1，故舍去．
(2)若－1<－b<3，即－3则f′(x)min＝f′(－b)＝－1，
即b2－2b2＋c＝－1.③
由①③解得b＝－2，c＝3或b＝0，c＝－1.
(3)若－b≥3，即b≤－3，则f′(x)在[－1,3]上是减函数，
所以f′(x)min＝f′(3)＝－1，
即9＋6b＋c＝－1.④
由①④解得b＝－，不满足b≤－3，故舍去．
综上可知，b＝－2，c＝3或b＝0，c＝－1.
C组·探索创新
已知a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是f ′(x)，且f ′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，求切点的横坐标x0.
[解析]　易得f ′(x)＝ex－ae－x，x∈R.
因为f ′(x)为奇函数，
所以f ′(x)＋f ′(－x)＝0对任意x∈R恒成立，
即(1－a)(ex＋e－x)＝0对任意x∈R恒成立，所以a＝1，
所以f(x)＝ex＋e－x，f ′(x)＝ex－e－x.
由题可得＝，令＝t(t>0)，则t－＝，
解得t＝2或t＝－(舍去)，
所以＝2，所以x0＝ln 2.