【高效备课】人教版八(上) 11.2 与三角形有关的角 11.2.1 三角形的内角 课件

(共44张PPT)
11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
R·八年级上册
前面我们学习了与三角形有关的线段，今天我们就来学习与三角形有关的角. 三角形内角和定理是本章的重要内容，也是“图形与几何”必备的知识基础．它从“角”的角度刻画了三角形的特征．三角形内角和定理的探究体现了由实验几何到论证几何的研究过程，同时也说明了证明的必要性．
新课导入
学习目标：
1．通过经历探究活动的过程，得出三角形的
内角和定理.
2．能运用平行线的性质证明内角和定理.
3．能应用三角形内角和定理推导并归纳直角
三角形的性质与判定.
推进新课
探索并证明三角形内角和定理
　　在小学我们已经知道任意一个三角形三个内角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究．
知识点1
方法：度量、剪拼、折叠
B
B
C
C
A
A
A
B
B
C
A
A
B
B
C
A
B
B
C
C
方法：度量、剪拼、折叠
A
B
C
方法：度量、剪拼、折叠
　　追问1　运用度量的方法，得出的三个内角的和都是180°吗？为什么？
不一定，测量可能会有误差．　　　
　　追问2　通过度量、剪拼或折叠的方法验证了手中的三角形纸片的三个内角和等于180°，但我们手中的三角形只是所有三角形中有限的几个，而形状不同的三角形有无数个，我们如何能得出“所有的三角形的三个内角的和都等于180°”这个结论呢？
需要通过推理去证明．　　　
　　你能从以上的操作过程中受到启发，想出证明“三角形内角和等于180°”的方法吗？
　　追问1　在下图中，∠B 和∠C 分别拼在∠A 的左右，三个角合起来形成一个平角，出现了一条过点 A 的直线 l，直线 l 与边 BC 有什么位置关系？
直线 l 与边 BC 平行．　　　
B
B
C
C
A
l
B
B
C
C
A
l
　　追问2　在操作过程中,我们发现了与边BC 平行的直线 l，由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于180°”的思路吗？
通过添加与边 BC 平行的辅助线 l，利用平行线的性质和平角的定义即可证明该结论．　　　
证明：过点A 作直线l ，使l ∥BC．
∵　 l ∥BC ，
∴　∠2 = ∠4，
∠3 = ∠5
（两直线平行，内错角相等） ．
　　追问3　结合下图，你能写出已知、求证和证明吗？
已知：△ABC．求证：∠A +∠B + ∠C = 180°．
A
B
C
2
4
1
5
3
　 l
A
B
C
2
4
1
5
3
　 l
　　追问3　结合下图，你能写出已知、求证和证明吗？
已知：△ABC．求证：∠A +∠B + ∠C = 180°．
证明：∵　∠1 + ∠4 + ∠5 = 180°
（平角定义），
∴　∠A + ∠B + ∠C = 180°
（等量代换）．
　 追问4　通过前面的操作和证明过程，你受到了什么启发？你还能用其他方法证明此定理吗？
C
A
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
　 追问4　通过前面的操作和证明过程，你能受到什么启发？你能用其他方法证明此定理吗？
C
A
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
n
　 追问4　通过前面的操作和证明过程，你能受到什么启发？你能用其他方法证明此定理吗？
C
A
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
n
　 追问4　通过前面的操作和证明过程，你能受到什么启发？你能用其他方法证明此定理吗？
运用三角形内角和定理
知识点2
　　例1　如图，在△ABC 中， ∠BAC =40°， ∠B = 75°，AD 是△ABC 的角平分线．求∠ADB 的度数．
解：∵　由∠BAC=40 ° ， AD 是△ABC 的角平分线，得
∠BAD = ∠BAC = 20°.
在△ABD中，
∠ADB =180°– ∠B – ∠BAD
=180° – 75° – 20°
=85°.
北
北
C
A
B
D
E
　　例2　如图，C 岛在A 岛的北偏东50°方向，B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°方向．从B 岛看A，C 两岛的视角∠ABC 是多少度？从C岛看A，B 两岛的视角∠ACB 呢？
解：
∠CAB=∠BAD - ∠CAD
=80 °- 50 °
=30 °.
过C 点作正南方向线，则有
　∠1 = ∠3 ，∠2 = ∠4
（两直线平行，内错角相等），
∴∠ACB = ∠1 + ∠2
= ∠3 + ∠4
= 50°+ 40°
= 90°
（等量代换）．
北
北
C
A
B
D
E
南
3
4
1
2
　练习1　如图，说出各图中∠1 的度数．　　
30°
105°
1
（2）
80°
50°
1
（1）
22°
1
（3）
50°
45°
68°
　　练习2　如图，从A 处观测C 处的仰角∠CAD = 30°，从B 处观测C 处的仰角∠CBD = 45°．从C 处观测A，B 两处的视角∠ACB 是多少？ 　　
A
B
D
C
∠ACB =∠ACD – ∠BCD
= 60°– 45°=15°.
【课本P13 练习 第1题】
　　问题 在△ABC 中，∠A =60°，∠B =30°，∠C 等于多少度？你是用什么知识解决的？
A
B
C
∠C =90°，三角形的三个内角和等于180°。
A
B
C
探索直角三角形的性质
知识点3
　　在△ABC 中，若∠C =90°，你能求出∠A，∠B 的度数吗？为什么？你能求出∠A +∠B 的度数吗？
利用上面的结果，你能得出什么结论？
　　直角三角形的两个锐角互余．　　
A
B
C
　　直角三角形可以用符号“Rt△”表示，
直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．
A
B
C
在Rt△ABC 中，
∵　∠C =90°，
∴　∠A +∠B =90°．　　
　　此性质的几何推理格式该怎样表示？
　　例3　如图，∠C =∠D =90°，AD，BC 相交于点E，∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？
　　分析：两个角的关系是什么？这两个角分别在什么三角形中？你如何验证自己的想法？
C
D
E
A
B
　　例3　如图，∠C =∠D =90°，AD，BC 相交于点E，∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？
C
D
E
A
B
解：在Rt△AEC 中，
∵　∠C =90°，
∴　∠CAE +∠AEC =90°
（直角三角形两锐角互余）．
在Rt△BDE 中，
∵　∠D =90°，
　　例3　如图，∠C =∠D =90°，AD，BC 相交于点E，∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？
C
D
E
A
B
解：∴　∠DBE +∠BED =90°
（直角三角形两锐角互余）．
∵　∠AEC =∠BED
（对顶角相等），
∴　∠CAE =∠DBE
（等角的余角相等）．
探索直角三角形的判定
知识点4
　　我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，你能得出什么结论？这个结论成立吗？如何验证你的想法？
　　利用三角形内角和定理可得：
有两个角互余的三角形是直角三角形．　　
　　类比性质的几何推理格式，判定的几何推理格式又该怎样表示？
推理格式：
在Rt△ABC 中，
∵　∠A +∠B =90°，
∴　△ABC 是直角三角形．
A
B
C
相等．
同角的余角相等．
　　练习　如图，∠ACB =90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD 与∠B 有什么关系？为什么？
D
A
B
C
【课本P14 练习 第1题】
D
A
B
C
　　变式1　若∠ACD =∠B，∠ACB =90°，则CD 是△ACB 的高吗？为什么？
　　是．
　　有两个角互余的三角形
是直角三角形．
D
A
B
C
　　变式2　若∠ACD =∠B，CD ⊥AB，△ACB 为直角三角形吗？为什么？
　　是．
　　有两个角互余的三角形是直角三角形．
　　变式3　如图，若∠C =90°，∠AED =∠B，△ADE 是直角三角形吗？为什么？
　　是．
　　有两个角互余的三角形是直角三角形．
（证明过程略）．
D
E
A
B
C
随堂演练
1.△ABC中，∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3，则∠A=______，∠B = ______，∠C = ______.
90°
30°
60°
基础巩固
2.如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则图中除直角外相等的角有__________________
______________，互余的角有：____________
________________________________________.
∠A =∠BCD，
∠A与∠B，∠A与∠ACD，∠B与∠BCD，∠ACD与∠BCD
∠B =∠ACD
3.如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A=150°，∠B=∠D=40°. 求∠C的度数.
2
3
1
4
解：∵∠1+∠2+∠B= 180°，∠3+∠4+∠D=180°，
∴∠l+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D=180°+180°.
∴(∠1+∠4)+(∠2+∠3)+∠B+∠D= 360°.
即∠BCD+∠BAD+40°+40°= 360°.
则∠BCD= 360°－ 150°－80°= 130°.
【课本P13 练习 第2题】
4.如图，∠C＝90°，∠1＝∠2， △ADE是直角三角形吗？为什么？
【课本P14 练习 第2题】
解: △ADE是直角三角形. 理由如下:
∵∠C=90°，∴∠A+∠2=90°.
又∠1=∠2，∴∠A+∠1=90°.
∴∠ADE=90°，即△ADE是直角三角形.
5.如图，在△ABC 中，∠ABC= 70°，∠C=65°，BD⊥AC于D，求∠ABD，∠CBD的度数.
解：∵∠ABC = 70°，∠C = 65°，
∴∠A = 180°–∠ABC –∠C = 45°.
∵BD⊥AC，
∴∠ADB =∠CDB = 90°，
∴∠ABD = 90°–∠A = ∠45°，
∠CBD = 90° – ∠C = 25°.
综合应用
有两个角互余的三角形是直角三角形．　　
三角形内角和等于180°.
A
B
C
　　直角三角形的两个锐角互余．　　
B
B
C
C
A
l
课堂小结
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业