四川省北川县2023-2024学年高一上学期入学考试数学试题（PDF版含答案）

四川省北川县高 2023 级入学考试试题
数 学
（满分：150 分，时间：120 分钟）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用 0.5 毫米的黑色墨迹签字笔填写在答题
卡上，并在答题卡背面上方填涂座位号。
2.选择题使用 2B 铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔
书写在答题卡对应题目标号的答题区域内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题
无效。
3.考试结束后，由监考教师将答题卡收回，试题卷和草稿纸由学生保管，以便后续分析。
一、选择题（每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）
1、老师在“六城同创”活动中设计了以下几幅 logo，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、目前我国疫苗研发工作处于全球领先地位，其中灭活疫苗和腺病毒载体疫苗，两种技术路线共 4 个疫
苗进入了三期临床．预计到今年年底，中国新冠疫苗的年产能可达到610000000剂．数据610000000
用科学计数法表示正确的是（ ）
A、61 107 B、6.1 108 C、6.1 109 D、61 108
3、某班级有20个女同学，22个男同学，班上每个同学的名字都写在一张小纸条上放入一个盒子搅匀如
果老师随机地从盒子中取出1张纸条，则下列命题中正确的是（ ）
A、抽到男同学名字的可能性是50% B、抽到女同学名字的可能性是50%
C、抽到男同学名字的可能性小于抽到女同学名字的可能性
D、抽到男同学名字的可能性大于抽到女同学名字的可能性
4、在平面直角坐标系 xoy中，将抛物线 y = 2x2 先向左平移 3 个单位长度，再向下平移 4 个单位长度，
所得到的抛物线的表达式为( )
y = 2(x 3)2A、 4 2 2 2 B、 y = 2(x+3) + 4 C、 y = 2(x 3) + 4 D、 y = 2(x+3) 4
5、等腰三角形的一个外角是80 ，则其底角是（ ）
、100 、100 或40 、40 A B C D、不能确定
1 x 2
6、若关于 x的一元一次不等式组 有解，则 m的取值范围为（ ）
x m
A、m 2 B、m 2 C、m 1 D、1 m 2
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7、一次函数 y = kx + b与 y = kbx (k，b为常数，且 kb≠0)，它们在同一坐标系内的图象可能为( )
A、 B、 C、 D、
8、现在定义两种新运算，“▲”、“★”，对于任意两个整数，a▲b＝a+b﹣1，a★b＝a×b﹣1，
则 7★（﹣3▲5）的结果是（ ）
A、 6 B、48 C、6 D、 48
9、如图，在平面直角坐标系中，已知C (3,4)，以点C 为圆心的圆
与 y 轴相切．点 A、 B 在 x 轴上，且OA=OB．点 P 为 C 上的
动点， APB = 90 ，则 AB 长度的最大值为（ ）．
A、14 B、15 C、16 D、8
10、广汽新能源汽车公司已经在长沙建成投产，随着市场对新能源汽车的需求越来越大，为了满足市场
需求，该厂更新了生产线，加快了生产速度，现在平均每月比更新技术前多生产 300 台新能源汽车，现
在生产 5000 台新能源汽车所需时间与更新生产线前生产 4000 台新能源汽车所需时间相同．设更新技术
前每月生产 x 台新能源汽车，依题意得（ ）
4000 5000 4000 5000 4000 5000 4000 5000
A、 = B、 = C、 = D、 =
x x +300 x 300 x x x 300 x +300 x
11、如图，以点 O为圆心， AB 为直径的半圆经过点 C，若 C为弧 AB 的
中点，若 AB = 4，则图中阴影部分的面积是（ ）
A、 B、2+ 2 C、2 D、2+
12、把所有正整数从小到大排列，并按如下规律分组：
（1），(2， 3， 4)，(5，6，7，8，9)，(10， 11，12， 13， 14， 15， 16)，…，现用等式 AM=(i，j)表
示正整数M是第 i组第 j个数(从左往右数)，如 A8=(3，4)，则 A2020=( )
A、(44，81) B、(44，82) C、(45，83) D、(45，84)
二、填空题（每小题 4 分,共 24 分.）
1
1
13、计算： ( 1)0 + =
3
2
1 2019
14、若 a 2 + b+ = 0，则 (ab) = _____
2
15、如图，⊙O的直径 AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为 P，且 BP=2，则 CD=_____
{#{QQABJYaUggigAAIAARgCUQEyCgGQkBCCCCgOREAIoAABSAFABAA=}#}
16、如图，在 Rt ABC中， ∠ACB＝90°，CD⊥AB于 D， 若 AD＝2，BD＝8，则 AC＝_____
16 题图 17 题图 18 题图
17、如图，一块长为100m，宽为50m的长方形绿地，在绿地中开辟两条宽为 xm的道路（阴影部分）
后剩余绿地面积为4704m2 ，则 x 的值为______
9 k
18、如图，B A分别在反比例函数 y = , y = 上，当 AO ⊥ BO时，BO : AO = 3: 4，则 k = _____
x x
三、解答题（7 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19、(16 分)（1） 2 8－ 3—2－ 12 4
2
x 1 x + 6x +9
（2）先化简，再求值： 2 ，其中 x ＝ 2
x +1
2
x 1
20、(12 分)自我校深化课程改革以来，初中数学校本课程开设了： A．利用
影长求物体高度； B ，制作视力表；C ．设计遮阳棚；D ．池塘里有多少条
鱼．四类数学实践活动选修课，供学生们选择，其中九年级 11 班和 12 班的
两个班的同学将选择结果绘制成如右两幅不完整的统计图．
根据图中信息解决下列问题：
（1）本次共______名学生选修了数学实践活动课，扇形统计图中 B 所对应的扇形的圆心角为______度；
（2）补全条形统计图；
（3）选修C 类数学实践活动的学生中有 2 名女生和 2 名男生表现出色，现从 4 人中随机抽取 2 人来帮助
学校设计遮阳棚，请用列表或画树状图法求所抽取的两人恰好是 1 名女生和 1 名男生的概率．
21、(12 分)已知：如图，等腰三角形 ABC中， AC = BC， ACB = 90 ，直线 l经
过点 C（点 A、B都在直线 l的同侧）， AD ⊥ l ， BE ⊥ l ，垂足分别为 D、E．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）请判断 DE、BE、AD三条线段之间有怎样的数量关系，并证明．
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3k
22、(12 分)设反比例函数的解析式 y (k 0) .
x
（1）若该反比例函数与正比例函数 y 2x 的图像有一个交点的纵坐标为2 ，求 k 的值；
16
（2）若该反比例函数与过点M ( 2,0)的直线 l ：y kx b 的图像交于 A, B两点，当 ABO的面积为
3
时，求直线 l 的解析式.
23、(12 分)如图， AB 为 O 的直径，弦CD平分 ACB 交 AB 于 E ，
P 为 AB 延长线上一点且PC = PE ．
（1）求证： PC 为 O 的切线；
（2）若 AE =10， DE = 2 17 ，求 O 的半径及PC 的长．
24、(12 分)疫情期间，口罩成为人们一种自我保护的必备品．某药房购进并销售甲、乙、丙三种口罩，
已知购进的批发价和售出的零售价如下表：
甲 乙 丙
（1）药房第一次仅购进甲，乙口罩，费用共 991 元，且乙的
批发价（元/盒） 2 3 5
数量比甲的数量少 3 盒，求购进的甲，乙口罩盒数．
零售价（元/盒） 3 5 13
（2）第一次购进的口罩售完后，药房把销售收入（销售收
入=零售价 x 销售数量）全部用于购进甲、乙、丙三种口罩，购进的甲、乙口罩盒数相等，甲口罩的批发
价比原来提高了 20%，乙口罩的批发价比原来降低a%．
①如果药房第二次购进的甲、乙口罩分别花费为 216 元，243 元，求a 的值．
②在a 值不变的前提下，如果药房购进的甲、乙、丙口罩总盒数为m 盒，甲种口罩数量为n 盒，甲种口
罩供货商仅能提供 100 到 150 盒，求满足条件的购进方案有哪几种？哪种方案所获利润最大，并求出最
大值？
1 2
25、(14 分)如图，抛物线 y = x + bx + c 与 y轴交于点 A（0，3），与 x轴交于点 B（4，0）．
2
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接 AB，点 C为线段 AB上的一个动点，过点 C作 y轴的平行
线交抛物线于点 D，设 C点的横坐标为 m，线段 CD长度为 d（d≠0）．
求 d与 m的函数关系式（不要求写出自变量 m的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接 AD，是否存在 m值，使△ACD是
等腰三角形？若存在，求出 m的值；若不存在，请说明理由．
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四川省北川县高 2023 级入学考试试题数学参考答案
一、选择题：BBDDC BCCCA AD
二、填空题：13、 4 14、 1 15、4 5
16、 2 5 17、 2 18、16
三、解答题（7 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
x 1 x
2 + 6x +9
19、(16 分)（1） 2 8－ 3—2－ 12 4 （2）先化简，再求值： 2 2 ，其中 x ＝ 2
x +1 x 1
19、解：(1) 2 8- 3-2 - 12 4 x 1 x 1 x 1= (2x + 2 x +1) = (x +3) =
(x +3)2 (x +3)2 x +3
= 2 2 2-(2- 3)-2 3 2 ∵ x = 2
= 4-2+ 3- 3 2 2 1 1∴原式= =
2(x +1) (x 1) (x +1)(x 1) 2+3 5
（2）原式=
x +1 (x +3)2
20、(12 分)自我校深化课程改革以来，初中数学校本课程开设了： A．利用影长求物体高度； B ，制作
视力表；C ．设计遮阳棚； D ．池塘里有多少条
鱼．四类数学实践活动选修课，供学生们选择，
其中九年级 11 班和 12 班的两个班的同学将选择
结果绘制成如右两幅不完整的统计图．
根据图中信息解决下列问题：
（1）本次共______名学生选修了数学实践活动课，扇形统计图中 B 所对应的扇形的圆心角为______度；
（2）补全条形统计图；
（3）选修C 类数学实践活动的学生中有 2 名女生和 2 名男生表现出色，现从 4 人中随机抽取 2 人来帮助
学校设计遮阳棚，请用列表或画树状图法求所抽取的两人恰好是 1 名女生和 1 名男生的概率．
20、解：（1）本次调查的学生人数为 （3）画树状图为：
12 20% = 60（名），
则扇形统计图中 B 所对应的扇形的圆心角为
24
360 =144
60 共有 12 种等可能的结果数，其中所抽取的两人恰
（2） A类别人数为60 15% = 9（人）， 好是 1 名女生和 1 名男生的结果数为 8，
则 D类别人数为60 (9+ 24+12) =15（人）， 所以所抽取的两人恰好是 1 名女生和 1 名男生的概
8 2
∴补全条形统计图为 率为 = ． 12 3
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21、(12 分)已知：如图，等腰三角形 ABC中， AC = BC， ACB = 90 ，直线 l经
过点 C（点 A、B都在直线 l的同侧）， AD ⊥ l ， BE ⊥ l ，垂足分别为 D、E．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）请判断 DE、BE、AD三条线段之间有怎样的数量关系，并证明．
21、（1）证明：∵ AD ⊥ l ， BE ⊥ l ， ACB = 90 ∴△ADC≌△CEB(AAS)
∴ ADC = ACB = CEB = 90 ，
（2）DE = AD+BE，以下证明
DCA+ ECB =180 90 = 90 ，
由（1）可得△ADC≌△CEB
∴ DAC = ECB ，则在△ADC 和△CEB中，
∴ AD =CE ，DC = EB∵ DE =CE +DC
ADC = CEB ， DAC = ECB ， AC = BC， ∴ DE = AD+BE
3k
22、(12 分)设反比例函数的解析式 y (k 0) .
x
（1）若该反比例函数与正比例函数 y 2x 的图像有一个交点的纵坐标为2 ，求 k 的值；
16
（2）若该反比例函数与过点M ( 2,0)的直线 l ：y kx b 的图像交于 A, B两点，当 ABO的面积为
3
时，求直线 l 的解析式.
22、解：（1）由题意得该反比例函数与正比例函数的 y = kx + 2k

联立 3k 得， x2 + 2x+3= 0
图像 y = 2x有一个交点的纵坐标为 (1,2)，代入 y = (k 0)
x
3k 2
y (k 0)得3k = 2∴ k = ，
x 3 ∴ x1 = 3, x2 =1，即得 A( 3, k), B(1,3k)(k 0)
（2）把M ( 2,0)代入 y kx b 得b = 2k 16 1 1 16
∵ ABO的面积为 ，即∴ 2 3k + 2 k =
3 2 2 3
∴ l : y = kx+ 2k ， 4 4 8
∴ k = ，得直线 l 的解析式为 y = x +
3 3 3
23、(12 分)如图， AB 为 O 的直径，弦CD平分 ACB 交 AB 于 E ，
P 为 AB 延长线上一点且PC = PE ．
（1）求证： PC 为 O 的切线；
（2）若 AE =10， DE = 2 17 ，求 O 的半径及PC 的长．
23、解：（1）证明：连接OC 、OD ∴ D = OCD， PEC = PCE ，
∵CD平分 ACB ， 又∵ DEO = PEC，∴ DEO = PCE．
∴ AD = BD OCD+ PCE = D+ DEO = 90 ，
即半径OD 平分弧 ADB， 即OC ⊥ PC ，而OC 为 O 的半径，
∴OD ⊥ AB，∴ D+ DEO = 90 ∴ PC 为 O 的切线
而OC =OD，PC = PE ， (2)设 O的半径为 R ，则
{#{QQABJYaUggigAAIAARgCUQEyCgGQkBCCCCgOREAIoAABSAFABAA=}#}
OE = AE OA=10 R ∴OE =10 R = 2，
在Rt△DEO中： 设 PC = PE = x，OP = PE +OE = x+2．
OD2 +OE2 = DE2 在Rt△POC 中：
2 2 2 2 2
即： R2 + (10 R) = (2 17 ) PC +OC =OP
2 2 2
解得：R = 2或 R = 8而OE OB即10 R R 即： x +8 = (x+ 2)
解得R 5，∴ R = 8，即 O 的半径为 8， 解得： x 15即PC 的长为 15．
24、(12 分)疫情期间，口罩成为人们一种自我保护的必备品．某药房购进并销售甲、乙、丙三种口罩，
已知购进的批发价和售出的零售价如下表：
甲 乙 丙
（1）药房第一次仅购进甲，乙口罩，费用共 991 元，且乙的
批发价（元/盒） 2 3 5
数量比甲的数量少 3 盒，求购进的甲，乙口罩盒数．
零售价（元/盒） 3 5 13
（2）第一次购进的口罩售完后，药房把销售收入（销售收
入=零售价 x 销售数量）全部用于购进甲、乙、丙三种口罩，购进的甲、乙口罩盒数相等，甲口罩的批发
价比原来提高了 20%，乙口罩的批发价比原来降低a%．
①如果药房第二次购进的甲、乙口罩分别花费为 216 元，243 元，求a 的值．
②在a 值不变的前提下，如果药房购进的甲、乙、丙口罩总盒数为m 盒，甲种口罩数量为n 盒，甲种口
罩供货商仅能提供 100 到 150 盒，求满足条件的购进方案有哪几种？哪种方案所获利润最大，并求出最
大值？
24、解(1) 设第一次购入乙口罩 x盒，甲口罩 第一次销售收入全部用来购进口罩，丙口罩批发价为
（x+3）盒，根据题意得，2(x+3)+3x = 991 每盒 5 元，则购买丙口罩用的钱为整数，设购买甲口
解得，x=197，197+3=200(盒) 罩和乙口罩共用 y元，甲口罩和乙口罩盒数相等，
所以，第一次购入乙口罩 197 盒，甲口罩 200 盒；
(2) 销售收入为：200 3+197 5=1585（元） 即： y = (2.4+2.7)n = 5.ln(n为整数），
设所获利润为 W， 100 n 150，则 n的取值可能为 100，110，120，
①购进甲口罩数量216 2 (1+20%) = 90盒 130，140，150，当 n取110,120,130,140时，丙口
∴乙口罩购进 90 盒， 1585 y罩的购买数量为 不为整数，所以，共有 2 种
5
乙口罩的批发价为：243 90 = 2.7（元）
购买方案：
则3 (1 a%) = 2.7，解得 a=10 方案 1，甲口罩和乙口罩各购进 100 盒，则购入丙口罩
1585 5.1 100
的数量为： = 215盒
②在 a值不变的前提下，即甲口罩批发价为 2.4 5
元，乙口罩为每盒 2.7 元， 利润W1 = 0.6 100+ 2.3 100+8 215 = 2010元
则出售一盒甲口罩获利 0.6 元，出售一盒乙口罩获
方案 2，甲口罩和乙口罩各购进 150 盒，则购入丙口
利 2.3 元，出售一盒丙口罩获利 8 元， 1585 5.1 150
罩的数量为： =164盒
5
{#{QQABJYaUggigAAIAARgCUQEyCgGQkBCCCCgOREAIoAABSAFABAA=}#}
利润W = 0.6 150+ 2.3 150+8 164 =1747元 综上所述，购进方案有甲口罩购买 100 盒和 150 盒，2
方案 1 获利最大，最大值为 2010 元．
∴W1 W2
1 2
25、(14 分)如图，抛物线 y = x + bx + c 与 y轴交于
2
点 A（0，3），与 x轴交于点 B（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接 AB，点 C为线段 AB上的一个动点，过点 C作 y轴的平行线交抛物线于点 D，设 C点的横坐
标为 m，线段 CD长度为 d（d≠0）．求 d与 m的函数关系式（不要求写出自变量 m的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接 AD，是否存在 m值，使△ACD是等腰三角形？若存在，求出 m的值；若
不存在，请说明理由．
25、解(1) （1）∵A（0，3），B（4，0） 过点 C作 CE⊥y轴于点 E，
3 = c c = 3
∴CE∥OB，∴△ACE∽△ABO，

∴ 1 ，解得 5 ， 5
0 = 4
2 + 4b+ c
2
b = ∴ AC = m，
4 4
1 5 若△ACD是等腰三角形，则分以下情况讨论： 2
∴该抛物线的解析式是 y = x + x +3
2 4 5 1
①CA=CD时，则 m = m
2 + 2m整理得
(2) 设直线 AB的解析式为 y=kx+b 4 21
3
2
∵A（0，3），B（4，0） 2m 3m = 0解得：m=0 或m = 2
3 3
3 = b

∴解得 ， k = 得 ∵C不与 A重合，∴m=0 舍去∴m = 4
4k +b1 = 0
2

b1 = 3 ②DA=DC时，过点 D作 DH⊥AC于点 H，∴AH=HC
3
∴直线 AB的解析式为 y = x +3
4 ∵CD∥y轴∴∠DCA=∠OAB，
∵CD∥y轴，∴C、D两点的横坐标都为 m． ∴cos∠DCA=cos∠OAB，
3 3 CH OA CH 3
在 y = x +3中，当 x=m时， y = m+3 ∴ = ，∴ = ，
4 4 CD AB CD 5
3 1
∴C（m， m+3） ∴5CH=3CD．又∵HC= AC，∴5AC=6CD
4 2
1 5 5 1
在 y = x
2 + x +3 5 m = 6 ( m2中，当 x=m时， 则 + 2m)
2 4 4 2
1
y = m2
5 23
+ m+3 整理得12m2 23m = 0解得：m=0 或m =
2 4 12
1 2 5 23
∴D（m， m + m+3）， ∵C不与 A重合，∴m=0 舍去∴m =
2 4 12
1 2 5 3 1d = ( m + m+3) ( m+3) = m2∴ + 2m ③AD=AC时同理得 m=1
2 4 4 2
3 23
（3）存在．以下证明：∵A（0,3），B（4,0） 综上存在 m值，m = 或m = 或 m=1 使得△ACD2 12
∴OA=3，OB=4，即 是等腰三角形． AB = 32 + 42 = 5
{#{QQABJYaUggigAAIAARgCUQEyCgGQkBCCCCgOREAIoAABSAFABAA=}#}