二、多项选择题（本大题共 4 个小题每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部
中科附高 2023——2024 学年高二开学考试
选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。）
数学科试题 9．下列结论正确的是( )
7
一、单项选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题 A．－ 是第三象限角6
3
目要求。） B．若圆心角为 的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为3 2
1．已知集合 A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，则 A∩B＝( ) C 3．若角α的终边过点 P(－3，4)，则 cos α＝－
5
A. {0} B. {1} C. {1，2} D. {0，1，2} D．若角α为锐角，则角 2α为钝角
2．下列函数中，与函数 y＝x相同的是( ) 10．已知向量 a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则 b 可能是( )
3 2
A. y＝( x)2 B .y＝ x3 C. y＝ x2 D. y x＝ A．(4，－8) B．(8，4) C．(－4,－8) D．(－4，8)
x
11．下列说法中正确的是( )
3．△ABC的内角 A，B，C所对边的长分别为 a，b，c，设向量 p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若 p∥q，则
A．三点确定一个平面 B．四边形一定是平面图形
角 C的大小为( ) C．梯形一定是平面图形 D．不重合的平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点
2
A. B. C. D. 12．下列说法正确的是( )
6 3 2 3
A．函数 f(x)＝x24 ( ) ＋2x－8的零点是(－4，0)，(2，0)．对以下两组数据进行分析，下列说法不正确的是
8 12 13 27 24 37 22 20 25 26 B．方程 e
x＝3＋x有两个解
甲：
x
乙：9 14 13 11 18 19 20 21 21 23 C．函数 y＝3 ，y＝log3x的图象关于 y＝x对称
A. 甲的极差是 29 B. 甲的中位数是 25 C. 乙的众数是 21 D. 甲的平均数比乙的大 D．用二分法求方程 3
x＋3x－8＝0在 x∈(1，2)内的近似解的过程中得 f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程
5．以下四个命题中，正确的是( ) 的根落在区间(1.25，1.5)上.
A.向量 a＝(1，3)与向量 b＝(3，6)平行 三、填空题：本大题共 4 小题，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置。
B.△ABC → →为直角三角形的充要条件是AB·AC＝0 13 OABC O
→ → → →
．在四面体 中， A＝a，OB＝b，OC＝c，D为 BC的中点，E为 AD中点，则OE＝ ．(用
C.|(a·b)c|＝|a|·|b|·|c| a，b，c 表示)
D.若{a，b，c}为空间的一个基底，则 a＋b，b＋c，c＋a 构成空间的另一基底 14．已知复数 z a＋i＝ (a∈R)的实部等于虚部，则 a＝________．
2i
6．甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别是 0.6，0.7，两人考试相互独立，则甲、
g（x），f（x）≥g（x），
乙两人都未达到优秀的概率为( ) 15．设函数 f(x)＝1－2x2，g(x)＝x2－2x，若 F(x)＝ 则函数 F(x)的最大值为 ．
f（x），f（x）
A. 0.42 B. 0.28 C. 0.18 D. 0.12
→ 1→ 1→ → 16 x y 2x y 1
（x＋1）（y＋2）
．已知正数 ， 满足 ＋ ＝ ，则 的最小值是________．
7．在四面体 OABC中，空间的一点 M满足OM＝ OA＋ OB＋λOC，若 M，A，B，C四点共面，则λ等于( ) xy
4 6
7 1 5 1 四、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分。解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤A. B. C. D.
12 3 12 2
17.(10分)函数 f(x)是 R 2上的偶函数，且当 x>0时，函数解析式为 f(x)＝ －1.
8.如图，在正四棱锥 S－ABCD中，E，M，N分别是 BC，CD，SC的中点．当 点 P在线段 MN上运动时， x
下列四个结论： （1）用定义证明 f(x)在(0，＋∞)上是减函数；
①EP⊥AC；②EP∥BD； ③EP∥平面 SBD；④EP⊥平面 SAC. （2）求当 x<0时，函数的解析式．
其中恒成立的为( )
A.①③ B.③④ C.①② D.②③④
1
{#{QQABJYYQggAIABAAARhCQQUwCAOQkBECCCgOBEAAsAAByRFABAA=}#}
18 (12 ) f(x) 1cos2x 3sin xcos x 1 x R. 21．(12分)M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了 14名男生和 6 名女生，这 20 名毕业生的测． 分 已知函数 ＝ ＋ ＋ ， ∈
2 2
试成绩(单位：分)如下：
（1）求函数 f(x)的最小正周期；
男：165 166 168 172 173 174 175 176 177 182 184 185 193 194
（2）求函数 f(x)在[ , ]上的最大值和最小值，并求函数取得最大值和最小值时自变量 x的值．
12 4 女：168 177 178 185 186 192
公司规定：成绩在 180分以上(包括 180分)者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．
（1）求男生成绩的中位数及女生成绩的平均数；
（2）如果用分层随机抽样的方法从“甲部门”的人选和“乙部门”的人选中共选取 5人，再从这 5人中选 2
人，那么至少有一个是“甲部门”人选的概率是多少？
19．（12分）已知 A，B，C为△ABC 1的三个内角，且其对边分别为 a，b，c，若 cos Bcos C－sin Bsin C＝ .
2
（1）求 A；（2）若 a＝2 3，b＋c＝4，求△ABC的面积．
22．(12分)如图，直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1中，底面 ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，
AB＝2AD＝2CD＝2.
（1）求证：AC⊥平面 BB1C1C；
20.（12 分）如图，已知 ABCD－A1B1C1D1是四棱柱，底面 ABCD是正方形，AA1＝3，AB＝2，且∠C1CB＝ （2）在 A1B1上是否存在一点 P，使得 DP与平面 BCB1和平面 ACB1都平行？证明你的结论．
∠C1CD＝60
→
°，设CD＝a，C→B＝b C→， C1＝c.
→
（1）试用 a，b，c 表示A1C；（2）已知 O为对角线 A1C的中点，求 CO的长．
2
{#{QQABJYYQggAIABAAARhCQQUwCAOQkBECCCgOBEAAsAAByRFABAA=}#}中科附高开学考
一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝( )
A．{0} B．{1}
C．{1，2} D．{0，1，2}
答案 C
解析 由题意得A＝{x|x≥1}，B＝{0，1，2}，所以A∩B＝{1，2}．故选C.
2．下列函数中，与函数y＝x相同的是( )
A．y＝()2 B．y＝
C．y＝ D．y＝
答案 B
解析 函数y＝()2＝x(x≥0)，与函数y＝x(x∈R)对应关系相同，但定义域不同，故A错；函数y＝＝|x|(x∈R)与函数y＝x(x∈R)的对应关系不同，故C错；函数y＝＝x(x≠0)与函数y＝x(x∈R)的定义域不同，故D错；函数y＝＝x(x∈R)与函数y＝x(x∈R)对应关系相同，定义域也相同，故B正确．
3．△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由p∥q，得(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，则b2＋a2－c2＝ab.由余弦定理，得cos C＝＝，又C∈(0，π)，所以C＝.
4．对以下两组数据进行分析，下列说法不正确的是( )
甲：8 12 13 27 24 37 22 20 25 26
乙：9 14 13 11 18 19 20 21 21 23
A．甲的极差是29 B．甲的中位数是25
C．乙的众数是21 D．甲的平均数比乙的大
答案 B
解析 将甲、乙两组数据进行整理可知甲的最大值为37，最小值为8，所以甲的极差为29，故A正确；甲中数据按从小到大的顺序排列后，中间的两个数为22，24，所以甲的中位数为×(22＋24)＝23，故B错误；乙中数据出现次数最多的是21，所以众数是21，故C正确；甲中数据集中在20以上，乙中数据集中在10和20之间，所以甲的平均数大，故D正确．故选B.
5．以下四个命题中，正确的是( )
A．向量a＝(1，3)与向量b＝(3，6)平行
B．△ABC为直角三角形的充要条件是·＝0
C．|(a·b)c|＝|a|·|b|·|c|
D．若{a，b，c}为空间的一个基底，则a＋b，b＋c，c＋a构成空间的另一基底
答案 D
解析 因为{a，b，c}为空间的一个基底，设a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，即无解，所以a＋b，b＋c，c＋a不共面，故D正确；因为＝≠，所以a＝(1，－1，3)和b＝(3，－3，6)不平行，故A错误；△ABC为直角三角形只需一个角为直角即可，不一定是∠A，所以无法推出·＝0，故B错误；若a·b＝0即可得出C项错误．综上所述，本题的正确答案为D.
6．甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别是0.6，0.7，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为( )
A．0.42 B．0.28
C．0.18 D．0.12
答案 D
解析 ∵甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6，0.7，两人考试相互独立，
∴甲、乙两人都未达到优秀的概率为P＝(1－0.6)(1－0.7)＝0.12.故选D.
7．在四面体OABC中，空间的一点M满足＝＋＋λ，若M，A，B，C四点共面，则λ等于( )
A. B.
C. D.
答案 A
8.如图，在正四棱锥S－ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点．当点P在线段MN上运动时，下列四个结论：
①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面SBD；④EP⊥平面SAC.
其中恒成立的为( )
A．①③ B．③④
C．①② D．②③④
答案 A
解析
如图所示，连接NE，ME.∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EN∥SB，MN∥SD.又EN∩MN＝N，SB∩SD＝S，∴平面SBD∥平面NEM，∴EP∥平面SBD，③恒成立．由正四棱锥S－ABCD，知AC⊥平面SBD，∴AC⊥平面NEM，∴AC⊥EP，①恒成立．②④对于线段MN上的任意一点P不一定成立．故选A.
二、多项选择题：本大题共4个小题每小题5分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列结论正确的是( )
A．－是第三象限角
B．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为
C．若角α的终边过点P(－3，4)，则cos α＝－
D．若角α为锐角，则角2α为钝角
答案 BC
解析 －的终边与相同，为第二象限角，所以A不正确；
设扇形的半径为r，r＝π，所以r＝3，
扇形的面积为×3×π＝，所以B正确；
角α的终边过点P(－3，4)，根据三角函数的定义，cos α＝－，所以C正确；
当角α为锐角时，0<α<，0<2α<π，所以D不正确．
10．已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是( )
A．(4，－8) B．(8，4)
C．(－4，－8) D．(－4，8)
答案 AD
11．下列说法中正确的是( )
A．三点确定一个平面
B．三角形一定是平面图形
C．梯形一定是平面图形
D．不重合的平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点
答案 BC
12．下列说法正确的是( )
A．函数f(x)＝x2＋2x－8的零点是(－4，0)，(2，0)
B．方程ex＝3＋x有两个解
C．函数y＝3x，y＝log3x的图象关于y＝x对称
D．用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1，2)内的近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间(1.25，1.5)上
答案 BCD
解析 函数f(x)＝x2＋2x－8的零点是－4，2，故A不正确．
画出y＝ex和y＝3＋x的图象(图略)，图象有2个交点，∴方程ex＝3＋x有两个解，故B正确；
由反函数的性质知C正确；
∵f(1.25)·f(1.5)<0，故方程的根落在区间(1.25，1.5)上，故D正确．
三、填空题：本大题共4小题，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。
13．在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD中点，则＝____________________．(用a，b，c表示)
答案 a＋b＋c
解析 ＝＋＝＋×(＋)
＝＋(－＋－)
＝＋＋＝a＋b＋c.
14．已知复数z＝(a∈R)的实部等于虚部，则a＝________．
答案 －1
解析 由题意得，z＝＝－i，所以＝－，所以a＝－1.
15．设函数f(x)＝1－2x2，g(x)＝x2－2x，若F(x)＝则函数F(x)的最大值为________．
答案
解析 作出函数F(x)的图象如图所示，当f(x)＝g(x)时，即1－2x2＝x2－2x，解得x＝－或x＝1，则由图象可知F(x)max＝F＝.
16．已知正数x，y满足2x＋y＝1，则的最小值是________．
答案 25
解析 因为x>0，y>0，且2x＋y＝1，所以＝＝1＋＝1＋＋＝1＋(2x＋y)＝13＋＋≥13＋2＝25，
当且仅当y＝2x，即y＝，x＝时等号成立，因此，的最小值是25.
四、解答题：本大题共6个小题，共70分。解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．(10分)函数f(x)是R上的偶函数，且当x>0时，函数的解析式为f(x)＝－1.
(1)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数；
(2)求当x<0时，函数的解析式．
解析 (1)证明：任取x1，x2，使0f(x1)－f(x2)＝－＝，
∵00，x2－x1>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
(2)设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－－1.
又f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝－－1.
故f(x)＝－－1(x<0)．
18．(12分)已知函数f(x)＝cos2x＋sin xcos x＋1，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在上的最大值和最小值，并求函数取得最大值和最小值时自变量x的值．
解析 f(x)＝cos2x＋sin xcos x＋1＝cos 2x＋sin 2x＋＝sin＋.
(1)f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)∵x∈，∴2x＋∈.
∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝＋＝.
当2x＋＝或2x＋＝，即x＝或x＝时，
f(x)min＝＋＝.
19．（12分）已知A，B，C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a，b，c，若cos Bcos C－sin Bsin C＝.
(1)求A；
(2)若a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面积．
解析 (1)∵cos Bcos C－sin Bsin C＝，
∴cos (B＋C)＝.
∵A＋B＋C＝π，∴cos (π－A)＝.∴cos A＝－.
又∵0(2)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc·cos A，
则(2)2＝(b＋c)2－2bc－2bc·cos ，
∴12＝16－2bc－2bc×.∴bc＝4.
∴S△ABC＝bc·sin A＝×4×＝.
20.（12分）如图，已知ABCD－A1B1C1D1是四棱柱，底面ABCD是正方形，AA1＝3，AB＝2，且∠C1CB＝∠C1CD＝60°，设＝a，＝b，＝c.
(1)试用a，b，c表示；
(2)已知O为对角线A1C的中点，求CO的长．
解析 (1)＝＋＋＝－＋－
＝－－－＝－c－b－a＝－a－b－c.
(2)由题意知|a|＝2，|b|＝2，|c|＝3，
a·b＝0，a·c＝2×3×＝3，b·c＝2×3×＝3，
∵＝＝(a＋b＋c)，
∴||＝
＝
＝
＝＝.
21．(12分)M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩(单位：分)如下：
男：165 166 168 172 173 174 175 176 177 182 184 185 193 194
女：168 177 178 185 186 192
公司规定：成绩在180分以上(包括180分)者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．
(1)求男生成绩的中位数及女生成绩的平均数；
(2)如果用分层随机抽样的方法从“甲部门”的人选和“乙部门”的人选中共选取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一个是“甲部门”人选的概率是多少？
解析 (1)男生共有14人，中间两个成绩是175和176，因此男生成绩的中位数是175.5.女生成绩的平均数
＝＝181.
(2)用分层随机抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选共20人中抽取5人，每个人被抽中的概率是＝.
由题意可知，“甲部门”的人选有8人，“乙部门”的人选有12人．
所以选取的“甲部门”的人选有8×＝2(人)，
“乙部门”的人选有12×＝3(人)．
记选中的“甲部门”的人选为A1，A2，选中的“乙部门”的人选为B，C，D.从这5人中选2人的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，B)，(A1，C)，(A1，D)，(A2，B)，(A2，C)，(A2，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共10种．
其中至少有一个是“甲部门”的人选的结果有7种．
因此，至少有一个是“甲部门”的人选的概率是.
22．(12分)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2.
(1)求证：AC⊥平面BB1C1C；
(2)在A1B1上是否存在一点P，使得DP与平面BCB1和平面ACB1都平行？证明你的结论．
解析 (1)证明：∵直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，且AC 平面ABCD，∴BB1⊥AC.
又∵∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2，
∴AC＝，∠CAB＝45°.
∴BC＝.∵BC2＋AC2＝AB2，∴BC⊥AC.
又BB1∩BC＝B，BB1 平面BB1C1C，BC 平面BB1C1C，∴AC⊥平面BB1C1C.
(2)存在点P，P为A1B1的中点．
证明如下：由P为A1B1的中点，有PB1∥AB，且PB1＝AB.
∵DC∥AB，DC＝AB，
∴DC∥PB1，且DC＝PB1.
∴四边形DCB1P为平行四边形，从而CB1∥DP.
又CB1 平面ACB1，DP 平面ACB1，
∴DP∥平面ACB1.同理，DP∥平面BCB1.