10.1.3两角和与差正切
一、单选题
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由于，所以利用两角差的正切公式展开求解即可
【详解】
因为，
所以
，
故选：A
2．若，则值为（ ）
A． B． C． D．7
【答案】B
【解析】
【分析】
根据两角和的正切公式，结合同角的三角函数关系式中商关系进行求解即可.
【详解】
由，
所以，
故选：B
3．已知角的终边过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
结合三角函数的定义、两角差的正切公式求得正确答案.
【详解】
.
故选：D
4．已知，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出，再求出，最后可求.
【详解】
因为，故，
因为，故，而，
故，所以，
故，
所以，
故选：B
5．已知sin α＝，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出tan α，再利用两角和的正切公式求出tan(α＋β)＝－1，判断出角α＋β的范围，即可求出α＋β的值.
【详解】
sin α＝，且α为锐角，则cos α＝，tan α.
所以tan(α＋β)＝＝＝－1.
又α＋β∈，故α＋β＝.
故选：B
6．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角终边上有一点，为锐角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据角终边上有一点，得到，再根据为锐角，且，求得，再利用两角差的正切函数求解.
【详解】
因为角终边上有一点，
所以，
又因为为锐角，且，
所以，
所以，
故选：C
二、多选题
7．下列化简结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
由正弦、余弦、正切函数的和差角公式逐一判断可得选项.
【详解】
解：对于A，，故A正确；
对于B，，故B不正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确，
故选：ACD.
8．(多选)在△ABC中，∠C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式正确的是（ ）
A．tan(A＋B)＝－ B．tan A＝tan B
C．cos B＝sin A D．tan Atan B＝
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由三角形内角性质及和角正切公式可得tan(A＋B)＝且tan A＋tan B＝(1－tan Atan B)，结合已知即可判断各选项的正误.
【详解】
由∠C＝120°，可知：A＋B＝60°，
∴tan(A＋B)＝＝，故A错误.
又tan A＋tan B＝(1－tan Atan B)＝，
∴tan Atan B＝①，故D正确；
由①联立tan A＋tan B＝，解得tan A＝tan B＝，
∴cos B＝sin A，故B、C正确．
综上，B、C、D正确．
故选：BCD.
三、填空题
9．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍(所成角记，)，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意得到，，结合两角差的正切公式，即可求解.
【详解】
由题意，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍，可得，，
所以.
故答案为：.
10．______．
【答案】1
【解析】
【分析】
由，利用两角和的正切公式计算即可.
【详解】
因为，
所以．
故答案为：1
11．在△ABC中，若，则tanC的最大值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
结合两角差与和的正切公式、两角差的正弦公式化简求值即可.
【详解】
因为sin（A-B）=3sin C，
所以sin Acos B-cos Asin B=3（sin Acos B+cos Asin B），
所以sin Acos B=-2cos Asin B，即tan A=-2tan B．
因为，
所以．
因为，所以，
所以tan C>0，所以tan B>0，
所以，
则，
当且仅当时，等号成立．
故答案为：
12．如图，图像是由（且）个完全相同的正方形构成的平面几何图形，若，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
本题可设正方形的边长为，然后根据题意得出、，最后根据两角和的正切公式即可得出结果.
【详解】
设正方形的边长为，
则，，
因为，
所以，解得或（舍去），，
故答案为：.
四、解答题
13．已知，满足，求的值．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据两角和的正切公式，求得，代入即可求解.
【详解】
因为，可得，
又，得，
所以，
14．证明下列恒等式.
（1）；
（2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）从左边开始，利用两角和与差的正切公式，结合平方差公式化简运算即可得到右边；
（2）根据，利用两角和的正切公式展开右边，并去分母整理得到，然后对要证等式的左边进行替换，并整理化简即得到右边.
【详解】
左边
右边，
原等式成立.
（2）∵，
∴，
∴.
∴原式成立.
【点睛】
本题考查利用两角和差的正切公式证明三角恒等式，关键难点是第二问中的证明中对两角和差正切公式的灵活运用，,是十分方便的一个变形公式，可以直接使用.10.1.3两角和与差正切
一、单选题
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，则值为（ ）
A． B． C． D．7
3．已知角的终边过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则（ ）
A． B． C．2 D．
5．已知sin α＝，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角终边上有一点，为锐角，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．下列化简结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．在△ABC中，∠C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式正确的是（ ）
A．tan(A＋B)＝－ B．tan A＝tan B
C．cos B＝sin A D．tan Atan B＝
三、填空题
9．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍(所成角记，)，则___________.
10．______．
11．在△ABC中，若，则tanC的最大值是___________．
12．如图，图像是由（且）个完全相同的正方形构成的平面几何图形，若，则________.
四、解答题
13．已知，满足，求的值．
14．证明下列恒等式.
（1）；
（2）.
