人教A版（2019） 必修一 4.4 对数函数

人教A版（2019） 必修一 4.4 对数函数
一、单选题
1．（2020高三上·哈尔滨开学考）函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2020高一下·吉林期末）函数y＝ 的定义域是（　　）
A．[－ ，－1)∪(1， ] B．[－ ，－1)∪(1， )
C．[－2，－1)∪(1，2] D．(－2，－1)∪(1，2)
3．（2020高一下·元氏期中）函数y=loga（x+4）-1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m，n均大于0，则 的最小值为（　　）
A．2 B．6 C． D．10
4．（2020高一下·鸡西期中）已知集合 ， ，则 （　　）
A． B． C． D．
5．（2020高一下·吉林月考）在 中，A为锐角， ，则 为（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
6．（2020高一上·池州期末）已知 ， ， ，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2020·西安模拟）已知函数 ，则（　　）
A． 在（0，2）单调递增
B． 在（0，2）单调递减
C． 的图像关于直线x=1对称
D． 的图像关于点（1，0）对称
8．（2020高一上·台州期末）函数 （ 且 ）的图象经过定点（　　）
A． B． C． D．
9．（2020高一上·北海期末）若函数 （ 且 ）在区间 上的最大值比最小值多2，则 （　　）
A．2或 B．3或 C．4或 D．2或
10．（2020高一上·百色期末）函数y＝2log4(1－x)的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2020高一上·宿州期末）函数 的图象必不过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．（2020高一上·遂宁期末）已知函数 且 ）是增函数，那么函数 的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
13．（2019高一上·厦门月考）若函数 在区间 上是减函数，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
14．（2019高一上·西安月考）若函数 的图像与函数 的图像关于直线 对称，则 （　　）
A．10 B．-1 C．2 D．-2
二、填空题
15．（2020高二下·宁波期末）已知函数 .若 的定义域为R，则实数a的取值范围是　 　；若 的值域为R，则实数a的取值范围是　 　.
16．（2020·辽宁模拟）已知函数 （ 且 ）的图象恒过定点P，且点P在函数 的图象上，则 　 　.
17．（2020高一上·梧州期末）设函数 ，若 ，则实数 的取值范围是　 　．
18．（2020高一上·南开期末）若函数 的值域是 ，则实数 的取值范围是　 　．
19．（2019高一上·丹东月考）若函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是　 　．
三、解答题
20．（2020高一上·北海期末）已知函数 ，其中 为常数，且 .
（1）求实数 的值；
（2）若对于任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
21．（2020高一上·百色期末）已知二次函数 满足 ，且 .
（1）求 的解析式；
（2）设函数 ，当 时，求 的最小值；
（3）设函数 ，若对任意 ，总存在 ，使得 成立，求m的取值范围.
22．（2019高一上·邵阳月考）已知函数
（1）求函数 的定义域；
（2）判断函数 的奇偶性；
23．（2019高一上·集宁月考）已知函数 是指数函数．
（1）求 的表达式；
（2）判断 的奇偶性，并加以证明；
（3）解不等式： ．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；对数函数的值域与最值
【解析】【解答】当 时， 值域为 ;
当 时，函数的值域为 ，则 的开口向上，
且判别式大于等于零，即 ，解得 ，
故实数 的取值范围是 ，
故答案为：A.
【分析】利用分类讨论的方法结合对数型函数值域求解方法，再利用已知条件结合二次函数的图象，从而求出实数a的取值范围。
2．【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】函数y＝ 的定义域满足
即 ，解得
故答案为：A
【分析】由函数表达式知，被开方数大于或等于0，对数的真数大于0，即 ，可得答案．
3．【答案】C
【知识点】对数函数的图象与性质；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】函数y＝loga（x+4）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，
当x+4＝1时，即x＝﹣3，y＝﹣1，则A（﹣3，﹣1），
∴﹣3m﹣n+1＝0，
∴3m+n＝1，
∴ （3m+n）（ ）＝5 5+2 5+2 ，当且仅当n m时取等号，
故最小值为5+2 ，
故答案为：C
【分析】函数y＝loga（x+4）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（﹣3，﹣1），进而可得3m+n＝1，结合基本不等式可得 的最小值．
4．【答案】D
【知识点】交集及其运算；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】因为 ， ， ，所以 ，因为 且 ，所以 ， ，
故答案为：D.
【分析】利用一元二次不等式求解集方法求出集合A，再利用对数函数的定义域和对数函数的单调性结合特殊值对应的对数，从而求出集合B，再利用交集的运算法则，从而求出集合A和集合B的交集。
5．【答案】D
【知识点】对数函数的图象与性质；三角形的形状判断
【解析】【解答】由 ，所以 且 ，又因为 为锐角，所以 ，由 ，根据正弦定理，得： ，解得 ，进而得出角C为45度，再根据等角对等边和等腰直角三角形定义，所以三角形为等腰直角三角形，故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合对数的运算法则，推出 且 ，又因为 为锐角，所以 ，再利用正弦定理结合以及三角形内角和公式，结合两角差的正弦公式推出角B为90度，进而得出角C为45度，再根据等角对等边和等腰直角三角形定义推出三角形 的形状。
6．【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】∵ ， ， ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出结果.
7．【答案】C
【知识点】复合函数的单调性；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】由题意知， ，所以 的图象关于直线 对称，故C正确，D错误；又 （ ），由复合函数的单调性可知 在 上单调递增，在 上单调递减，所以A，B错误，故选C．
【分析】利用函数的对称性结合复合函数的单调性，从而利用排除法得出正确的选项。
8．【答案】A
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为函数 ，且有 ( 且 )，令 ，则 ， ，所以函数 的图象经过点 .
故答案为：A
【分析】令 ，即可得到本题答案.
9．【答案】A
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】①当 时，函数 在定义域内为增函数，则由题意得 ，解得 ；②当 时，函数 在定义域内为减函数，则由题意得 ，解得 ；
综上可得： 或 .
故答案为：A.
【分析】分别讨论 和 ，然后利用对数函数的单调性，代入计算即可得出答案.
10．【答案】C
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】函数 的定义域为 且单调递减，
故答案为：C.
【分析】利用对数型函数定义域的求解方法结合复合型函数单调性的判断方法，从而找出函数y＝2log4(1－x)的大致图象。
11．【答案】A
【知识点】对数函数的图象与性质；反射、平衡和旋转变换
【解析】【解答】由 可判断 为减函数，再根据函数平移法则， 应由 向左平移两个单位，如图，
故 的图象必不过第一象限
故答案为：A
【分析】结合对数函数增减性和函数平移法则即可求解.
12．【答案】B
【知识点】复合函数的单调性；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】由题意，函数 且 ）是增函数，可得 ，
又由函数 满足 ，解得 ，排除C、D项，
又由函数 ，
根据复合函数的单调性，可得函数 为单调递减函数.
故答案为：B.
【分析】根据指数函数的性质，可得 ，再结合对数函数的图象与性质，以及复合函数的性质，即可求解.
13．【答案】D
【知识点】复合函数的单调性；二次函数的性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令t＝x2﹣ax﹣3a 3a，
则由题意可得函数f（x）＝log2t，
函数t在区间（﹣∞，﹣2]上是减函数且t＞0恒成立．
∴ ，求得﹣4≤a＜4，
故答案为：D．
【分析】令t＝x2﹣ax﹣3a，得到函数f（x）＝log2t，利用复合函数的单调性、二次函数、对数函数的性质列式，即可求得a的范围．
14．【答案】C
【知识点】函数的值；互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】 与 关于 对称 为 的反函数
故答案为：
【分析】根据反函数的性质，可知 的解析式，代入 即可求得结果。
15．【答案】；
【知识点】二次函数的性质；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】因为 的定义域为R，所以 恒成立，
①若 ，则 ，解得 ，不满足题意；
②若 ，则 .
综上所述，a的取值范围是 .
若 的值域为R，则 可取遍所有正数，
①若 ， 可取遍所有正数，满足题意；
②若 ，则 .
综上所述，a的取值范围是 .
故答案为： ；
【分析】若 的定义域为R则 恒成立，分类讨论利用二次函数的图象与性质列出不等式组求解；若 的值域为R，则 可取遍所有正数，分类讨论利用一次函数、二次函数的图象与性质列出不等式组求解.
16．【答案】2
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令 得： ，此时 ，
函数 且 的图象恒过定点 ，即 ，
又 点 在函数 的图象上，
，
，
故答案为：2．
【分析】令对数的真数等于1，求得x、y的值，即为定点P的坐标，再代入函数 的解析式即可求出 的值．
17．【答案】
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由题意 或 或 或 ，则实数 的取值范围是 ，故答案为 。
【分析】利用分段函数的解析式结合分类讨论的方法，从而结合交集和并集的运算法则，从而求出实数 的取值范围。
18．【答案】
【知识点】对数函数的值域与最值；分段函数的应用
【解析】【解答】当 时， ，即函数 在区间 上的值域为 .
由于函数 的值域为 ，则函数 在区间 上单调递减，
且有 ，即 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【分析】求出函数 在区间 上的值域为 ，从而可得出函数 在区间 上单调递减，且有 ，得出关于实数 的不等式组，解出即可.
19．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】首先要使 有意义，则 ，
其次 ，
∴ ，
解得 ，
综上所述： ．
【分析】利用换元法结合分式函数和偶次根式函数的定义域求法，再利用交集的运算法则求出函数 的定义域。
20．【答案】（1）解：由题意 得 ， 得 ，
故实数 ，
（2）解：由(1)知 ，则有 ，则不等式 可化为 ，令函数 易知在区间 上单调递增，可得函数 ，故要使不等式 恒成立则需
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】(1)由题中条件得关系式 ，求解实数 的值即可；(2)分离参数 ，令函数 ，利用函数的单调性，求解 即可得出答案.
21．【答案】（1）解：设 .
①∵ ,∴ ,
又∵ ,
∴ ,可得 ,
∴ 解得 即
（2）解：由题意知, , ,对称轴为 .
①当 ,即 时,函数h(x)在 上单调递增,
即 ；
②当 ,即 时,函数h(x)在 上单调递减,在 上单调递增,
即 .
综上,
（3）解：由题意可知 ,
∵函数 在 上单调递增,故最小值为 ,
函数 在 上单调递减,故最小值为 ,
∴ ,解得
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值；对数函数的值域与最值；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】(1) 根据二次函数 ,则可设 ,再根据题中所给的条件列出对应的等式对比得出所求的系数即可.(2)根据(1)中所求的 求得 ,再分析对称轴与区间 的位置关系进行分类讨论求解 的最小值即可.(3)根据题意可知需求 与 在区间上的最小值.再根据对数函数与二次函数的单调性求解最小值即可.
22．【答案】（1）解：由题意得， ，解得 ，故函数 的定义域为
（2）解：由(1)知，函数的定义域关于原点对称，且
故函数 为偶函数．
【知识点】函数的奇偶性；对数函数的概念与表示
【解析】【分析】(1)根据真数大于零，即可求出定义域；(2)先判断定义域是否关于原点对称，再判断 与 的关系，即可得出函数 的奇偶性．
23．【答案】（1）解：∵函数 是指数函数， 且 ，
∴ ，可得 或 （舍去），∴
（2）解：由（1）得 ，
∴ ，∴ ，∴ 是奇函数
（3）解：不等式： ，以2为底单调递增，
即 ，
∴ ，解集为
【知识点】指数函数的概念与表示；指数函数的图象与性质；对数函数的单调性与特殊点；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】(1)根据指数函数定义得到， 检验得到答案.(2) ，判断 关系得到答案.(3)利用函数的单调性得到答案.
1 / 1人教A版（2019） 必修一 4.4 对数函数
一、单选题
1．（2020高三上·哈尔滨开学考）函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；对数函数的值域与最值
【解析】【解答】当 时， 值域为 ;
当 时，函数的值域为 ，则 的开口向上，
且判别式大于等于零，即 ，解得 ，
故实数 的取值范围是 ，
故答案为：A.
【分析】利用分类讨论的方法结合对数型函数值域求解方法，再利用已知条件结合二次函数的图象，从而求出实数a的取值范围。
2．（2020高一下·吉林期末）函数y＝ 的定义域是（　　）
A．[－ ，－1)∪(1， ] B．[－ ，－1)∪(1， )
C．[－2，－1)∪(1，2] D．(－2，－1)∪(1，2)
【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】函数y＝ 的定义域满足
即 ，解得
故答案为：A
【分析】由函数表达式知，被开方数大于或等于0，对数的真数大于0，即 ，可得答案．
3．（2020高一下·元氏期中）函数y=loga（x+4）-1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m，n均大于0，则 的最小值为（　　）
A．2 B．6 C． D．10
【答案】C
【知识点】对数函数的图象与性质；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】函数y＝loga（x+4）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，
当x+4＝1时，即x＝﹣3，y＝﹣1，则A（﹣3，﹣1），
∴﹣3m﹣n+1＝0，
∴3m+n＝1，
∴ （3m+n）（ ）＝5 5+2 5+2 ，当且仅当n m时取等号，
故最小值为5+2 ，
故答案为：C
【分析】函数y＝loga（x+4）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（﹣3，﹣1），进而可得3m+n＝1，结合基本不等式可得 的最小值．
4．（2020高一下·鸡西期中）已知集合 ， ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】因为 ， ， ，所以 ，因为 且 ，所以 ， ，
故答案为：D.
【分析】利用一元二次不等式求解集方法求出集合A，再利用对数函数的定义域和对数函数的单调性结合特殊值对应的对数，从而求出集合B，再利用交集的运算法则，从而求出集合A和集合B的交集。
5．（2020高一下·吉林月考）在 中，A为锐角， ，则 为（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【知识点】对数函数的图象与性质；三角形的形状判断
【解析】【解答】由 ，所以 且 ，又因为 为锐角，所以 ，由 ，根据正弦定理，得： ，解得 ，进而得出角C为45度，再根据等角对等边和等腰直角三角形定义，所以三角形为等腰直角三角形，故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合对数的运算法则，推出 且 ，又因为 为锐角，所以 ，再利用正弦定理结合以及三角形内角和公式，结合两角差的正弦公式推出角B为90度，进而得出角C为45度，再根据等角对等边和等腰直角三角形定义推出三角形 的形状。
6．（2020高一上·池州期末）已知 ， ， ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】∵ ， ， ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出结果.
7．（2020·西安模拟）已知函数 ，则（　　）
A． 在（0，2）单调递增
B． 在（0，2）单调递减
C． 的图像关于直线x=1对称
D． 的图像关于点（1，0）对称
【答案】C
【知识点】复合函数的单调性；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】由题意知， ，所以 的图象关于直线 对称，故C正确，D错误；又 （ ），由复合函数的单调性可知 在 上单调递增，在 上单调递减，所以A，B错误，故选C．
【分析】利用函数的对称性结合复合函数的单调性，从而利用排除法得出正确的选项。
8．（2020高一上·台州期末）函数 （ 且 ）的图象经过定点（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为函数 ，且有 ( 且 )，令 ，则 ， ，所以函数 的图象经过点 .
故答案为：A
【分析】令 ，即可得到本题答案.
9．（2020高一上·北海期末）若函数 （ 且 ）在区间 上的最大值比最小值多2，则 （　　）
A．2或 B．3或 C．4或 D．2或
【答案】A
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】①当 时，函数 在定义域内为增函数，则由题意得 ，解得 ；②当 时，函数 在定义域内为减函数，则由题意得 ，解得 ；
综上可得： 或 .
故答案为：A.
【分析】分别讨论 和 ，然后利用对数函数的单调性，代入计算即可得出答案.
10．（2020高一上·百色期末）函数y＝2log4(1－x)的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】函数 的定义域为 且单调递减，
故答案为：C.
【分析】利用对数型函数定义域的求解方法结合复合型函数单调性的判断方法，从而找出函数y＝2log4(1－x)的大致图象。
11．（2020高一上·宿州期末）函数 的图象必不过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】对数函数的图象与性质；反射、平衡和旋转变换
【解析】【解答】由 可判断 为减函数，再根据函数平移法则， 应由 向左平移两个单位，如图，
故 的图象必不过第一象限
故答案为：A
【分析】结合对数函数增减性和函数平移法则即可求解.
12．（2020高一上·遂宁期末）已知函数 且 ）是增函数，那么函数 的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】复合函数的单调性；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】由题意，函数 且 ）是增函数，可得 ，
又由函数 满足 ，解得 ，排除C、D项，
又由函数 ，
根据复合函数的单调性，可得函数 为单调递减函数.
故答案为：B.
【分析】根据指数函数的性质，可得 ，再结合对数函数的图象与性质，以及复合函数的性质，即可求解.
13．（2019高一上·厦门月考）若函数 在区间 上是减函数，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】复合函数的单调性；二次函数的性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令t＝x2﹣ax﹣3a 3a，
则由题意可得函数f（x）＝log2t，
函数t在区间（﹣∞，﹣2]上是减函数且t＞0恒成立．
∴ ，求得﹣4≤a＜4，
故答案为：D．
【分析】令t＝x2﹣ax﹣3a，得到函数f（x）＝log2t，利用复合函数的单调性、二次函数、对数函数的性质列式，即可求得a的范围．
14．（2019高一上·西安月考）若函数 的图像与函数 的图像关于直线 对称，则 （　　）
A．10 B．-1 C．2 D．-2
【答案】C
【知识点】函数的值；互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】 与 关于 对称 为 的反函数
故答案为：
【分析】根据反函数的性质，可知 的解析式，代入 即可求得结果。
二、填空题
15．（2020高二下·宁波期末）已知函数 .若 的定义域为R，则实数a的取值范围是　 　；若 的值域为R，则实数a的取值范围是　 　.
【答案】；
【知识点】二次函数的性质；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】因为 的定义域为R，所以 恒成立，
①若 ，则 ，解得 ，不满足题意；
②若 ，则 .
综上所述，a的取值范围是 .
若 的值域为R，则 可取遍所有正数，
①若 ， 可取遍所有正数，满足题意；
②若 ，则 .
综上所述，a的取值范围是 .
故答案为： ；
【分析】若 的定义域为R则 恒成立，分类讨论利用二次函数的图象与性质列出不等式组求解；若 的值域为R，则 可取遍所有正数，分类讨论利用一次函数、二次函数的图象与性质列出不等式组求解.
16．（2020·辽宁模拟）已知函数 （ 且 ）的图象恒过定点P，且点P在函数 的图象上，则 　 　.
【答案】2
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令 得： ，此时 ，
函数 且 的图象恒过定点 ，即 ，
又 点 在函数 的图象上，
，
，
故答案为：2．
【分析】令对数的真数等于1，求得x、y的值，即为定点P的坐标，再代入函数 的解析式即可求出 的值．
17．（2020高一上·梧州期末）设函数 ，若 ，则实数 的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由题意 或 或 或 ，则实数 的取值范围是 ，故答案为 。
【分析】利用分段函数的解析式结合分类讨论的方法，从而结合交集和并集的运算法则，从而求出实数 的取值范围。
18．（2020高一上·南开期末）若函数 的值域是 ，则实数 的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】对数函数的值域与最值；分段函数的应用
【解析】【解答】当 时， ，即函数 在区间 上的值域为 .
由于函数 的值域为 ，则函数 在区间 上单调递减，
且有 ，即 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【分析】求出函数 在区间 上的值域为 ，从而可得出函数 在区间 上单调递减，且有 ，得出关于实数 的不等式组，解出即可.
19．（2019高一上·丹东月考）若函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是　 　．
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】首先要使 有意义，则 ，
其次 ，
∴ ，
解得 ，
综上所述： ．
【分析】利用换元法结合分式函数和偶次根式函数的定义域求法，再利用交集的运算法则求出函数 的定义域。
三、解答题
20．（2020高一上·北海期末）已知函数 ，其中 为常数，且 .
（1）求实数 的值；
（2）若对于任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：由题意 得 ， 得 ，
故实数 ，
（2）解：由(1)知 ，则有 ，则不等式 可化为 ，令函数 易知在区间 上单调递增，可得函数 ，故要使不等式 恒成立则需
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】(1)由题中条件得关系式 ，求解实数 的值即可；(2)分离参数 ，令函数 ，利用函数的单调性，求解 即可得出答案.
21．（2020高一上·百色期末）已知二次函数 满足 ，且 .
（1）求 的解析式；
（2）设函数 ，当 时，求 的最小值；
（3）设函数 ，若对任意 ，总存在 ，使得 成立，求m的取值范围.
【答案】（1）解：设 .
①∵ ,∴ ,
又∵ ,
∴ ,可得 ,
∴ 解得 即
（2）解：由题意知, , ,对称轴为 .
①当 ,即 时,函数h(x)在 上单调递增,
即 ；
②当 ,即 时,函数h(x)在 上单调递减,在 上单调递增,
即 .
综上,
（3）解：由题意可知 ,
∵函数 在 上单调递增,故最小值为 ,
函数 在 上单调递减,故最小值为 ,
∴ ,解得
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值；对数函数的值域与最值；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】(1) 根据二次函数 ,则可设 ,再根据题中所给的条件列出对应的等式对比得出所求的系数即可.(2)根据(1)中所求的 求得 ,再分析对称轴与区间 的位置关系进行分类讨论求解 的最小值即可.(3)根据题意可知需求 与 在区间上的最小值.再根据对数函数与二次函数的单调性求解最小值即可.
22．（2019高一上·邵阳月考）已知函数
（1）求函数 的定义域；
（2）判断函数 的奇偶性；
【答案】（1）解：由题意得， ，解得 ，故函数 的定义域为
（2）解：由(1)知，函数的定义域关于原点对称，且
故函数 为偶函数．
【知识点】函数的奇偶性；对数函数的概念与表示
【解析】【分析】(1)根据真数大于零，即可求出定义域；(2)先判断定义域是否关于原点对称，再判断 与 的关系，即可得出函数 的奇偶性．
23．（2019高一上·集宁月考）已知函数 是指数函数．
（1）求 的表达式；
（2）判断 的奇偶性，并加以证明；
（3）解不等式： ．
【答案】（1）解：∵函数 是指数函数， 且 ，
∴ ，可得 或 （舍去），∴
（2）解：由（1）得 ，
∴ ，∴ ，∴ 是奇函数
（3）解：不等式： ，以2为底单调递增，
即 ，
∴ ，解集为
【知识点】指数函数的概念与表示；指数函数的图象与性质；对数函数的单调性与特殊点；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】(1)根据指数函数定义得到， 检验得到答案.(2) ，判断 关系得到答案.(3)利用函数的单调性得到答案.
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