【高效备课】人教版八(上) 13.1 轴对称 13.1.2 线段的垂直平分线的性质 课件
文档属性
| 名称 | 【高效备课】人教版八(上) 13.1 轴对称 13.1.2 线段的垂直平分线的性质 课件 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 301.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-13 17:35:39 | ||
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文档简介
(共33张PPT)
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
R·八年级上册
新课导入
导入课题
前面我们已经学习了轴对称图形和两个图形成轴对称的意义和性质，这节课我们一起运用轴对称来探索线段垂直平分线的性质和判定.
学习目标
（1）能叙述出线段垂直平分线的性质.
（2）能运用线段垂直平分线的性质解决有关问题.
（3）能说出线段垂直平分线的判定方法.
推进新课
知识点1
探索并证明线段垂直平分线的性质
探究
如图，直线 l 垂直平分线段 AB，P1，P2，P3，…是 l 上的点，分别量一量点 P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离，你有什么发现？
A
B
l
P1
P2
P3
你能用不同的方法验证这一结论吗？
相等.
请在图中的直线l 上任取一点，那么这一点与线段AB 两个端点的距离相等吗？
探究
线段垂直平分线上的点与这条
线段两个端点的距离相等.
A
B
l
P1
P2
P3
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上.
求证：PA =PB．
证明：“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.”
A
B
P
C
l
证明：∵ l⊥AB，
∴ ∠PCA =∠PCB．
又 AC =CB，PC =PC，
∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
∴ PA =PB．
A
B
P
C
l
线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上呢？
点P 在线段AB 的垂直平分线上．
已知：如图，在△ABP中，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平
分线上．
P
A
B
C
P
A
B
C
证明：过点P 作线段AB 的垂线PC，
垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
∵ PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．
∴ AC =BC．
又 PC⊥AB，
∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
用数学符号表示为：
∵ PA =PB，
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
P
A
B
C
解：∵ AB =AC，
∴ 点A 在BC 的垂直平分线上．
∵ MB =MC，
∵ 点M 在BC 的垂直平分线上，
∴ 直线AM 是线段BC 的垂直
平分线．
练习1 如图，AB =AC，MB =MC．直线AM 是线段BC 的垂直平分线吗？
A
B
C
D
M
巩固练习
【课本P62 练习 第2题】
练习2 如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线交BC 于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的周长等于______．
8
A
B
C
D
E
练习3 到三角形三个顶点的距离相等的点是（ ）
A.三条角平分线的交点
B.三边垂直平分线的交点
C.三边高线的交点
D.没有这样的点
B
知识点2
例1 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
已知：直线AB和AB外一点C（如图）.
求作：AB的垂线，使它经过点C.
经过已知直线外一点作这条直线的垂线
A
B
C
作法：（1）任意取一点K ，使点K和点C 在AB 的两旁.
（3）分别以点D和点E为圆心，大
于 DE的长为半径作弧，两弧
相交于点F .
（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E .
（4）作直线CF.
直线CF 就是所求作的垂线.
C
A
B
D
E
F
K
解：∵ AD⊥BC，BD =DC，
∴ AD 是BC 的垂直平分线，
∴ AB =AC．
练习4 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？
A
B
C
D
E
巩固练习
【课本P62 练习 第1题】
A
B
C
D
E
∴ AB =AC =CE．
∵ AB =CE，BD =DC，
∴ AB +BD =CD +CE．
即 AB +BD =DE ．
∵ 点C 在AE 的垂直平
分线上，
∴ AC =CE．
知识点3
作线段的垂直平分线
例2 如图，点A 和点B 关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
A
B
怎样作线段AB 的垂直平分线呢？
这种作法的依据是什么？
这种作图方法还有哪些作用？
确定线段的中点．
作法：如图．
（1）分别以点A，B 为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D 两点；
（2）作直线CD．
CD 就是所求作的直线．
A
B
C
D
如果两个图形成轴对称，怎样作出图形的对称轴？
如果两个图形成轴对称，其对称轴是任何一组对应点所连线段的垂直平分线．因此，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．
如图中的五角星，请作出它的一条对称轴.
你能作出这个五角星的其他对称轴吗？它共有几条对称轴？
五角星的对称轴有什么特点？
巩固练习
练习5 作出下列图形的一条对称轴，和同桌比较一下，你们作出的对称轴一样吗？
练习6 如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
练习7 如图，与图形A 成轴对称的是哪个图形？画出它们的对称轴．
A
B
C
D
随堂演练
基础巩固
1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，M是直线CD上的一点.已知线段MA=12cm，则线段MB的长为_____cm.
12
2. 在△ABC中，AB的中垂线与AC边所在直线相交所得的锐角为50°，则∠A的度数为（ ）
A.50° B.40°
C.40°或140° D.40°或50°
C
3.画出下列图形的对称轴（有几条对称轴就画出几条，不要遗漏）.
综合应用
4.如图，将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在点C′处BC′交AD于E；
（1）若∠DBC=22.5°，则在不添加辅助线的情况下，图中45°的角（虚线也视为角的边）有多少个？
（2）你认为图中有多少组全等三角形，并把他们写下来.
解：（1）5个.
（2）4组，
△BCD≌△BC′D，△ABE≌△C′DB，△ABD≌△CDB，△ABD≌△C′DB.
拓展延伸
5.电信部门要修建一座电视信号发射塔，如图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置.
解：如图所示，两条高速公路相交的角的角平分线和AB的垂直平分线的交点P1与P2点.
课堂小结
线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
R·八年级上册
新课导入
导入课题
前面我们已经学习了轴对称图形和两个图形成轴对称的意义和性质，这节课我们一起运用轴对称来探索线段垂直平分线的性质和判定.
学习目标
（1）能叙述出线段垂直平分线的性质.
（2）能运用线段垂直平分线的性质解决有关问题.
（3）能说出线段垂直平分线的判定方法.
推进新课
知识点1
探索并证明线段垂直平分线的性质
探究
如图，直线 l 垂直平分线段 AB，P1，P2，P3，…是 l 上的点，分别量一量点 P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离，你有什么发现？
A
B
l
P1
P2
P3
你能用不同的方法验证这一结论吗？
相等.
请在图中的直线l 上任取一点，那么这一点与线段AB 两个端点的距离相等吗？
探究
线段垂直平分线上的点与这条
线段两个端点的距离相等.
A
B
l
P1
P2
P3
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上.
求证：PA =PB．
证明：“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.”
A
B
P
C
l
证明：∵ l⊥AB，
∴ ∠PCA =∠PCB．
又 AC =CB，PC =PC，
∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
∴ PA =PB．
A
B
P
C
l
线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上呢？
点P 在线段AB 的垂直平分线上．
已知：如图，在△ABP中，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平
分线上．
P
A
B
C
P
A
B
C
证明：过点P 作线段AB 的垂线PC，
垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
∵ PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．
∴ AC =BC．
又 PC⊥AB，
∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
用数学符号表示为：
∵ PA =PB，
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
P
A
B
C
解：∵ AB =AC，
∴ 点A 在BC 的垂直平分线上．
∵ MB =MC，
∵ 点M 在BC 的垂直平分线上，
∴ 直线AM 是线段BC 的垂直
平分线．
练习1 如图，AB =AC，MB =MC．直线AM 是线段BC 的垂直平分线吗？
A
B
C
D
M
巩固练习
【课本P62 练习 第2题】
练习2 如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线交BC 于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的周长等于______．
8
A
B
C
D
E
练习3 到三角形三个顶点的距离相等的点是（ ）
A.三条角平分线的交点
B.三边垂直平分线的交点
C.三边高线的交点
D.没有这样的点
B
知识点2
例1 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
已知：直线AB和AB外一点C（如图）.
求作：AB的垂线，使它经过点C.
经过已知直线外一点作这条直线的垂线
A
B
C
作法：（1）任意取一点K ，使点K和点C 在AB 的两旁.
（3）分别以点D和点E为圆心，大
于 DE的长为半径作弧，两弧
相交于点F .
（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E .
（4）作直线CF.
直线CF 就是所求作的垂线.
C
A
B
D
E
F
K
解：∵ AD⊥BC，BD =DC，
∴ AD 是BC 的垂直平分线，
∴ AB =AC．
练习4 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？
A
B
C
D
E
巩固练习
【课本P62 练习 第1题】
A
B
C
D
E
∴ AB =AC =CE．
∵ AB =CE，BD =DC，
∴ AB +BD =CD +CE．
即 AB +BD =DE ．
∵ 点C 在AE 的垂直平
分线上，
∴ AC =CE．
知识点3
作线段的垂直平分线
例2 如图，点A 和点B 关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
A
B
怎样作线段AB 的垂直平分线呢？
这种作法的依据是什么？
这种作图方法还有哪些作用？
确定线段的中点．
作法：如图．
（1）分别以点A，B 为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D 两点；
（2）作直线CD．
CD 就是所求作的直线．
A
B
C
D
如果两个图形成轴对称，怎样作出图形的对称轴？
如果两个图形成轴对称，其对称轴是任何一组对应点所连线段的垂直平分线．因此，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．
如图中的五角星，请作出它的一条对称轴.
你能作出这个五角星的其他对称轴吗？它共有几条对称轴？
五角星的对称轴有什么特点？
巩固练习
练习5 作出下列图形的一条对称轴，和同桌比较一下，你们作出的对称轴一样吗？
练习6 如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
练习7 如图，与图形A 成轴对称的是哪个图形？画出它们的对称轴．
A
B
C
D
随堂演练
基础巩固
1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，M是直线CD上的一点.已知线段MA=12cm，则线段MB的长为_____cm.
12
2. 在△ABC中，AB的中垂线与AC边所在直线相交所得的锐角为50°，则∠A的度数为（ ）
A.50° B.40°
C.40°或140° D.40°或50°
C
3.画出下列图形的对称轴（有几条对称轴就画出几条，不要遗漏）.
综合应用
4.如图，将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在点C′处BC′交AD于E；
（1）若∠DBC=22.5°，则在不添加辅助线的情况下，图中45°的角（虚线也视为角的边）有多少个？
（2）你认为图中有多少组全等三角形，并把他们写下来.
解：（1）5个.
（2）4组，
△BCD≌△BC′D，△ABE≌△C′DB，△ABD≌△CDB，△ABD≌△C′DB.
拓展延伸
5.电信部门要修建一座电视信号发射塔，如图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置.
解：如图所示，两条高速公路相交的角的角平分线和AB的垂直平分线的交点P1与P2点.
课堂小结
线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。