1.1.2空间向量的数量积运算 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
1.1 空间向量及其运算
1.1.2 空间向量的数量积运算
学习目标
1.会识别空间向量的夹角.
2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.
3.能用空间向量数量积解决简单的立体几何问题.
核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象
复习引入
由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义.
如图，已知两个非零向量在空间任取一点，作则叫做向量的夹角，记作.
通常规定，.这样，两个向量的夹角是唯一确定的，且.
新知探究
问题导入：在正方体为的中点，点为上靠近的三等分点处，如何确定， 的夹角？
我们知道任意两个空间向量可平移到同一平面，因此可转化为平面向量再求其夹角。
两平面向量的夹角是如何求得的？该过程能推广到空间吗？
新知探究
如图，已知两个非零向量在空间任取一点，作则叫做向量的夹角，记作.
如果，那么向量互相垂直，记作.
通常规定，.这样，两个向量的夹角是唯一确定的，且.
空间向量夹角定义
新知探究
思考：类比平面向量的数量积，你能给出空间向量数量积的定义吗？
已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作.即.
特别地，零向量与任意向量的数量积为0.
向量的数量积定义，可以得到：
.
平面向量的数量积 空间向量的数量积
已知非零向量a，b，|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积（inner product），记作a · b . 即
a · b＝|a||b|cos〈a，b〉.
特别地，零向量与任意向量的数量积为0.
思考 平面向量的数量积是什么？你能类比平面向量，给出空间向量数量积的运算吗？
平面向量的数量积 空间向量的数量积
由向量数量积定义，可以得到：
① 若a，b是非零向量，a⊥b a · b＝0；
② a · a＝a 2＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2 .
证明空间中的垂直关系
求空间中线段的长度
思考 平面向量的数量积是什么？你能类比平面向量，给出空间向量数量积的运算吗？
空间向量数量积的运算律
数量积的计算
例　如图所示，在棱长为1的正四面体中，，分别是，的中点，求：
典例剖析
＝cos 60°－cos 60°＝0.
反思感悟 求空间向量数量积的步骤
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积.
(3)代入＝求解.
跟踪训练　(1)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b等于（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
A
解析　∵且
∴
＝3＋0－2＝1.
2
＝4－0＋0－2＝2.
如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠BCA＝90°，CA＝CB＝1，棱AA1＝2，点N为AA1的中点．
求cos〈，〉的值．
解　因为＝－＝＋－， ＝＋，
所以||2＝()2＝2＋2＋2＝12＋22＋12＝6，||＝，
||2＝(＋)2＝2＋2＝12＋22＝5，||＝，
＝()·()＝2－2＝22－12＝3，
所以cos〈，〉＝＝＝
利用数量积求夹角
空间向量的数量积
空间向量的数量积
求两个非零向量夹角的两种途径
(1)转化求角：把向量夹角转化为平面几何中的对应角，利用解三角形的知识求解．
(2)利用数量积求夹角的余弦值：cos〈，〉=
方法总结
探究
利用数量积求距离或长度
例 如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,沿着它的对角线AC将△ACD折起,使AB与CD成60°角,求此时B,D间的距离.
例、如图，m、n是平面a内的两条相交直线，如果
l⊥m，l⊥n，求证：l⊥a
m
n
l
g
习题1.1#8、在平面内的一条直线，如果和这个平面的
一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
a
O
P
A
l
已知：如图，PO，PA分别是平面a
的垂线、斜线，AO是PA在平面a内
的射影，l a，且l⊥OA，
求证： l⊥PA
例、已知空间四边形ABCD的每条边和AC、BD的
长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，
（1）求证：AB⊥CD；
A
B
C
D
E
F
例、已知空间四边形ABCD的每条边和AC、BD的
长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，
（1）求证：AB⊥CD；
（2）求AE、CF所成角的余弦值；
解：∵点E、F分别是BC、AD的中点
A
B
C
D
E
F
例、已知空间四边形ABCD的每条边和AC、BD的
长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，
（1）求证：AB⊥CD；
（2）求AE、CF所成角的余弦值；
A
B
C
D
E
F
1.已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－ b)·a等于( )
√
巩固练习
解 (2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|cos 120°
2.已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝ ,则两直线的夹角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
所以θ＝1200,则两个方向向量对应的直线的夹角为1800－1200＝60°.
√
巩固练习
3.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，
则 的值为（ ）
√
4.已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝____.
22
解 |a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，∴2a·b＝46，
|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484，故|a－b|＝22.
5.已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝_____.
60°
解　由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，
代入上面两个式子中的任意一个，得|a|＝|b|，
所以〈a，b〉＝60°.
巩固练习
(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，两式相减得46a·b＝23|b|2，
解 不妨设正方体的棱长为1，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，
∴异面直线A1B与AC所成的角为60°.
巩固练习
6.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线A1B与AC所成的角.
∴BD⊥PC.
巩固练习
7.如图，正四棱锥P－ABCD的各棱长都为a.
(1)用向量法证明BD⊥PC；
＝a2＋a2＋a2＋0＋2a2cos 600＋2a2cos 600＝5a2，
课堂小结
感谢您的观看