【高效备课】人教版八(上) 12.3 角的平分线的性质 第2课时 角平分线的判定 课件
文档属性
| 名称 | 【高效备课】人教版八(上) 12.3 角的平分线的性质 第2课时 角平分线的判定 课件 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-13 17:35:39 | ||
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文档简介
(共26张PPT)
12.3 角的平分线的性质
第2课时 角平分线的判定
R·八年级上册
新课导入
我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，反过来，到角的两边的距离相等的点是否在这个角的平分线上呢？这节课我们来对这个问题进行探究.
学习目标：
1．能说出角平分线的性质的逆定理，并能给
予证明.
2．能够熟练地运用角平分线的性质的逆定理
解决一些相关的数学问题.
推进新课
如图，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路的交叉处500 m. 这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？
思考
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
交换角的平分线的性质中的已知和结论，
你能得到什么结论，这个新结论正确吗？
角平分线的性质定理的逆定理的证明
知识点1
∵PD⊥OA，PE⊥OB， PD = PE，
∴点 P 在∠AOB的平分线上（OP 平分 ∠AOB）．
几何语言：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
你能证明这个结论的正确性吗？
这个结论可以用来判定角的平分线，而角的平分线的性质可用来证明线段相等．
这个结论与角的平分线的性质在应用上有
什么不同？
角相等
角平分线的性质定理和它的逆定理，揭示了“角相等”和“线段相等”之间的一种特殊关系.
角平分线性质
角平分线性质定理的逆定理
线段相等
这为今后我们证明角相等，线段相等提供了一种解题思路.
角平分线的性质定理的逆定理的应用
知识点2
例 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P．求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等．
证明：过P 点作 PD，PE，PF分别垂直于 AB，BC，CA，垂足分别为 D，E，F.
∵BM 是△ABC的角平分线，点P 在BM 上，
∴PD = PE .
同理 PE = PF .
∴ PD = PE = PF .
即点P 到三边AB，BC，CA 的距离相等．
E
D
F
练习1 判断题：
（1）如图，若QM =QN，则OQ 平分∠AOB；
（ ）
×
A
B
O
Q
M
N
判断题：
（2）如图，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，则OQ是∠AOB 的平分线； （ ）
×
A
B
O
Q
M
N
判断题：
（3）已知：Q 到OA 的距离等于2 cm， 且Q 到OB 距离等于2 cm，则Q 在∠AOB 的平分线上．
（ ）
√
A
B
O
Q
M
N
如图，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路的交叉处500 m. 这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？
图上距离
500m
1
20000
=
解：∵
∴图上距离 = 0.025m = 2.5cm.
P
如图所示：P点即为所求 ;
理由：P点在这个交叉口的角平分线上，所以P点到公路与铁路的距离相等.
作其中任意两角的平分线，交点即为所要找的点.
练习2 要在三角形的内部找到一点，使这一点到三角形的三边的距离都相等，这个点应如何确定？
练习3 如图，△ABC 的∠ABC 的外角的平分线 BD 与∠ACB 的外角的平分线 CE 相交于点 P . 求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 所在直线的距离相等.
【课本P50 练习 第2题】
证明：过P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，PQ⊥AB于Q.
∵CE为∠MCN的平分线，∴PM = PN，
同理PN = PQ，∴点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
Q
N
M
随堂演练
1. 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A.1处 B.2处
C.3处 D.4处
基础巩固
D
2.如图，点P是△ABC的外角∠CBE和外角∠BCF的平分线的交点，求证：AP平分∠BAC.
综合应用
证明：作PQ⊥BC，PM⊥AE，PN⊥AF，垂足分别为Q，M，N.
∵P点在∠CBE和∠BCF的平分线上，∴PM = PQ，PN = PQ，∴PM = PN.
N
Q
M
又PM⊥AE，PN⊥AF， ∴ AP平分∠BAC.
3.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．连接EF，EF与AD交于G，AD 垂直平分EF吗？证明你的结论．
拓展延伸
解：AD垂直平分EF .证明如下：
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠1=∠2，∠AED =∠AFD =90°，DE = DF.
∴△AED≌△AFD（AAS）.
∴AE = AF，在△AEG和△AFG中，
∴△AEG≌△AFG（SAS）.
∴∠AGE =∠AGF=90°，EG = FG.
∴AD⊥EF.
∴AD垂直平分EF.
课堂小结
角相等
角平分线性质
角平分线性质定理的逆定理
线段相等
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业
12.3 角的平分线的性质
第2课时 角平分线的判定
R·八年级上册
新课导入
我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，反过来，到角的两边的距离相等的点是否在这个角的平分线上呢？这节课我们来对这个问题进行探究.
学习目标：
1．能说出角平分线的性质的逆定理，并能给
予证明.
2．能够熟练地运用角平分线的性质的逆定理
解决一些相关的数学问题.
推进新课
如图，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路的交叉处500 m. 这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？
思考
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
交换角的平分线的性质中的已知和结论，
你能得到什么结论，这个新结论正确吗？
角平分线的性质定理的逆定理的证明
知识点1
∵PD⊥OA，PE⊥OB， PD = PE，
∴点 P 在∠AOB的平分线上（OP 平分 ∠AOB）．
几何语言：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
你能证明这个结论的正确性吗？
这个结论可以用来判定角的平分线，而角的平分线的性质可用来证明线段相等．
这个结论与角的平分线的性质在应用上有
什么不同？
角相等
角平分线的性质定理和它的逆定理，揭示了“角相等”和“线段相等”之间的一种特殊关系.
角平分线性质
角平分线性质定理的逆定理
线段相等
这为今后我们证明角相等，线段相等提供了一种解题思路.
角平分线的性质定理的逆定理的应用
知识点2
例 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P．求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等．
证明：过P 点作 PD，PE，PF分别垂直于 AB，BC，CA，垂足分别为 D，E，F.
∵BM 是△ABC的角平分线，点P 在BM 上，
∴PD = PE .
同理 PE = PF .
∴ PD = PE = PF .
即点P 到三边AB，BC，CA 的距离相等．
E
D
F
练习1 判断题：
（1）如图，若QM =QN，则OQ 平分∠AOB；
（ ）
×
A
B
O
Q
M
N
判断题：
（2）如图，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，则OQ是∠AOB 的平分线； （ ）
×
A
B
O
Q
M
N
判断题：
（3）已知：Q 到OA 的距离等于2 cm， 且Q 到OB 距离等于2 cm，则Q 在∠AOB 的平分线上．
（ ）
√
A
B
O
Q
M
N
如图，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路的交叉处500 m. 这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？
图上距离
500m
1
20000
=
解：∵
∴图上距离 = 0.025m = 2.5cm.
P
如图所示：P点即为所求 ;
理由：P点在这个交叉口的角平分线上，所以P点到公路与铁路的距离相等.
作其中任意两角的平分线，交点即为所要找的点.
练习2 要在三角形的内部找到一点，使这一点到三角形的三边的距离都相等，这个点应如何确定？
练习3 如图，△ABC 的∠ABC 的外角的平分线 BD 与∠ACB 的外角的平分线 CE 相交于点 P . 求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 所在直线的距离相等.
【课本P50 练习 第2题】
证明：过P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，PQ⊥AB于Q.
∵CE为∠MCN的平分线，∴PM = PN，
同理PN = PQ，∴点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
Q
N
M
随堂演练
1. 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A.1处 B.2处
C.3处 D.4处
基础巩固
D
2.如图，点P是△ABC的外角∠CBE和外角∠BCF的平分线的交点，求证：AP平分∠BAC.
综合应用
证明：作PQ⊥BC，PM⊥AE，PN⊥AF，垂足分别为Q，M，N.
∵P点在∠CBE和∠BCF的平分线上，∴PM = PQ，PN = PQ，∴PM = PN.
N
Q
M
又PM⊥AE，PN⊥AF， ∴ AP平分∠BAC.
3.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．连接EF，EF与AD交于G，AD 垂直平分EF吗？证明你的结论．
拓展延伸
解：AD垂直平分EF .证明如下：
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠1=∠2，∠AED =∠AFD =90°，DE = DF.
∴△AED≌△AFD（AAS）.
∴AE = AF，在△AEG和△AFG中，
∴△AEG≌△AFG（SAS）.
∴∠AGE =∠AGF=90°，EG = FG.
∴AD⊥EF.
∴AD垂直平分EF.
课堂小结
角相等
角平分线性质
角平分线性质定理的逆定理
线段相等
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业