【高效备课】人教版八(上) 13.3 等腰三角形 13.3.2 等边三角形 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 课件
文档属性
| 名称 | 【高效备课】人教版八(上) 13.3 等腰三角形 13.3.2 等边三角形 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 课件 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 275.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-13 17:35:39 | ||
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文档简介
(共22张PPT)
第2课时 含30°角的直角三角形的性质
R·八年级上册
新课导入
导入课题
将两个大小相同的含30°角的三角尺摆放在一起（较长直角边靠在一起且直角顶点重合），可拼成一个什么样的三角形？你能借助拼图找到直角尺的较短直角边与斜边之间的数量关系吗？
本节课我们再次学习与直角三角形相关的一个性质.
学习目标
（1）运用等边三角形能推导出30°角的直角三角形的性质.
（2）能运用30°角的直角三角形的性质解决相关问题.
推进新课
知识点1
直角三角形的性质
探究
将两个全等的含30°角的直角三角尺摆放在一起.你能借助这个图形，找到Rt △ABC 的直角边BC 与斜边AB 之间的数量关系吗？
思考 这个命题是真命题吗？请进行证明．
问题 请说一说你猜想的命题中，条件和结论分别是什么？并结合图形，用符号语言表述出来.
猜想 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
B
C
D
证明：在△ABC 中，
∵ ∠C =90°，∠A =30°，
∴ ∠B =60°．
延长BC 到D，使BD =AB，连接AD，
则△ABD 是等边三角形．
已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，
∠A =30°. 求证：BC = AB．
A
B
C
D
∴ BC = BD = AB ．
由等边三角形的性质可知，
AC 也是BD 边上的中线，
你还能用其他方法证明吗？
另证：作∠BCE =60°，交AB于E，连接CE，
则∠ACE =90°-60°=30°．
在△ABC 中，
∵ ∠ACB=90°，∠A =30°，
∴ ∠B =60°．
在△BCE 中，
∵ ∠BCE=60°，∠B =60°，
∴ △BCE 是等边三角形．
∴ BC =BE =CE．
E
A
B
C
在△ACE 中，
∵ ∠A=30°，∠ACE =30°，
∴ △AEC是等腰三角形．
∴ CE =AE．
∴ BC =BE =CE =AE．
E
A
B
C
∴ BC =BE =AE = AB．
符号语言：
∵ 在Rt△ABC 中，
∠C =90°，∠A =30°，
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
B
C
∴ BC = AB．
巩固练习
练习1 如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A = 30°，AB =10，则BC 的长为 ．
A
B
C
5
练习2 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°，AB =4．则BD = .
1
A
B
C
D
知识点2
直角三角形性质的运用
例 如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC、DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 要多长.
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A =30°，
∴ BC = AB，DE = AD．
又 AD = AB，
∴ DE = AD =1.85（m） ．
∴ BC =3.7（m）．
答：立柱BC 的长是3.7 m，DE 的长是1.85 m．
巩固练习
练习3 Rt△ABC 中，∠C =90°，∠B =2∠A，∠B 和∠A 各是多少度？边AB 与BC 之间有什么关系？
证明：∵∠B+∠A=180°- ∠C=90°，
∠B=2∠A，
∴∠B=60°，∠A=30°.
∴ AB=2BC.
【课本P81 练习】
随堂演练
基础巩固
1. Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（ ）
A.2cm B.4 cm C.8 cm D.16cm
2.等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2，则等腰三角形的顶角为（ ）
A.30° B.60° C.150° D.30°或150°
C
D
3. 在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分线．求证：DC = 2AD.
证明：∵∠A = 90°，∠ABC = 2∠C,
∴∠C = 30°，∠ABC = 60°.
又BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC =30°.
∴∠DBC=∠C，∴BD=DC.
在Rt△ABD中，∵∠ABD = 30°，
∴AD= BD = DC，即DC = 2AD.
综合应用
4.如图所示， 在△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BD至E，使DE = BD，DB⊥BC于B，∠ABC = 120°， 求证: AB = 2BC.
证明：∵BD是AC的中线，∴AD=CD.
在△ADE和△CDB中，
AD = CD，
∠ADE =∠CDB，
DE = DB，
∴△ADE≌△CDB (SAS).
∴∠E = ∠CBD = 90°，AE = BC.
又∠ABC = 120°，∴∠ABE = 30°.
∴在Rt△ABE中，AB=2AE，∴AB=2BC.
证明：∵∠ACB=90°，CD⊥BA，∠A=30°，
∴∠ACD=60°，∠BCD=30°，∠CDB=∠CDA=90°.
∴BD= BC，BC= AB，
∴BD= AB.
拓展延伸
5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°．求证：BD= AB．
课堂小结
符号语言：
∵ 在Rt△ABC 中，
∠C =90°，∠A =30°，
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
B
C
∴ BC = AB．
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
第2课时 含30°角的直角三角形的性质
R·八年级上册
新课导入
导入课题
将两个大小相同的含30°角的三角尺摆放在一起（较长直角边靠在一起且直角顶点重合），可拼成一个什么样的三角形？你能借助拼图找到直角尺的较短直角边与斜边之间的数量关系吗？
本节课我们再次学习与直角三角形相关的一个性质.
学习目标
（1）运用等边三角形能推导出30°角的直角三角形的性质.
（2）能运用30°角的直角三角形的性质解决相关问题.
推进新课
知识点1
直角三角形的性质
探究
将两个全等的含30°角的直角三角尺摆放在一起.你能借助这个图形，找到Rt △ABC 的直角边BC 与斜边AB 之间的数量关系吗？
思考 这个命题是真命题吗？请进行证明．
问题 请说一说你猜想的命题中，条件和结论分别是什么？并结合图形，用符号语言表述出来.
猜想 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
B
C
D
证明：在△ABC 中，
∵ ∠C =90°，∠A =30°，
∴ ∠B =60°．
延长BC 到D，使BD =AB，连接AD，
则△ABD 是等边三角形．
已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，
∠A =30°. 求证：BC = AB．
A
B
C
D
∴ BC = BD = AB ．
由等边三角形的性质可知，
AC 也是BD 边上的中线，
你还能用其他方法证明吗？
另证：作∠BCE =60°，交AB于E，连接CE，
则∠ACE =90°-60°=30°．
在△ABC 中，
∵ ∠ACB=90°，∠A =30°，
∴ ∠B =60°．
在△BCE 中，
∵ ∠BCE=60°，∠B =60°，
∴ △BCE 是等边三角形．
∴ BC =BE =CE．
E
A
B
C
在△ACE 中，
∵ ∠A=30°，∠ACE =30°，
∴ △AEC是等腰三角形．
∴ CE =AE．
∴ BC =BE =CE =AE．
E
A
B
C
∴ BC =BE =AE = AB．
符号语言：
∵ 在Rt△ABC 中，
∠C =90°，∠A =30°，
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
B
C
∴ BC = AB．
巩固练习
练习1 如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A = 30°，AB =10，则BC 的长为 ．
A
B
C
5
练习2 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°，AB =4．则BD = .
1
A
B
C
D
知识点2
直角三角形性质的运用
例 如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC、DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 要多长.
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A =30°，
∴ BC = AB，DE = AD．
又 AD = AB，
∴ DE = AD =1.85（m） ．
∴ BC =3.7（m）．
答：立柱BC 的长是3.7 m，DE 的长是1.85 m．
巩固练习
练习3 Rt△ABC 中，∠C =90°，∠B =2∠A，∠B 和∠A 各是多少度？边AB 与BC 之间有什么关系？
证明：∵∠B+∠A=180°- ∠C=90°，
∠B=2∠A，
∴∠B=60°，∠A=30°.
∴ AB=2BC.
【课本P81 练习】
随堂演练
基础巩固
1. Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（ ）
A.2cm B.4 cm C.8 cm D.16cm
2.等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2，则等腰三角形的顶角为（ ）
A.30° B.60° C.150° D.30°或150°
C
D
3. 在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分线．求证：DC = 2AD.
证明：∵∠A = 90°，∠ABC = 2∠C,
∴∠C = 30°，∠ABC = 60°.
又BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC =30°.
∴∠DBC=∠C，∴BD=DC.
在Rt△ABD中，∵∠ABD = 30°，
∴AD= BD = DC，即DC = 2AD.
综合应用
4.如图所示， 在△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BD至E，使DE = BD，DB⊥BC于B，∠ABC = 120°， 求证: AB = 2BC.
证明：∵BD是AC的中线，∴AD=CD.
在△ADE和△CDB中，
AD = CD，
∠ADE =∠CDB，
DE = DB，
∴△ADE≌△CDB (SAS).
∴∠E = ∠CBD = 90°，AE = BC.
又∠ABC = 120°，∴∠ABE = 30°.
∴在Rt△ABE中，AB=2AE，∴AB=2BC.
证明：∵∠ACB=90°，CD⊥BA，∠A=30°，
∴∠ACD=60°，∠BCD=30°，∠CDB=∠CDA=90°.
∴BD= BC，BC= AB，
∴BD= AB.
拓展延伸
5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°．求证：BD= AB．
课堂小结
符号语言：
∵ 在Rt△ABC 中，
∠C =90°，∠A =30°，
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
B
C
∴ BC = AB．
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。