课时跟踪检测（九） 9.3.3向量平行的坐标表示
基础练
1．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝( )
A．(－4，－8) B．(－8，－16)
C．(4，8) D．(8，16)
解析：选A
∵a∥b，∴m＋4＝0，∴m＝－4，∴b＝(－2，－4)，
∴2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．
2．已知a＝(－1，x)与b＝(－x，2)共线，且方向相同，则实数x＝( )
A．1 B． C． D．
解析：选C
设a＝λb，则(－1，x)＝(－λx，2λ)，所以有
解得或
又a与b方向相同，则λ＞0，所以λ＝，x＝．
3．已知＝(6，1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，∥，则x＋2y的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
解析：选B
∵＝＋＋＝(6，1)＋(x，y)＋(－2，－3)
＝(x＋4，y－2)，
∴＝－＝－(x＋4，y－2)＝(－x－4，－y＋2)．
∵∥，
∴x(－y＋2)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0．
4．已知点A(1，3)，B(－2，7)，则与向量方向相反的单位向量是( )
A． B．
C． D．
解析：选D
∵A(1，3)，B(－2，7)，∴＝(－3，4)，则＝＝5，
因此，与向量方向相反的单位向量是
－＝－(－3，4)＝．故选D．
5．若a＝(2cos α，1)，b＝(sin α，1)，且a∥b，则tan α＝( )
A．1 B． C．2 D．
解析：选C
∵a∥b，∴2cos α＝sin α，∴tan α＝2．
6．已知点A(1，－2)，若线段AB的中点坐标为(3，1)，且与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________．
解析：
设B(x，y)，则由题意可知
∴∴＝(4，6)．
又∥a，∴4λ＝6，∴λ＝．
7．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．
解析：m≠
若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，
即与不共线．
∵＝－＝(3，1)，
＝－＝(2－m，1－m)，
∴3(1－m)≠2－m，即m≠．
8．已知两点M(7，8)，N(1，－6)，P点是线段MN的靠近点M的三等分点，则P点的坐标为________．
解析：
设P(x，y)，如图， ∴＝3，
∴(－6，－14)＝3(x－7，y－8)，
∴解得]
9．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
[解] (1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－．
(2)∵A，B，C三点共线，∴＝λ，λ∈R，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，∴
解得m＝．
10．已知向量a＝(1，2)，b＝(－3，k)．
(1)若a∥b，求的值；
(2)若a⊥(a＋2b)，求实数k的值；
(3)若a与b的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
[解] (1)因为向量a＝，b＝，且a∥b，
所以1×k－2×＝0，解得k＝－6，
所以＝＝3．
(2)因为a＋2b＝，且a⊥，
所以1×＋2×＝0，解得k＝．
(3)因为a与b的夹角是钝角，则a·b＜0且a与b不共线．
即1×＋2×k＜0且k≠－6，所以k＜且k≠－6．
拓展练
1．已知向量a＝(x，3)，b＝(－3，x)，则下列叙述中正确的是( )
A．存在实数x，使a∥b
B．存在实数x，使(a＋b)∥a
C．存在实数x，m，使(ma＋b)∥a
D．存在实数x，m，使(ma＋b)∥b
解析：选D
只有D正确，可令m＝0，则ma＋b＝b，无论x为何值，都有b∥b．
2． (多选题)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是( )
A．－2 B． C．1 D．－1
解析：选ABD
各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，＝－＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1．所以只要m≠1，则A，B，C三点即可构成三角形，故选ABD．
3．设a＝(6，3a)，b＝(2，x2－2x)，且满足a∥b的实数x存在，则实数a的取值范围是________．
解析：[－1，＋∞)
∵a∥b，∴6(x2－2x)－2×3a＝0，即a＝x2－2x，∴a＝(x－1)2－1≥－1．
4．已知A(0，5)，B(－1，0)，C(3，4)，D是BC上一点且△ACD的面积是△ABC面积的，则△ABC的重心G的坐标是________，D的坐标是________．
解析： (2，3)
△ABC的重心G的坐标为，即．由题意得＝3．设D(x，y)， 则＝(x＋1，y)，＝(3－x，4－y)，所以x＋1＝3(3－x)，y＝3(4－y)，解得x＝2，y＝3，即D(2，3)．
培优练
已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，1)，B(－2，10)，C(3，7)，∠BAC的平分线交BC边于点D，求点D的坐标．
[解] ∵AD平分∠BAC，|AC|＝＝2，|AB|＝＝3，
由角平分线定理可知，
点D分有向线段所成的比λ＝．
设点D的坐标为(x，y)，
则x＝＝1，y＝＝．
故点D的坐标为．课时跟踪检测（九） 9.3.3向量平行的坐标表示
基础练
1．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝( )
A．(－4，－8) B．(－8，－16)
C．(4，8) D．(8，16)
2．已知a＝(－1，x)与b＝(－x，2)共线，且方向相同，则实数x＝( )
A．1 B． C． D．
3．已知＝(6，1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，∥，则x＋2y的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
4．已知点A(1，3)，B(－2，7)，则与向量方向相反的单位向量是( )
A． B．
C． D．
5．若a＝(2cos α，1)，b＝(sin α，1)，且a∥b，则tan α＝( )
A．1 B． C．2 D．
6．已知点A(1，－2)，若线段AB的中点坐标为(3，1)，且与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________．
7．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．
8．已知两点M(7，8)，N(1，－6)，P点是线段MN的靠近点M的三等分点，则P点的坐标为________．
9．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
10．已知向量a＝(1，2)，b＝(－3，k)．
(1)若a∥b，求的值；
(2)若a⊥(a＋2b)，求实数k的值；
(3)若a与b的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
拓展练
1．已知向量a＝(x，3)，b＝(－3，x)，则下列叙述中正确的是( )
A．存在实数x，使a∥b
B．存在实数x，使(a＋b)∥a
C．存在实数x，m，使(ma＋b)∥a
D．存在实数x，m，使(ma＋b)∥b
2． (多选题)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是( )
A．－2 B． C．1 D．－1
3．设a＝(6，3a)，b＝(2，x2－2x)，且满足a∥b的实数x存在，则实数a的取值范围是________．
4．已知A(0，5)，B(－1，0)，C(3，4)，D是BC上一点且△ACD的面积是△ABC面积的，则△ABC的重心G的坐标是________，D的坐标是________．
培优练
已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，1)，B(－2，10)，C(3，7)，∠BAC的平分线交BC边于点D，求点D的坐标．
