【高效备课】人教版八(上) 12.3 角的平分线的性质 第1课时 角平分线的作法及性质 课件

(共29张PPT)
12.3 角的平分线的性质
第1课时 角平分线的作法及性质
R·八年级上册
右图是一个平分角的仪器，其中AB =AD，BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分线．你能说明它的道理吗？
A
B
D
C
新课导入
E
学习目标：
1．学会角平分线的画法.
2．探究并认知角平分线的性质.
3．熟练地运用角平分线的性质解决实际问题.
推进新课
证明：在△ACD和△ACB中，
AD = AB（已知），
DC = BC（已知），
CA = CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）．
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 对应角相等）.
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）.
A
D
B
C
E
从利用平分角的仪器画角的平分线的过程中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？
用尺规作角的平分线
知识点1
利用尺规作角的平分线的具体方法:
A
B
O
M
N
C
　 1．以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
3．画射线OC．
射线OC即为所求．
　 2．分别以点M，N为圆心．大于　 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．
　你能说明为什么射线OC 是∠AOB 的平分线吗？
A
B
O
M
N
C
练分平角∠AOB，通过作角平分线得到射线OC，然后反向延长OC 得到直线CD，直线CD 与直线AB 存在什么样的位置关系？
互相垂直.
练习2 给一张三角形纸片，你能不借助任何工具找到某一个角的平分线吗？
能，将这个三角形沿过一个顶点的线折叠，使在该顶点的角的两边重合，则这条线就是这个角的平分线.
角的平分线的性质
知识点2
利用尺规我们可以作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC 上任取一点P，过点P 画出OA，OB 的垂线，分别记垂足为D，E，测量 PD，PE 并作比较，你得到什么结论？
探究
在OC 上再取几个点试一试．
通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？
观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论：____________.
PD PE
第一次
第二次
第三次
PD = PE
已知：∠AOC = ∠BOC，点 P 在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为D，E．
求证：PD =PE．
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
题设：
一个点在一个角的平分线上．
结论：它到角的两边的距离相等．
证明: ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO = ∠PEO ，
∠AOC = ∠BOC ，
OP = OP ，
∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）.
∴PD = PE .
∵OC是∠AOB的平分线，
PD⊥OA，PE⊥OB ，
∴PD=PE．
几何语言：
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
　　由角的平分线的性质的证明过程，你能概
括出证明几何命题的一般步骤吗？
（1）明确命题中的已知和求证；
（2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．
　　角的平分线的性质的作用是什么？
主要是用于判断和证明两条线段是否相等，与以前的方法相比，运用此性质不需要先证两个三角形全等．
A
B
O
P
C
D
E
练习1　下列结论一定成立的是 ．
（1）如图，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，D，E 分别为OA，OB 上的点，则PD =PE．
A
B
O
P
C
D
E
练习1　下列结论一定成立的是 ．
（2）如图，点P 在OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD =PE．
练习1　下列结论一定成立的是 ．
（3）如图，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，PD⊥OA，垂足为D．若PD =3，则点P 到OB 的距离为3．
A
B
O
P
C
D
（3）
　　在此题的已知条件下，
你还能得到哪些结论？
练习2　如图，△ABC中，BD = CD，AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB =FC．
A
B
C
D
E
F
证明：∵AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE = DF.
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）.
∴EB = FC.
A
B
C
D
E
F
随堂演练
1.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D．下列结论中错误的是（ ）
A.PC = PD
B.OC = OD
C.∠CPO =∠DPO
D.OC = PO
基础巩固
D
2.如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等.
【课本P50 练习 第1题】
2.如图，在△ABC中，AB = AC，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，则下列四个结论：
综合应用
①AD 上任意一点到点C、点B的距离相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD = CD，AD⊥BC；④∠BDE =∠CDF．其中，正确的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
D
3.如图，点D、B分别在∠MAN的两边上，C是∠MAN内一点，AB =AD，BC = CD，CE⊥AM于E，CF⊥AN于F. 求证：CE = CF.
拓展延伸
证明：在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC(SSS).
∴∠DAC =∠BAC.
∴AC平分∠MAN.
∵CE⊥AM，CF⊥AN，
∴CE = CF.
课堂小结
A
B
O
M
N
C
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业