11.2正弦定理(第2课时)
一、单选题
1．在△ABC中，若sin2A＝sin2B+sin2C，则∠A＝（ ）
A．45° B．75° C．90° D．60°
【答案】C
【解析】
【分析】
利用正弦定理将sin2A＝sin2B+sin2C中的角化边，即可得解．
【详解】
由正弦定理知，.
∵sin2A＝sin2B+sin2C，∴a2＝b2+c2，即∠A＝90°．
故选：C．
2．在△ABC中，若，则B＝（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【解析】
【分析】
由正弦定理化边为角，再由诱导公式，两角和的正弦公式变形可得．
【详解】
因为，由正弦定理得
因为，所以
因为，所以，所以，而B为三角形内角，故．
故选：A．
3．在中，，，则（ ）
A． B．3 C．1 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用正弦定理求出的大小，然后求出，再判断三角形的形状，求解比值即可．
【详解】
因为在中，，，
由正弦定理可得：，
，，又，所以，
则．
三角形是等腰三角形，，则，
则．
故选：．
4．在中，角，，的对边分别为，，若，，，则的面积（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知利用正弦定理可得，利用同角三角函数基本关系式可求的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．
【详解】
解：，
，由正弦定理可得，
，
，
的面积．
故选：A．
5．在中，若，则的形状是（ ）．
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正弦定理和题设条件，化简得到，进而得到，即可求解.
【详解】
因为，
由正弦定理，可得，
又由，所以，
因为，可得，所以，
又因为，所以，所以为直角三角形.
故选：A.
6．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c．已知，且，则b的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用正弦定理余弦定理化角为边，解方程求b.
【详解】
设△ABC的外接圆半径为R，
∵ ，
由正弦定理和余弦定理可得 ，
∴ ，又，
∴ ，
故选：C.
二、多选题
7．△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则下列结论正确的是（ ）
A．△ABC是单位圆的内接三角形，则
B．若（a+b+c）（a+b-c）=3ab，则
C．若，则
D．若，则△ABC是锐角三角形
【答案】BC
【解析】
【分析】
A，由正弦定理可得；B，由余弦定理化简可得；C，先由正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可求解；D，由余弦定理化角为边，整理可得可判断.
【详解】
对A，若△ABC是单位圆的内接三角形，则由正弦定理可得，所以，故A错误；
对B，由整理可得，由余弦定理，，，故B正确；
对C，由可得，由正弦定理可得，由余弦定理得，，，故C正确；
对D，若，由余弦定理，整理可得，，，即，此时并不能证明△ABC是锐角三角形，如当时为直角三角形，故D错误.
故选：BC.
8．在中，角，，的对边分别为，，，则下列结论成立的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据大边对大角以及正弦定理即可判断A；根据余弦函数的单调性以及可判断B；利用正弦定理化边为角以及同角三角函数商数关系可得即可判断C；利用正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式可得进而可得或即可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
对于A：因为，所以，由正弦定理可得（是外接圆的半径），所以，故选项A正确；
对于B：因为在上单调递减，且，所以，故选项B正确；
对于C：因为，由正弦定理化边为角可得，
又因为，所以，所以，故选项C正确；
对于D：利用正弦定理化边为角可得，所以，所以或，故选项D错误．
故选：ABC．
三、填空题
9．如图所示，为了测量A、B两岛屿的距离，小明在D处观测到A、B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶10海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A、B两岛屿的距离为__海里．
【答案】．
【解析】
【分析】
先利用正弦定理求解AD的长，再利用余弦定理求出AB．
【详解】
由题意知∠ADB＝60°，∠ACB＝60°，∠ADC＝105°，∠ACD＝30°，CD＝10，∠BDC=45°，
在三角形ACD中，，
∴AD＝，
在直角三角形BCD中，BD＝，
在三角形ABD中，AB＝．
故答案为：．
10．在中，内角，，所对的边分别为，，．若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用正弦定理，化边为角，再转化，展开化简可得，结合的范围，即得解
【详解】
因为，由正弦定理：
所以，
所以，
因为，所以，
因为为三角形的内角，则．
故答案为：
11．在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝________.
【答案】
【解析】
【分析】
在△ABD中，由正弦定理求得∠ADB，再根据三角形内角和求得∠BAD，即可求得∠BAC，∠C，在△ABC中，再由正弦定理即可得出答案.
【详解】
如图，在△ABD中，由正弦定理，
得＝，∴sin∠ADB＝，
∴∠ADB＝45°，∴∠BAD＝180°－45°－120°＝15°，
∴∠BAC＝30°，∠C＝30°，
∴BC＝AB＝，
在△ABC中，由正弦定理，
得＝，∴AC＝.
故答案为：.
12．在中，角所对的边分别为，，则______
【答案】
【解析】
【分析】
利用正余弦定理求、，结合二倍角正弦公式即可求.
【详解】
由题设，，而，
∴.
故答案为：
四、解答题
13．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的平分线与边交于点D，且.
(1)求证：.
(2)若，求的面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由，结合三角形的面积公式求得，即可求解；
（2）由（1）知和余弦定理，可得，解得，结合面积公式，即可求解.
(1)
解：由的平分线与边交于点D，可得，
因为，为的平分线，且，
所以，
可得，所以.
(2)
解：由余弦定理，可得，且，
又由（1）知，可得，解得或（舍去），
所以.
14．如图，设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若b2＝ac，，D是△ABC外一点，DC＝1，DA＝3，四边形ABCD面积最大值是________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先b2＝ac，可得，所以为等边三角形，设AC＝x利用余弦定理可得x2＝10﹣6cosD，由S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝x2+sinD＝3sin（D﹣）+，利用三角函数的性质即可得解.
【详解】
b2＝ac，由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2accos，带入得ac＝a2+c2﹣ac，
即（a﹣c）2＝0，所以，A＝C，所以为等边三角形，
设AC＝x，x＞0，
在△ADC中，由余弦定理可得：AC2＝AD2+CD2﹣2AD CD cosD，
由于AD＝3，DC＝1，
代入上式可得：x2＝10﹣6cosD，
所以S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝x xsin+×3sinD＝x2+sinD
＝（10﹣6cosD）+sinD＝3sin（D﹣）+ ，
当时，所以四边形ABCD面积的最大值为.
故答案为：.11.2正弦定理(第2课时)
一、单选题
1．在△ABC中，若sin2A＝sin2B+sin2C，则∠A＝（ ）
A．45° B．75° C．90° D．60°
2．在△ABC中，若，则B＝（ ）
A． B． C．或 D．或
3．在中，，，则（ ）
A． B．3 C．1 D．2
4．在中，角，，的对边分别为，，若，，，则的面积（ ）
A． B． C．1 D．
5．在中，若，则的形状是（ ）．
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
6．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c．已知，且，则b的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
二、多选题
7．△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则下列结论正确的是（ ）
A．△ABC是单位圆的内接三角形，则
B．若（a+b+c）（a+b-c）=3ab，则
C．若，则
D．若，则△ABC是锐角三角形
8．在中，角，，的对边分别为，，，则下列结论成立的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
三、填空题
9．如图所示，为了测量A、B两岛屿的距离，小明在D处观测到A、B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶10海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A、B两岛屿的距离为__海里．
10．在中，内角，，所对的边分别为，，．若，则______．
11．在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝________.
12．在中，角所对的边分别为，，则______
四、解答题
13．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的平分线与边交于点D，且.
(1)求证：.
(2)若，求的面积.
14．如图，设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若b2＝ac，，D是△ABC外一点，DC＝1，DA＝3，四边形ABCD面积最大值是________.
