11.1余弦定理(第2课时)
一、单选题
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2-c2+b2=ab，则sin C的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
结合余弦定理求得，由此求得，进而求得.
【详解】
由余弦定理，得cos C=.因为C∈(0，π)，所以C=，sin C=.
故选：C
2．一艘故障渔船在A点处正以15海里/小时的速度向正西方向行驶，救援船从位于A点北偏西方向相距海里的B点出发，需在1小时内（含1小时）接应到故障船，则救援船的速度最小应为（ ）
A．10海里/小时 B．15海里/小时 C．海里/小时 D．20海里/小时
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意，当故障船刚好1个小时得到救援时救援船的速度最小，若速度为，应用余弦定理即可求.
【详解】
如下图，若为正西方向，为救援船、故障渔船的相遇点，且，
∴要使1小时内（含1小时）接应到故障船，若刚好1个小时得到救援，设救援船的最小速度为，此时，
∴由余弦定理：，则海里/小时.
故选：B
3．已知是三边长，若满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
变形条件，结合余弦定理，即可求解.
【详解】
，
即，
，，
所以.
故选：A
4．在钝角中，角、、所对的边分别为、、，若，，则最大边的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据给定条件利用余弦定理建立不等关系即可计算作答.
【详解】
因是钝角三角形，，，且是最大边，则由余弦定理得：，
于是得，，解得，而有，即，
所以最大边的取值范围是：.
故选：D
5．在中，，则此三角形必是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．钝角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
利用余弦定理的变形化角为边即可求解.
【详解】
由，
则，
即，
整理可得，
所以为直角三角形.
故选：B
6．已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，则BC边上的中线长为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用三角函数关系式的变换求出的值，进一步利用勾股定理和余弦定理的应用求出结果．
【详解】
解：，
整理得：，
整理得：舍去），
由于，
所以，
故，
所以．
由于，，解得；
如图所示：
在中，过点作于点，
设，则，
所以，解得，
故，，
所以在中，
利用余弦定理：，
解得：．
故选：．
二、多选题
7．设的内角所对的边为，则下列命题正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由余弦定理和基本不等式，逐项判定，即可求解.
【详解】
由，可得，可得，
因为，可得，所以A错误；
由，可得，
当且仅当时等号成立，
因为，所以，所以B正确；
由且，
所以，
可得，所以，可得，
因为，所以，所以C正确；
由，可得，
所以，
因为，所以，所以D正确；
故选：BCD.
8．若为钝角三角形，且，，则边C的长度可以为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】AD
【解析】
【分析】
由条件，又，所以在中为钝角的可能为角或角,所以，或，解得答案.
【详解】
由三角形的边长能构成三角形，则有，
又，所以在中为钝角的可能为角或角.
则或
所以或，解得：或
所以选项A、D满足.
故选：AD
【点睛】
本题考查余弦定理的应用，做题时要注意钝角这个条件，钝角可能的情况，属于中档题.
三、填空题
9．若是锐角三角形的三边长，则a的取值范围是_____________
【答案】
【解析】
【分析】
三角形要为锐角三角形，只要最长的边所对的角为锐角即可
【详解】
解：设三边（）所以对的角分别为，则角为最大的角，
因为三角形为锐角三角形，
所以，所以，
，解得或（舍去）
所以a的取值范围是为，
故答案为：
10．在中，，则取最小值时，___________．
【答案】
【解析】
【分析】
将代入余弦公式化简可得，再代入计算可得，利用不等式可求出的最小值，并求出此时的大小.
【详解】
解：，可得，
即,
，当且仅当时取等号，
所以,
，
.
故答案为：．
11．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】
利用余弦定理，即可得到关于的方程组，解之即可.
【详解】
∵，∴，
又，
由余弦定理可得：，
即，
∴，又，
∴，
故答案为：
12．在中，设边所对的角为，若，则的最大值为________．
【答案】6
【解析】
【分析】
题目考察余弦定理和基本不等式的综合应用，根据余弦定理写出之间的关系式，应用基本不等式求最大值
【详解】
根据题意，在中，若，，则，即，又由，则有，即的最大值为6．
故答案为：6
四、解答题
13．（1）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，求B；
（2）在△ABC中，试判断三角形△ABC的形状
【答案】（1）；（2）△ABC是直角三角形.
【解析】
【分析】
（1） 利用余弦定理代入化简得到，再结合范围得到B角即可；
（2）利用二倍角公式和化简得到，再结合范围即得，即得结果.
【详解】
解：（1）由知，
，而，所以；
（2）由得，即，
所以，即，
所以，即，
而，所以，即，
所以△ABC是直角三角形.
14．在；②两个条件中任选一个填序号），补充在下面的问题中，并解答该问题．
已知的内角，，的对边分别为，，，________，，求的最小值．
【答案】选择①或②的最小值为.
【解析】
【分析】
选择①利用二倍角公式以及辅助角公式化简即可求得角，再由余弦定理以及基本等式即可求的最小值；选择②由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式化简可得的值进而可得角，再由余弦定理以及基本等式即可求的最小值.
【详解】
选择①：可得：，
所以，
即，所以，，
因为，所以，所以，，
在中，由余弦定理可得：，当且仅当b=c等号成立
即，所以，所以的最小值为，
选择②：，
由正弦定理化边为角可得：，所以，
即，
因为，所以，，
因为，所以，
在中，由余弦定理可得：
即，所以，所以的最小值为.11.1余弦定理(第2课时)
一、单选题
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2-c2+b2=ab，则sin C的值为（ ）
A． B． C． D．
2．一艘故障渔船在A点处正以15海里/小时的速度向正西方向行驶，救援船从位于A点北偏西方向相距海里的B点出发，需在1小时内（含1小时）接应到故障船，则救援船的速度最小应为（ ）
A．10海里/小时 B．15海里/小时 C．海里/小时 D．20海里/小时
3．已知是三边长，若满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．在钝角中，角、、所对的边分别为、、，若，，则最大边的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．在中，，则此三角形必是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．钝角三角形
6．已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，则BC边上的中线长为（ ）
A． B． C．2 D．
二、多选题
7．设的内角所对的边为，则下列命题正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．若为钝角三角形，且，，则边C的长度可以为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
三、填空题
9．若是锐角三角形的三边长，则a的取值范围是_____________
10．在中，，则取最小值时，___________．
11．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，，则______．
12．在中，设边所对的角为，若，则的最大值为________．
四、解答题
13．（1）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，求B；
（2）在△ABC中，试判断三角形△ABC的形状
14．在；②两个条件中任选一个填序号），补充在下面的问题中，并解答该问题．
已知的内角，，的对边分别为，，，________，，求的最小值．
