单元复习15 概率
一、单选题
1．随机事件“连续掷一颗筛子直到出现5点停止，观察掷的次数”的样本空间是（ ）
A．5 B．1到6的正整数 C．6 D．一切正整数
【答案】D
【分析】根据样本空间的概念即可求解.
【解析】连续掷一颗筛子直到出现5点停止，观察投掷的次数，
由于事件发生是随机的，投掷的次数可能无限大，样本空间是一切正整数.
故选：D.
2．从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据古典概型概率计算公式直接计算.
【解析】有三件正品（用，，表示）和一件次品（用表示）的产品中任取两件的样本空间，恰有一件次品，
由古典概型得，
故选：D.
3．甲、乙、丙三人玩传球游戏，每个人都等可能地把球传给另一人，由甲开始传球，作为第一次传球，经过3次传球后，球回到甲手中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据古典概型运算公式进行求解即可.
【解析】设甲、乙、丙三人用，
由题意可知：传球的方式有以下形式，
，
所求概率为.
故选：C
4．已知事件A，B，C两两互斥，若，，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据事件A，，两两互斥，求出，进而利用求出答案.
【解析】因为事件A，，两两互斥，所以，
所以.
故选：B．
5．设某种产品分两道独立工序生产，第一道工序的次品率为，第二道工序的次品率为，生产这种产品只要有一道工序出次品就将生产次品，则该产品的次品率是（ ）
A．0.873 B．0.13 C．0.127 D．0.03
【答案】C
【分析】求出正品率，再用1减去正品率，即得次品率.
【解析】由题意，次品率为.
故选：C
6．设A，B是同一试验中的两个随机事件，与分别是事件，事件发生的概率，若，，则“”是“事件A，B为对立事件”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】B
【分析】根据对立事件的概念及充分条件必要条件的定义分析即得.
【解析】因为，，若事件A，B为对立事件，则；
但推不出两个事件，对立；如掷一颗骰子，事件为出现1点，2点，3点；事件为出现3点，4点，5点，此时，但两个事件不对立，
所以“”是“事件A，B为对立事件”的必要不充分条件.
故选：B.
二、多选题
7．(多选题)以下现象不是随机现象的是（ ）
A．在相同的条件下投掷一枚均匀的硬币两次，正反两面都出现
B．明天下雨
C．同种电荷相互排斥
D．平面四边形的内角和是360°
【答案】CD
【分析】根据随机现象的概念即可做出判断.
【解析】根据随机现象的概念可知，A、B是随机现象，C、D是确定性现象，故选CD.
【点睛】本题考查随机现象的概念，关键是区分随机现象，必然现象和不可能现象，属基础题.
8．下列说法中错误的是（ ）
A．抛掷硬币出现正面向上的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上
B．如果某种彩票的中奖概率为，那么买10张这种彩票一定能中奖
C．在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过上抛均匀塑料圆板并让运动员猜着地时是正面还是反面来决定哪一方先发球，这样做公平
D．一个骰子掷一次得到点数2的概率是，这说明一个骰子掷6次会出现一次点数2
【答案】ABD
【分析】根据事件发生的随机性，即可判断正误.
【解析】概率反映的是随机性的规律，但每次试验出现的结果具有不确定性，因此A、B、D错误；抛掷均匀塑料圆板出现正面与反面的概率相等，是公平的，因此C正确.
故选：ABD.
9．在一次随机试验中，已知A，B，C三个事件发生的概率分别为0.2，0.3，0.5，则下列说法不正确的是（ ）
A．B与C是互斥事件 B．与C是对立事件
C．是必然事件 D．
【答案】ABC
【分析】由三个事件A,B,C之间没有任何关系判断A、B、C选项．根据事件和的概率性质可判断D正确．
【解析】A，B，C三个事件发生的概率分别为0.2，0.3，0.5，
对于选项A，B与C有可能同时发生，故不一定是互斥事件，故A错误；
对于选项B，与C有可能同时发生，故不一定是对立事件，故B错误；
对于选项C，A，B，C不一定是互斥事件，故不一定是必然事件，故C错误；
对于选项D，，，故D正确.
故选：ABC.
10．设，是两个概率大于0的随机事件，则下列说法正确的是（ ）
A．若事件和是对立事件，则
B．若事件和是互斥事件，则
C．若事件和相互独立，则
D．若事件和相互独立，则
【答案】AD
【分析】根据互斥事件，对立事件和独立事件的定义和性质分析判断即可
【解析】若，是对立事件，则事件，满足，所以A选项正确；
若事件，互斥，如：投掷一枚均匀的骰子，设{向上的点数是1}，{向上的点数是2}，则，互斥，，所以B选项错误；
只有当和互斥时，，所以C选项错误；
若和相互独立，则，所以D选项正确.
故选：AD
三、填空题
11．先后掷一枚质地均匀的骰子两次，落在水平桌面后，记朝上的面的点数分别为x，y，则事件A:x，y都为偶数，事件B:x≠y的交事件包含的样本点的个数为___.
【答案】6
【分析】根据给定条件，一一列举出即可.
【解析】由题意知，事件A与B的交事件包含的样本点为（2，4），（2，6），（4，2），（4，6），（6，2），（6，4）， 共6个.
故答案为：6
12．某人抛图钉250次，其中钉尖向上有70次，钉尖向上的经验概率是______.
【答案】
【分析】计算事件钉尖向上的频率，利用频率估计概率.
【解析】因为抛图钉250次，事件钉尖向上有70次，
所以事件钉尖向上发生的频率为，
所以钉尖向上的经验概率是.
故答案为：.
13．2022年12月18日在卡塔尔世界杯决赛中，阿根廷队以总分7比5战胜法国队，历时28天的2022卡塔尔世界杯也缓缓落下了帷幕．随后某电视台轮流播放半决赛及以后的这4场足球赛（如图），某人随机选3场进行观看，其中恰好总决赛、季军赛被选上的概率为______．
【答案】##0.5
【分析】4场足球赛，选3场进行观看，基本事件共4个，其中恰好总决赛、季军赛被选上的基本事件数有2个，求出概率即可.
【解析】由图可知：比赛共有4场，半决赛2场，季军赛1场，总决赛1场．选其中3场的基本事件共有4种，其中季军赛、总决赛被选上的基本事件共有2种，故概率为．
故答案为：.
14．从m名男生和n名女生中任选3人去参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为，那么所选3人都是男生的概率为______.
【答案】##0.2
【分析】利用对立事件的概率公式计算即可得出结论.
【解析】解析 设事件A表示“所选3人中至少有1名女生”，事件B表示“所选3人都为男生”，则A，B互为对立事件，所以.
故答案为：.
四、解答题
15．两个口袋，每个袋中有3个大小质地相同的小球，分别标有数字1，2，3.现分别从每一个袋中取一个小球，观察其上标的数字.
(1)写出试验样本空间；
(2)设事件A=“两个小球都是奇数”，B＝“两个小球的和为4”，求：
①事件A的概率；
②事件B的概率.
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）利用列举法求得正确答案.
（2）根据古典概型概率计算公式求得事件的概率.
【解析】（1）样本空间如下：
，
（2）①，事件包括的基本事件为：，共种，
所以.
②，事件包括的基本事件为：，共种，
所以.
16．有1号、2号、3号三个信箱和A，B，C，D四封信，若4封信可以任意投入信箱，投完为止，其中A信恰好投入1号或2号信箱的概率是多少？
【答案】
【分析】信件投入各个信箱的可能性是相等的，古典概型概率计算公式可得.
【解析】由于每封信可以任意投入信箱，对于A信，投入各个信箱的可能性是相等的，一共有3种不同的结果．
投入1号信箱或2号信箱有2种结果，故A信恰好投入1号或2号信箱的概率为.
17．某班级有45%的学生喜欢打羽毛球，80%学生喜欢打乒乓球；两种运动都喜欢的学生有30%.现从该班随机抽取一名学生，求以下事件的概率：
(1)只喜欢打羽毛球；
(2)至少喜欢以上一种运动；
(3)只喜欢以上一种运动；
(4)以上两种运动都不喜欢.
【答案】(1)0.15
(2)0.95
(3)0.65
(4)0.05
【分析】（1）首先表示出A＝“喜欢打羽毛球”，B＝“喜欢打乒乓球”，然后根据题意求得
，从而即可求解.
（2）根据和事件的计算公式即可求解.
（3）根据上一问求得，再利用事件的关系即可求解.
（4）利用对立事件的公式即可求解.
【解析】（1）设：A＝“喜欢打羽毛球”，B＝“喜欢打乒乓球”
只喜欢打羽毛球：
（2）至少喜欢以上一种运动：
＝
（3）只喜欢以上一种运动：
＝
（4）以上两种运动都不喜欢：
＝
一、单选题
1．随机事件“连续掷一颗筛子直到出现5点停止，观察掷的次数”的样本空间是（ ）
A．5 B．1到6的正整数 C．6 D．一切正整数
【答案】D
【分析】根据样本空间的概念即可求解.
【解析】连续掷一颗筛子直到出现5点停止，观察投掷的次数，
由于事件发生是随机的，投掷的次数可能无限大，样本空间是一切正整数.
故选：D.
2．某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关．如果最高气温不低于，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间内，需求量为300瓶；如果最高气温低于，需求量为100瓶．为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
最高气温
天数 3 6 25 38 18
将最高气温位于各区间的频率视为最高气温位于该区间的概率，若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x瓶的概率估计值为0.1，则（ ）A．100 B．300 C．400 D．600
【答案】B
【解析】命题意图 本题考查用样本频率估计总体的概率．
解析 由表格数据知，最高气温低于的频率为，所以6月份这种冷饮一天的需求量不超过300瓶的概率估计值为0.1．
3．独立地重复一个随机试验次，设随机事件发生的频率为，随机事件发生的概率为，有如下两个判断：①如果是单元素集，则；②集合不可能只含有两个元素，其中（ ）
A．①正确，②正确 B．①错误，②正确
C．①正确，②错误 D．①错误，②错误
【答案】B
【分析】对于①，举反例可判断①的正误；对于②，利用频率与概率的关系可判断②正误，即可得出结论.
【解析】对于①，比如定义随机试验：从个红球中任意抽取个球，
定义随机事件三个球中有一个白球，则，且，①错；
对于②，频率会随着试验的变化而变化，是一个变化的值，但随着试验次数的增加，频率会接近于概率，
因此，不可能只含有两个元素，②对.
故选：B.
4．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将齐王与田忌的上、中、下等马编号，列出双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛的基本事件即可利用古典概率计算作答.
【解析】齐王的上等马、中等马、下等马分别记为A，B，C，田忌的上等马、中等马、下等马分别记为a，b，c，
双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，依题意，共赛3场，所有基本事件为：
，共6个基本事件，它们等可能，
田忌获胜包含的基本事件为：，仅只1个，
所以田忌获胜的概率.
故选：D
5．篮球队的5名队员进行传球训练，每位队员把球传给其他4人的概率相等，由甲开始传球，则前3次传球中，乙恰好有1次接到球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】考虑前3次传球中，乙恰好有1次接到球的情况有只在第一次接到球和只在第二次接到球以及只在第三次接到球，根据独立事件的乘法公式以及互斥事件的加法公式即可求得答案.
【解析】由题意可知每位队员把球传给其他4人的概率都为，
由甲开始传球，则前3次传球中，乙恰好有1次接到球的情况可分为：
只在第一次接到球和只在第二次接到球以及只在第三次接到球，
则概率为，
故选：D
6．从一批产品（既有正品也有次品）中随机抽取三件产品，设事件A=“三件产品全不是次品”，事件B=“三件产品全是次品”，事件C=“三件产品有次品，但不全是次品”，则下列结论中不正确的是（ ）
A．A与C互斥 B．B与C互斥
C．A、B、C两两互斥 D．A与B对立
【答案】D
【分析】随机抽取三件产品，得出总事件，再分别得出事件A，事件B，事件C包含的事件，再由互斥事件及对立事件的定义即可判断出结果.
【解析】随机抽取三件产品，总事件中包含“0件次品，3件正品”，“1件次品，2件正品”，“2件次品，1件正品” ，“3件次品，0件正品”
事件A=“三件产品全不是次品”即“0件次品，3件正品”，
事件B=“三件产品全是次品”即“3件次品，0件正品”，
事件C=“三件产品有次品，但不全是次品” 即“1件次品，2件正品”，“2件次品，1件正品”
由互斥事件的定义知：A、B、C两两互斥，故ABC正确；
由互斥事件的定义知：A与B互斥，但是A与B的和事件不是总事件，故A与B对立不是对立事件，故D错误.
故选：D.
二、多选题
7．下列有关古典概型的说法中，正确的是（ ）
A．试验的样本空间的样本点总数有限
B．每个事件出现的可能性相等
C．每个样本点出现的可能性相等
D．已知样本点总数为，若随机事件包含个样本点，则事件发生的概率
【答案】ACD
【分析】根据古典概型的定义逐项判断即可.
【解析】由古典概型概念可知：试验的样本空间的样本点总数有限；每个样本点出现的可能性相等.
故AC正确；每个事件不一定是样本点，可能包含若干个样本点，所以B不正确；
根据古典概型的概率计算公式可知D正确．
故选：ACD
8．从集合中随机选取一个数记为a，从集合中随机选取一个数记为b，则（ ）
A．的概率是
B．的概率是
C．直线不经过第三象限的概率是
D．的概率是
【答案】AC
【解析】先列出所有可能的取法，再分别求出四个选项中事件发生包含的基本事件的个数，利用古典概型概率公式即可分别求出对应的概率，即可得正确答案.
【解析】由题意可得所有可能的取法有
，，，，，，，，，，，共12种，
对于选项A：满足的取法有共6种，
所以的概率，故选项A正确；
对于选项B：满足的取法有，共7种，所以的概率，故选项B不正确；
对于选项C：因为直线不经过第三象限，所以，所有满足直线不经过第三象限的取法有，共4种，
所以直线不经过第三象限的概率，故选项C正确；
对于选项D：因为，所以，所有满足的取法有，共3种，故的概率，故选项D不正确，
故选：AC
【点睛】思路点睛：求古典概型问题的思路
（1）计算出可能发生的基本事件的总数；
（2）随机事件发生所包含的基本事件的个数；
（3）利用古典概率公式计算事件发生的概率.
9．已知A，B为两个随机事件，且，，则（ ）
A．
B．若A，B为互斥事件，则
C．若，则A，B为相互独立事件
D．若A，B为相互独立事件，则
【答案】BCD
【分析】由互斥事件且可得且，即可判断A、B；利用独立事件的性质及已知概率值判断C、D.
【解析】若为互斥事件，又，则且，故，，故A错误，B正确；
若，即，故A，B为相互独立事件，C正确；
若A，B为相互独立事件，则也相互独立，即，又，
而，
故，D正确.
故选：BCD
10．在不透明的甲、乙两个盒子中分别装有除标号外完全相同的小球，甲盒中有4个小球，标号分别为1，2，3，4，乙盒中有3个小球，标号分别为5，6，7．现从甲、乙两个盒里分别随机抽取一个小球，记事件“取到标号为2的小球”，事件“取到标号为6的小球”，事件“两个小球标号都是奇数”，事件“两个小球标号之和大于9”，则（ ）
A．事件与事件相互独立 B．事件与事件互斥
C． D．
【答案】ACD
【分析】穷举出所有样本空间，根据题意和古典概型求取对应事件概率即可.
【解析】从甲盒、乙盒里分别随机抽取一个小球的样本空间为：，，，，，，，，，，，，共12种．
事件：，，，；事件：，，，，
，，，故A正确；
事件和事件都有，事件与事件不互斥，故B不正确；
事件：，，，，，故C正确；
事件：，，，，，
，故D正确．
故选：A、C、D．
三、填空题
11．若从两男两女四人中随机选出两人，设两个男生分别用表示，两个女生分别用 表示，相应的样本空间为，则与事件“选出一男一女”对应的样本空间的子集为______.
【答案】
【分析】根据题意选出一男一女，即从中选一个，从中选一个，即可得答案.
【解析】由题意可知与事件“选出一男一女”对应的样本空间的子集为，
故答案为：
12．从3男2女共5名医生中，抽取2名医生参加社区核酸检测工作，则至少有1名女医生参加的概率为___________．
【答案】##0.7
【分析】根据古典概型公式计算即可．
【解析】解：将3名男性医生分别设为a，b，c，2名女性医生分别设为d，e，
则这个试验的样本空间可记为，
共包含10个样本点，
记事件A为至少有1名女医生参加，
则，
则A包含的样本点个数为7，
∴．
故答案为：．
13．端午节吃粽子是我国的传统习俗，若一盘中共有两种粽子，其中3个蜜枣粽子，4个蛋黄粽子，现从盘中任取2个都是相同馅粽子的概率为______；
【答案】
【分析】根据古典概型的公式计算即可．
【解析】解：设从盘中任取2个都是相同馅粽子为事件A，
则．
故答案为：．
四、解答题
14．在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件={出现1点}，事件={出现2点}，事件={出现3点}，事件={出现4点}，事件={出现5点}，事件={出现6点}，事件={出现的点数不大于1}，事件={出现的点数大于3}，事件={出现的点数小于5}，事件E={出现的点数小于7}，事件F={出现的点数为偶数}，事件G={出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，请举出符合包含关系、相等关系的事件；
【答案】答案见解析
【分析】根据事件的包含关系和相等关系的概念，即可得到答案.
【解析】因为事件，，，发生，则事件必发生，
所以，，，．
所以事件包含事件，，，；
同理可得，事件E包含事件，，，，，；
事件包含事件，，；
事件F包含事件，，；
事件G包含事件，，．
因为在掷骰子的试验中，出现的点数不大于1即为出现1点，
所以事件与事件相等，即．
15．从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：、、…、，并整理得到如下的频率分布直方图．
(1)从该网络平台推荐的影视作品中随机抽取1部，估计评分不小于90分的概率；
(2)用分层抽样的方式从评分不小于90分的影视作品中随机抽取5部作为样本，设x为评分在区间内的影视作品数量，求x的值；
(3)从（2）得到的样本中随机抽取2部影视作品提供给学生寒假观看，求两部影视作品的评分都在区间的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据频率估计概率，计算评分不小于90分的频率即可；
（2）根据分层抽样计算即可；
（3）结合（2），列举基本事件，根据古典概型公式求解即可.
【解析】（1）解：由频率分布直方图可知，评分不小于90分的频率为，
所以，根据频率估计概率，该网络平台推荐的影视作品中随机抽取1部，估计评分不小于90分的概率为
（2）解：由频率分布直方图可知，评分在之间的有部，
评分在之间的有部，
所以，用分层抽样的方式从评分不小于90分的影视作品中随机抽取5部作为样本，
评分在有部，评分在之间的有部，
所以，评分在区间内的影视作品数量的值为.
（3）解：由（2）知，记评分在的部影片为，评分在之间的部影片为，
所以，样本中随机抽取2部影视作品提供给学生寒假观看，可能的情况有：
，共10种，
其中，两部影视作品的评分都在区间的情况有，共3种，
所以，两部影视作品的评分都在区间的概率为
16．某市为了了解中学生课外阅读情况，随机抽取了名高一学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表．
组号 分组 频数 频率
1 50 0.05
2 a 0.35
3 300 b
4 200 0.20
5 100 0.10
合计 1000 1
(1)求，的值，并在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图（用阴影涂）；
(2)根据频率分布直方图估计该组数据的众数及平均数；
(3)现从第4，5组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中任意抽取人进行调研《红楼梦》的阅读情况，求抽取的人中至少有一人是第组的概率．（请列举出样本空间作答）
【答案】(1)，频率分布直方图见解析；
(2)众数，平均数；
(3).
【分析】（1）根据频率分布表，利用频率求出频数a，计算频率得b，再作出频率分布直方图作答.
（2）利用频率分布直方图估计众数和平均数的方法求解作答.
（3）利用列举法结合古典概率公式计算作答.
（1）由频率分布表知，，解得，，频率分布直方图如图：
（2）由频率分布直方图知，数据落在区间内的频率最大，则估计该组数据的众数为7.5，该组数据的平均数为.
（3）第4，5组共300人，用分层抽样的方法从中抽取人，则第4组有人，这4人记为a，b，c，d，第5组有2人，这两人记为E，F，从这人中任意抽取人的样本空间为：，共15个样本点，抽取的人中至少有一人是第组的事件M含有的样本点为：，共9个，所以抽取的2人中至少有一人是第5组的概率为.
17．11分制乒乓球比赛，每赢1球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．已知甲乙两位同学进行11分制乒乓球比赛，双方10：10平后，甲先发球 假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．
(1)求事件“两人又打了2个球比赛结束”的概率：
(2)求事件“两人又打了4个球比赛结束且甲获胜”的概率．
【答案】(1)0.5
(2)0.1
【分析】（1）设双方10：10平后的第个球甲获胜为事件，又打了个球比赛结束，则由能求出结果．
（2）且甲获胜，由此能求出事件“且甲获胜”的概率．
【解析】（1）设双方10：10平后的第个球甲获胜为事件，又打了个球比赛结束，
则；
（2）且甲获胜
.
一、单选题
1．（2023·河南·许昌实验中学校联考二模）甲、乙、丙三人玩传球游戏，每个人都等可能地把球传给另一人，由甲开始传球，作为第一次传球，经过3次传球后，球回到甲手中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据古典概型运算公式进行求解即可.
【解析】设甲、乙、丙三人用，
由题意可知：传球的方式有以下形式，
，
所求概率为.
故选：C
2．（2023·陕西·统考二模），，，四人之间进行投票，各人投自己以外的人票的概率都是（个人不投自己的票），则仅一人是最高得票者的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】确定的得票数，分情况计算概率，求和即可.
【解析】若仅一人是最高得票者，
则的票数为，．
若的票数为，则；
若的票数为，则，，三人中有两人投给，剩下的一人与不能投同一个人，．
所以仅一人是最高得票者的概率为，
故选：C.
3．（2023·四川巴中·统考一模）随机郑两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和除以4，余数分别为，所对应的概率分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】用表格列举出所有可能的余数情况，并确定余数为对应概率，即可得结果.
【解析】由题设，两枚骰子所得点数和除以4的余数情况如下：
除以4的余数 1 2 3 4 5 6
1 2 3 0 1 2 3
2 3 0 1 2 3 0
3 0 1 2 3 0 1
4 1 2 3 0 1 2
5 2 3 0 1 2 3
6 3 0 1 2 3 0
由上表知：共36种情况，其中余数为分别有9种、8种、9种、10种，
所以.
故选：A
4．（2023·四川成都·统考二模）甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲对乙每局获胜的概率都为，比赛采取三局两胜制（当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛结束），则甲获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】按照相互独立事件的概率乘法法则，分类计算求和即可.
【解析】分三类：
①甲直接获得前两局胜利，不进行第三局，此时甲获胜的概率为：；
②甲输第一局，赢后两局，此时甲获胜的概率为：；
③甲赢第一局和第三局，输第二局，此时甲获胜的概率为：.
故甲获胜的概率为：.
故选：B.
5．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）有6个大小相同的小球，其中1个黑色，2个蓝色，3个红色．采用放回方式从中随机取2次球，每次取1个球，甲表示事件“第一次取红球”，乙表示事件“第二次取蓝球”，丙表示事件“两次取出不同颜色的球”，丁表示事件“与两次取出相同颜色的球”，则（ ）
A．甲与乙相互独立 B．甲与丙相互独立
C．乙与丙相互独立 D．乙与丁相互独立
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出事件甲、乙、丙、丁的概率，再利用相互独立事件的定义判断作答.
【解析】依题意，事件甲的概率，事件乙的概率，有放回取球两次的试验的基本事件总数是，
显然事件丙与丁是对立事件，两次取出的球颜色相同含有的基本事件数为，
事件丙的概率，事件丁的概率，
对于A，事件甲与乙同时发生所含的基本事件数为6，其概率，甲与乙相互独立，A正确；
对于B，事件甲与丙同时发生所含的基本事件数为9，其概率，甲与丙不独立，B错误；
对于C，事件乙与丙同时发生所含的基本事件数为8，其概率，乙与丙不独立，C错误；
对于D，事件乙与丁同时发生所含的基本事件数为4，其概率，乙与丁不独立，D错误.
故选：A
6．（2023·全国·模拟预测）甲、乙两同学进行棒球比赛，约定连胜两局者胜出，比赛结束，最多比赛五局，若前四局不分胜负，则第五局胜者获胜，比赛结束．已知甲每局获胜的概率为，每局比赛没有平局，结果相互独立，则甲第一局获胜并最终获得胜利的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，甲第一局获胜并最终获得胜利，可能比赛两局、四局或五局，结合独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解.
【解析】由题意，甲第一局获胜并最终获得胜利，可能比赛两局、四局或五局，
当比赛两局时，则甲每局比赛的结果依次为胜胜，获胜的概率；
当比赛四局时，则甲每局比赛的结果依次为胜负胜胜，
则获胜的概率；
当比赛五局时，则甲每局比赛的结果依次为胜负胜负胜，
获胜的概率，
故甲第一局获胜并最终获得胜利的概率为．
故选：D.
二、多选题
7．（2023·江苏南京·南京师大附中校考一模）已知事件A，B满足，，则（ ）
A．若，则 B．若A与B互斥，则
C．若A与B相互独立，则 D．若，则A与B相互独立
【答案】BD
【分析】对于A，由题意可得，从而即可判断；
对于B，由互斥事件的概率计算公式计算即可；
对于C，先求得，再根据独立事件的计算公式计算即可；
对于D，判断是否成立即可.
【解析】解：对于A，因为，，，
所以，故错误；
对于B，因为A与B互斥，所以，故正确；
对于C，因为，所以，所以，故错误；
对于D，因为，即，所以，
又因为，所以，
所以A与B相互独立，故正确.
故选：BD
8．（2023·山东聊城·统考模拟预测）某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设M=“该家庭中有男孩、又有女孩”，N=“该家庭中最多有一个女孩”，则下列结论正确的是()
A．若该家庭中有两个小孩，则M与N互斥
B．若该家庭中有两个小孩，则M与N不相互独立
C．若该家庭中有三个小孩，则M与N不互斥
D．若该家庭中有三个小孩，则M与N相互独立
【答案】BCD
【分析】若该家庭中有两个小孩，写出对应的样本空间即可判断A和B;若该家庭中有三个小孩，写出对应的样本空间，即可判断C和D.
【解析】若该家庭中有两个小孩，样本空间为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，
(男，女)，(女，男)(男，男)，(男，女)，(女，男)(男，女)，(女，男)，
则M与N不互斥，，，，
于是，所以M与N不相互独立，则A错误、B正确；
若该家庭中有三个小孩，样本空间为(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)，
(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，
(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，则M与N不互斥，
，，，于是，
所以M与N相互独立，则C和D均正确．
故选：BCD．
三、填空题
9．（2021·陕西渭南·统考二模）甲 乙两人下中国象棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是__________.
【答案】
【分析】利用互斥事件的概率加法公式直接求解即可.
【解析】甲 乙两人下中国象棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，
所以甲获胜的概率是，
故答案为：.
10．（2023·全国·模拟预测）在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给正确答复，因此需要特别的调查方法．调查人员设计了一个随机化装置，在其中装有形状、大小、质地完全相同的个黑球和个白球，每个被调查者随机从该装置中抽取一个球，若摸到黑球则需要如实回答问题一：你公历生日是奇数吗？若摸到白球则如实回答问题二：你是否在考试中做过弊．若人中有人回答了“是”，人回答了“否”．则问题二“考试是否做过弊”回答“是”的百分比为（以人的频率估计概率）______．
【答案】##
【分析】计算出摸到黑球且回答“是”的人数，可求得摸到白球且回答“是”的人数，即可求得结果.
【解析】由题意可知，每名调查者从袋子中抽到个白球或黑球的概率均为，
所以，人中回答第一个问题的人数为，则另外人回答了第二个问题，
在摸到黑球的前提下，回答“是”的概率为，即摸到黑球且回答“是”的人数为，
则摸到白球且回答“是”的人数为，
所以，问题二“考试是否做过弊”且回答“是”的百分比为.
故答案为：.
四、解答题
11．（2023·陕西汉中·统考二模）“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心，据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，参与调查的人员中关注生态文明建设的约占80%.现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.
(1)求的值和这200人的平均年龄（每一组用该组区间的中点值作为代表）;
(2)现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求抽取的2人中至少有1人的年龄在第1组中的概率.
【答案】(1)0.035；41.5岁
(2)
【分析】（1）根据频率和为1求的值，再根据平均数的计算公式运算求解；
（2）根据古典概型结合对立事件分析运算.
【解析】（1）由小矩形面积和等于1可得：，
∴ ，
∴平均年龄为（岁）．
（2）第1组总人数为200×0.01×10＝20，第2组总人数为200×0.015×10＝30 ，
故根据分层抽样可得：第1组抽取人，设为，
第2组抽取人，设为，
∴从这5人中抽取2人有：，
共有10种等可能的结果，
若2人的年龄都在第2组的有，共3种等可能的结果，
即“至少1人的年龄在第1组中”为事件A，其概率为.
12．（2023·广西柳州·二模）第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京举办，为了普及冬奥知识，某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了10名学生，得到他们的分数统计如下表：
分数段
人数 1 1 1 2 2 2 1
规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为良好；80分及以上为优秀，将频率视为概率．
(1)此次比赛中该校学生成绩的优秀率是多少？
(2)在全校学生成绩为良好和优秀的学生中利用分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行冬奥知识演讲，求良好和优秀各1人的概率．
【答案】(1)0.3
(2)0.6
【分析】（1）由80分及以上的学生人数与抽取的总人数的比值进行求解；
（2）列举法求解古典概率求概率公式.
【解析】（1）∵80分及以上为优秀，
∴，
∴此次比赛中该校学生成绩的优秀率是0.3．
（2）∵成绩良好的学生人数与成绩优秀的学生人数之比为，
∴在成绩良好的学生中抽取2人，记为a，b；在成绩优秀的学生中抽取3人，记为C，D，E．
从a，b，C，D，E中随组抽取2人的所有基本事件为：，，，，，，，，，，共10种，
其中良好和优秀各1人的有：，，，，，，共6种．
∴良好和优秀各1人的概率为．
13．（2023·广东梅州·统考一模）甲 乙 丙 丁四支球队进行单循环小组赛（每两支队比赛一场），比赛分三轮，每轮两场比赛，第一轮第一场甲乙比赛，第二场丙丁比赛；第二轮第一场甲丙比赛，第二场乙丁比赛；第三轮甲对丁和乙对丙两场比赛同一时间开赛，规定：比赛无平局，获胜的球队记3分，输的球队记0分.三轮比赛结束后以积分多少进行排名，积分相同的队伍由抽签决定排名，排名前两位的队伍小组出线.假设四支球队每场比赛获胜概率以近10场球队相互之间的胜场比为参考.
队伍 近10场胜场比 队伍
甲 乙
甲 丙
甲 丁
乙 丙
乙 丁
丙 丁
(1)三轮比赛结束后甲的积分记为，求；
(2)若前二轮比赛结束后，甲 乙 丙 丁四支球队积分分别为3 3 0 6，求甲队能小组出线的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可知，代表甲获胜一场比赛，按比赛场次分情况讨论即可求得结果；（2）对第三局比赛结果进行分类讨论，对每种情况对应的积分再分别判断是否需要抽签，利用条件概率公式和概率加法公式即可求得结果.
【解析】（1）（1）设甲的第场比赛获胜记为（，2，3），
根据表格可知甲对乙、丙、丁比赛获胜的概率分别为，
则有
.
（2）分以下三种情况：
（i）若第三轮甲胜丁，另一场比赛乙胜丙，
则甲 乙 丙 丁四个球队积分变为6 6 0 6，
此时甲 乙 丁三支球队积分相同，要抽签决定排名，甲抽中前两名的概率为，
所以这种情况下，甲出线的概率为；
（ii）若第三轮甲胜丁，另一场比赛乙输丙，
则甲 乙 丙 丁积分变为6 3 3 6，
此时甲一定出线，甲出线的概率为；
（iii）若第三轮甲输丁，另一场比赛乙输丙.
则甲 乙 丙 丁积分变为3 3 3 9，
此时甲 乙 丙三支球队要抽签决定排名，甲抽到第二名的概率为，
所以这种情况下，甲出线的概率为.
综上，甲出线的概率为.单元复习15 概率
一、单选题
1．随机事件“连续掷一颗筛子直到出现5点停止，观察掷的次数”的样本空间是（ ）
A．5 B．1到6的正整数 C．6 D．一切正整数
2．从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．甲、乙、丙三人玩传球游戏，每个人都等可能地把球传给另一人，由甲开始传球，作为第一次传球，经过3次传球后，球回到甲手中的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知事件A，B，C两两互斥，若，，，则（ ）．
A． B． C． D．
5．设某种产品分两道独立工序生产，第一道工序的次品率为，第二道工序的次品率为，生产这种产品只要有一道工序出次品就将生产次品，则该产品的次品率是（ ）
A．0.873 B．0.13 C．0.127 D．0.03
6．设A，B是同一试验中的两个随机事件，与分别是事件，事件发生的概率，若，，则“”是“事件A，B为对立事件”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
二、多选题
7．(多选题)以下现象不是随机现象的是（ ）
A．在相同的条件下投掷一枚均匀的硬币两次，正反两面都出现
B．明天下雨
C．同种电荷相互排斥
D．平面四边形的内角和是360°
8．下列说法中错误的是（ ）
A．抛掷硬币出现正面向上的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上
B．如果某种彩票的中奖概率为，那么买10张这种彩票一定能中奖
C．在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过上抛均匀塑料圆板并让运动员猜着地时是正面还是反面来决定哪一方先发球，这样做公平
D．一个骰子掷一次得到点数2的概率是，这说明一个骰子掷6次会出现一次点数2
9．在一次随机试验中，已知A，B，C三个事件发生的概率分别为0.2，0.3，0.5，则下列说法不正确的是（ ）
A．B与C是互斥事件 B．与C是对立事件
C．是必然事件 D．
10．设，是两个概率大于0的随机事件，则下列说法正确的是（ ）
A．若事件和是对立事件，则
B．若事件和是互斥事件，则
C．若事件和相互独立，则
D．若事件和相互独立，则
三、填空题
11．先后掷一枚质地均匀的骰子两次，落在水平桌面后，记朝上的面的点数分别为x，y，则事件A:x，y都为偶数，事件B:x≠y的交事件包含的样本点的个数为___.
12．某人抛图钉250次，其中钉尖向上有70次，钉尖向上的经验概率是______.
13．2022年12月18日在卡塔尔世界杯决赛中，阿根廷队以总分7比5战胜法国队，历时28天的2022卡塔尔世界杯也缓缓落下了帷幕．随后某电视台轮流播放半决赛及以后的这4场足球赛（如图），某人随机选3场进行观看，其中恰好总决赛、季军赛被选上的概率为______．
14．从m名男生和n名女生中任选3人去参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为，那么所选3人都是男生的概率为______.
四、解答题
15．两个口袋，每个袋中有3个大小质地相同的小球，分别标有数字1，2，3.现分别从每一个袋中取一个小球，观察其上标的数字.
(1)写出试验样本空间；
(2)设事件A=“两个小球都是奇数”，B＝“两个小球的和为4”，求：
①事件A的概率；
②事件B的概率.
16．有1号、2号、3号三个信箱和A，B，C，D四封信，若4封信可以任意投入信箱，投完为止，其中A信恰好投入1号或2号信箱的概率是多少？
17．某班级有45%的学生喜欢打羽毛球，80%学生喜欢打乒乓球；两种运动都喜欢的学生有30%.现从该班随机抽取一名学生，求以下事件的概率：
(1)只喜欢打羽毛球；
(2)至少喜欢以上一种运动；
(3)只喜欢以上一种运动；
(4)以上两种运动都不喜欢.
一、单选题
1．随机事件“连续掷一颗筛子直到出现5点停止，观察掷的次数”的样本空间是（ ）
A．5 B．1到6的正整数 C．6 D．一切正整数
2．某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关．如果最高气温不低于，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间内，需求量为300瓶；如果最高气温低于，需求量为100瓶．为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
最高气温
天数 3 6 25 38 18
将最高气温位于各区间的频率视为最高气温位于该区间的概率，若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x瓶的概率估计值为0.1，则（ ）A．100 B．300 C．400 D．600
3．独立地重复一个随机试验次，设随机事件发生的频率为，随机事件发生的概率为，有如下两个判断：①如果是单元素集，则；②集合不可能只含有两个元素，其中（ ）
A．①正确，②正确 B．①错误，②正确
C．①正确，②错误 D．①错误，②错误
4．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为（ ）
A． B．
C． D．
5．篮球队的5名队员进行传球训练，每位队员把球传给其他4人的概率相等，由甲开始传球，则前3次传球中，乙恰好有1次接到球的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．从一批产品（既有正品也有次品）中随机抽取三件产品，设事件A=“三件产品全不是次品”，事件B=“三件产品全是次品”，事件C=“三件产品有次品，但不全是次品”，则下列结论中不正确的是（ ）
A．A与C互斥 B．B与C互斥
C．A、B、C两两互斥 D．A与B对立
二、多选题
7．下列有关古典概型的说法中，正确的是（ ）
A．试验的样本空间的样本点总数有限
B．每个事件出现的可能性相等
C．每个样本点出现的可能性相等
D．已知样本点总数为，若随机事件包含个样本点，则事件发生的概率
8．从集合中随机选取一个数记为a，从集合中随机选取一个数记为b，则（ ）
A．的概率是
B．的概率是
C．直线不经过第三象限的概率是
D．的概率是
9．已知A，B为两个随机事件，且，，则（ ）
A．
B．若A，B为互斥事件，则
C．若，则A，B为相互独立事件
D．若A，B为相互独立事件，则
10．在不透明的甲、乙两个盒子中分别装有除标号外完全相同的小球，甲盒中有4个小球，标号分别为1，2，3，4，乙盒中有3个小球，标号分别为5，6，7．现从甲、乙两个盒里分别随机抽取一个小球，记事件“取到标号为2的小球”，事件“取到标号为6的小球”，事件“两个小球标号都是奇数”，事件“两个小球标号之和大于9”，则（ ）
A．事件与事件相互独立 B．事件与事件互斥
C． D．
三、填空题
11．若从两男两女四人中随机选出两人，设两个男生分别用表示，两个女生分别用 表示，相应的样本空间为，则与事件“选出一男一女”对应的样本空间的子集为______.
12．从3男2女共5名医生中，抽取2名医生参加社区核酸检测工作，则至少有1名女医生参加的概率为___________．
13．端午节吃粽子是我国的传统习俗，若一盘中共有两种粽子，其中3个蜜枣粽子，4个蛋黄粽子，现从盘中任取2个都是相同馅粽子的概率为______；
四、解答题
14．在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件={出现1点}，事件={出现2点}，事件={出现3点}，事件={出现4点}，事件={出现5点}，事件={出现6点}，事件={出现的点数不大于1}，事件={出现的点数大于3}，事件={出现的点数小于5}，事件E={出现的点数小于7}，事件F={出现的点数为偶数}，事件G={出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，请举出符合包含关系、相等关系的事件；
15．从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：、、…、，并整理得到如下的频率分布直方图．
(1)从该网络平台推荐的影视作品中随机抽取1部，估计评分不小于90分的概率；
(2)用分层抽样的方式从评分不小于90分的影视作品中随机抽取5部作为样本，设x为评分在区间内的影视作品数量，求x的值；
(3)从（2）得到的样本中随机抽取2部影视作品提供给学生寒假观看，求两部影视作品的评分都在区间的概率．
16．某市为了了解中学生课外阅读情况，随机抽取了名高一学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表．
组号 分组 频数 频率
1 50 0.05
2 a 0.35
3 300 b
4 200 0.20
5 100 0.10
合计 1000 1
(1)求，的值，并在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图（用阴影涂）；
(2)根据频率分布直方图估计该组数据的众数及平均数；
(3)现从第4，5组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中任意抽取人进行调研《红楼梦》的阅读情况，求抽取的人中至少有一人是第组的概率．（请列举出样本空间作答）
17．11分制乒乓球比赛，每赢1球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．已知甲乙两位同学进行11分制乒乓球比赛，双方10：10平后，甲先发球 假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．
(1)求事件“两人又打了2个球比赛结束”的概率：
(2)求事件“两人又打了4个球比赛结束且甲获胜”的概率．
一、单选题
1．（2023·河南·许昌实验中学校联考二模）甲、乙、丙三人玩传球游戏，每个人都等可能地把球传给另一人，由甲开始传球，作为第一次传球，经过3次传球后，球回到甲手中的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·陕西·统考二模），，，四人之间进行投票，各人投自己以外的人票的概率都是（个人不投自己的票），则仅一人是最高得票者的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川巴中·统考一模）随机郑两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和除以4，余数分别为，所对应的概率分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·四川成都·统考二模）甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲对乙每局获胜的概率都为，比赛采取三局两胜制（当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛结束），则甲获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）有6个大小相同的小球，其中1个黑色，2个蓝色，3个红色．采用放回方式从中随机取2次球，每次取1个球，甲表示事件“第一次取红球”，乙表示事件“第二次取蓝球”，丙表示事件“两次取出不同颜色的球”，丁表示事件“与两次取出相同颜色的球”，则（ ）
A．甲与乙相互独立 B．甲与丙相互独立
C．乙与丙相互独立 D．乙与丁相互独立
6．（2023·全国·模拟预测）甲、乙两同学进行棒球比赛，约定连胜两局者胜出，比赛结束，最多比赛五局，若前四局不分胜负，则第五局胜者获胜，比赛结束．已知甲每局获胜的概率为，每局比赛没有平局，结果相互独立，则甲第一局获胜并最终获得胜利的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2023·江苏南京·南京师大附中校考一模）已知事件A，B满足，，则（ ）
A．若，则 B．若A与B互斥，则
C．若A与B相互独立，则 D．若，则A与B相互独立
8．（2023·山东聊城·统考模拟预测）某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设M=“该家庭中有男孩、又有女孩”，N=“该家庭中最多有一个女孩”，则下列结论正确的是()
A．若该家庭中有两个小孩，则M与N互斥
B．若该家庭中有两个小孩，则M与N不相互独立
C．若该家庭中有三个小孩，则M与N不互斥
D．若该家庭中有三个小孩，则M与N相互独立
三、填空题
9．（2021·陕西渭南·统考二模）甲 乙两人下中国象棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是__________.
10．（2023·全国·模拟预测）在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给正确答复，因此需要特别的调查方法．调查人员设计了一个随机化装置，在其中装有形状、大小、质地完全相同的个黑球和个白球，每个被调查者随机从该装置中抽取一个球，若摸到黑球则需要如实回答问题一：你公历生日是奇数吗？若摸到白球则如实回答问题二：你是否在考试中做过弊．若人中有人回答了“是”，人回答了“否”．则问题二“考试是否做过弊”回答“是”的百分比为（以人的频率估计概率）______．
四、解答题
11．（2023·陕西汉中·统考二模）“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心，据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，参与调查的人员中关注生态文明建设的约占80%.现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.
(1)求的值和这200人的平均年龄（每一组用该组区间的中点值作为代表）;
(2)现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求抽取的2人中至少有1人的年龄在第1组中的概率.
12．（2023·广西柳州·二模）第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京举办，为了普及冬奥知识，某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了10名学生，得到他们的分数统计如下表：
分数段
人数 1 1 1 2 2 2 1
规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为良好；80分及以上为优秀，将频率视为概率．
(1)此次比赛中该校学生成绩的优秀率是多少？
(2)在全校学生成绩为良好和优秀的学生中利用分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行冬奥知识演讲，求良好和优秀各1人的概率．
13．（2023·广东梅州·统考一模）甲 乙 丙 丁四支球队进行单循环小组赛（每两支队比赛一场），比赛分三轮，每轮两场比赛，第一轮第一场甲乙比赛，第二场丙丁比赛；第二轮第一场甲丙比赛，第二场乙丁比赛；第三轮甲对丁和乙对丙两场比赛同一时间开赛，规定：比赛无平局，获胜的球队记3分，输的球队记0分.三轮比赛结束后以积分多少进行排名，积分相同的队伍由抽签决定排名，排名前两位的队伍小组出线.假设四支球队每场比赛获胜概率以近10场球队相互之间的胜场比为参考.
队伍 近10场胜场比 队伍
甲 乙
甲 丙
甲 丁
乙 丙
乙 丁
丙 丁
(1)三轮比赛结束后甲的积分记为，求；
(2)若前二轮比赛结束后，甲 乙 丙 丁四支球队积分分别为3 3 0 6，求甲队能小组出线的概率.
