【高效备课】人教版八(上) 11.3 多边形及其内角和 11.3.2 多边形的内角和 课件

(共31张PPT)
11.3 多边形及其内角和
11.3.2 多边形的内角和
R·八年级上册
学习目标：
1．探索多边形的内角和公式.
2．通过把多边形转化成三角形，体会转化思
想在几何中的运用.
新课导入
　　回忆　长方形、正方形的内角和等于______.
360°　　　
　　思考　任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢？
推进新课
多边形的内角和
　　探究　你能利用三角形内角和定理证明你的结论吗？
证明：连接AC，
∠BAD +∠B +∠BCD +∠D
=（∠BAC +∠BCA +∠B）
+ （∠DAC +∠DCA +∠D），
= 180° + 180° = 360° ．
知识点1
　　从四边形的一个顶点出发，可以作 条对角线，它们将四边形分为　　 个三角形，四边形的内角和等于180°×____=　　　　°．
1
2
2
360
　　探究　你能利用三角形内角和定理证明你的结论吗？
　　探究　类比前面的过程，你能探索五边形的内角和吗？六边形呢？
　　如图，从五边形的一个顶点
出发，可以作　　条对角线，它
们将五边形分为____个三角形，
五边形的内角和等于
　　180°×　　=　　　　°．
2
3
3
540
　　如图，从六边形的一个顶点出发，可以作_____条对角线，它们将六边形分为_____个三角形，六边形的内角和等于180°×____=_______°．
3
4
4
720
形状 图形 从多边形的一个顶点引出的对角线条数 分割出三角形的个数 多边形内角和
三角形
四边形
五边形
六边形
……
n 边形
······
0
3 - 3 =
4 - 3 =
5 - 3 =
6 - 3 =
n - 3
1
2
3
······
3 - 2 =
1
4 - 2 =
2
5 - 2 =
3
6 - 2 =
4
n - 2
（ n -2 ）·180
180
360
540
720
······
······
　　从n 边形的一个顶点出发，可以作（n -3）条对角线，它们将n 边形分为（n -2）个三角形，这（n -2）个三角形的内角和就是n 边形的内角和，所以，n 边形的内角和等于（n -2）×180°．
归纳总结
　　通过上述过程，你能说说多边形的内角和与边数的关系吗？
填空：
（1）十边形的内角和为 度．
（2）已知一个多边形的内角和为1 080°，则它的边数为______．
1 440
8
练习
解：如图，四边形ABCD 中，
∠A +∠C =180°．
∵　∠A +∠B +∠C +∠D
=（4 - 2）×180° = 360°，
　　∴　∠B +∠D = 360°–（∠A + ∠C）
=360°– 180°= 180°．
例1　如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.
四边形、五边形、六边形的外角和
知识点2
　　问题1　我们知道，三角形的内角和是180°，三角形的外角和是360°．得出三角形的外角和是360°有多种方法．如图，你能说说怎样由外角与相邻内角互补的关系得出这个结论吗？
A
B
C
D
E
F
1
2
3
　由 ∠1 +∠BAE =180°，∠2 +∠CBF =180°，
∠3 +∠ACD =180°，
得 ∠1 +∠2 +∠3 +∠BAE +∠CBF +∠ACD =540°．
由 ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°，得
∠BAE +∠CBF +∠ACD
　 = 540° - 180°
= 360°．
A
B
C
D
E
F
1
2
3
由 ∠BAD +∠1 =180°，
∠ABC +∠2 =180°，
∠BCD +∠3 =180°，
∠ADC +∠4 =180°，
得∠BAD + ∠1 + ∠ABC
+∠2 +∠BCD +∠3 +∠ADC +∠4 =180°×4．
由∠BAD +∠ABC +∠BCD +∠ADC =180°×2，得
∠1 +∠2 +∠3 +∠4 =180°×4 - 180°×2 =360°．
　　问题2　如图，你能仿照上面的方法求四边形的外角和吗？
A
B
C
1
2
3
D
4
问题3　五边形的外角和等于多少度？六边形呢？ 仿照上面的方法试一试．
6× 180°-（6-2）×180°= 2× 180°=360°
类比求三角形、四边形的外角和的方法求出五边形的外角和是360°，六边形的外角和是360°．
　　问题4 你能仿照上面的方法求n 边形（n 是不小于3 的任意整数）的外角和吗？
　　因为n 边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，它们的和是180°，所以n 边形内角和加外角和等于n · 180°，所以， n 边形的外角和为：
n · 180°-（n -2）· 180°= 360°．
任意多边形的外角和等于360°．
n 边形的外角和
知识点3
　　我们也可以在问题4 的基础上这样理解多边形外角和等于360°．
　　如图，从多边形的一个顶点A 出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发的方向．
A
　　在行程中转过的各个角的和，就是多边形的外角和．由于走了一周，所转过的各个角的和等于一个周角，所以多边形外角和等于360°．
　　我们也可以在问题4 的基础上这样理解多边形外角和等于360°．
A
巩固多边形外角和公式
　 解：设这个多边形为 n 边形，
　　　　根据题意，可列方程
（ n -2）×180°=3×360°．
解得　n =8．
答：它是八边形．
一个多边形的内角和等于它的外角和的3 倍，它是几边形？
x = 65
　　练习1　求出下列图形中 x 的值。
x = 60
x = 95
【课本P24 练习 第1题】
解法一：设它是n边形，则依题意得
(n－2)× 180°＝n×l 20°
∴ n＝ 6.
　　练习2　一个多边形的各内角都等于120°，它是几边形？
【课本P24 练习 第2题】
　　练习2　一个多边形的各内角都等于120°，它是几边形？
【课本P24 练习 第2题】
解法二：各内角都等于120°，则各外角为60°，
设它是n边形，
则有n×60°＝360°(多边形的外角和等于360°)
∴n=6.
解：设它是n边形.
∵多边形的外角和为360°，且内角和与外角和相等，∴(n-2)×180°＝ 360°
∴ n=4.
　　练习3　一个多边形的内角和与外角和相等，它是几边形？
【课本P24 练习 第3题】
　　解：不存在．
　　理由：如果存在这样的多边形，设它的一个外角为x ，则对应的内角为180°- x ，
于是 x =180°- x，解得　x =150°.
　　练习4　是否存在一个多边形，它的每个内角
都等于相邻外角的 ？为什么？
　　这个多边形的边数为：360°÷150°= 2.4，而边数应是整数，因此不存在这样的多边形．
随堂演练
1.下列各个度数中，不可能是多边形的内角和的是（ ）
A.600° B.720° C.900° D.1080°
2.若多边形的边数由 3 增加到 5，则其外角和的度数（ ）
A.增加 B.减少 C.不变 D.不能确定
A
C
基础巩固
3.已知，在四边形ABCD中，∠A:∠B＝5:7，∠B与∠A的差等于∠C，∠D与∠C的差是80度，求四边形ABCD四个内角的度数.
解：设∠A=5x°，∠D=y°，则∠B=7x°，∠C=2x°，由题意可得
解得
所以∠A=87.5°，∠B=122.5°，∠C=35°，∠D=115°.
综合应用
4.如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米，后左转30度，再沿直线前进10米.又向左转30度，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了多少米？
拓展延伸
解：由题意可知，小亮第一次回到出发地A点时，他的行走路线是一个正多边形，且这个正多边形的外角等于30°，边长为10米.所以这个多边形的边数为
所以一共走了12×10=120（米）.
课堂小结
　　从n 边形的一个顶点出发，可以作（n -3）条对角线，它们将n 边形分为（n -2）个三角形，这（n -2）个三角形的内角和就是n 边形的内角和，所以，n 边形的内角和等于（n -2）×180°．
多边形外角和等于360°．
A
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业