13.2.3直线与平面位置关系（2）线面垂直的判定与性质
一、单选题
1．在正方体中P，Q分别是和的中点，则下列判断错误的是（ ）
A． B．平面
C． D．平面
【答案】D
【解析】
【分析】
取中点，连接，通过证明平面可判断A；分别取中点，连接，可证明，即可证明，可判断C；进一步即可证明平面判断B；根据平面可判断D.
【详解】
取中点，连接，因为P，Q分别是和的中点，易得，又，平面，平面，，故A正确；
分别取中点，连接，易得且，
所以四边形为平行四边形，，又，，故C正确；
，，又，，平面，故B正确；
平面即为平面，显然平面，故D错误.
故选：D.
2．已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据异面直线的定义，垂直关系的转化，判断选项.
【详解】
A.，与相交，所以与异面，故A错误；
B.与平面相交，且，所以与异面，故B错误；
C.四边形是矩形，不是菱形，所以对角线与不垂直，故C错误；
D.连结，，，，所以平面，所以，故D正确.
故选：D
3．一种特殊的四面体叫做“鳖臑”，它的四个面均为直角三角形.如图，在四面体PABC中，设E，F分别是PB，PC上的点，连接AE，AF，EF（此外不再增加任何连线），则图中直角三角形最多有（ ）
A．6个 B．8个
C．10个 D．12个
【答案】C
【解析】
【分析】
由题设，若四面体PABC为“鳖臑”，应用线面、面面垂直的判定、性质只需AE⊥EF、AE⊥PC、EF⊥PC，即PAEF也是“鳖臑”，即可保证直角三角形最多，进而确定个数即可.
【详解】
为使题图中有尽可能多的直角三角形，设四面体PABC为“鳖臑”，
其中PA⊥面ABC，BC面ABC，则PA⊥BC，
又AB⊥BC，ABPA = A，
∴CB⊥面PAB.
若AE⊥PB，EF⊥PC：
由CB⊥面PAB，BC面PBC，则面PAB⊥面PBC，又AE面PAB，面PAB∩面PBC=PB，
∴AE⊥面PBC，EF、PC面PBC，则AE⊥EF且AE⊥PC，又EF⊥PC，
∴四面体PAEF也是“鳖臑”，则10个三角形全是直角三角形，
故选：C.
4．在四棱锥中，底面为正方形，底面，M是上一点，有以下四个命题：
甲：平面平面；
乙：；
丙：；
丁：.
如果只有一个命题是错误的，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题中所给的条件，判断出比较明显的垂直关系，结合题意，有三个真命题一个假命题，假设丁正确，从而判断出两个真一个假，从而确定出结果.
【详解】
底面为正方形，所以，
又因为底面，平面，所以，
又因为，所以平面，所以，
若只有一个假命题，则其它三个命题为真命题，
即由条件可逐步推导出其它三个命题，
若丁正确，即，
因为，所以平面，
又平面，所以平面平面，故甲正确；
因为平面，所以，故丙正确；
若乙也正确，则，，
又在同一平面，且，
所以有平面，因为平面，所以，
因为，，则平面，
平面，平面，则，
，，则平面，则平面平面，与已知条件矛盾，所以乙不正确，
故选：B.
5．已知l，m表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】A
【解析】
【分析】
根据线面垂直的性质判断A，根据线面间的位置关系判断BCD．
【详解】
对于A，若，则根据直线与平面垂直的性质，知，故A正确；
对于B，若，则l可能在内，故B不正确；
对于C，若，则或，故C不正确；
对于D，若，则l与m可能平行，也可能异面，故D不正确.
故选：A.
二、多选题
6．下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据空间直线、平面间的位置关系、线面垂直的判定定理和性质定理判断．
【详解】
由线面垂直的判定定理可得A正确，由线面垂直的性质定理可得B正确，
，可能有，C错误，时可能有，，与相交（可能垂直），D错误，
故选：AB．
7．在正方体，点分别是棱的中点，下列说法正确的是（ ）
A． B．平面
C．平面 D．异面直线、所成角的大小为
【答案】ABC
【解析】
【分析】
对于A：连接，由中位线定理得，又由，可判断；
对于B：根据线面平行的判定定理可判断；
对于C：根据线面垂直的判定定理可判断；
对于D：连接，可得（或其补角）就是异面直线、所成的角，由此可判断.
【详解】
对于A：连接，因为分别是棱的中点，所以，又，所以，又，所以，故A正确；
对于B：由A选项的解析得，又平面，平面，所以平面，故B正确；
对于C：连接，则，又因为分别是棱的中点，所以，所以，
又面，面，所以，又，面，所以面，
所以，同理可证，又，面，所以平面，故C正确；
对于D：连接，因为分别是棱的中点，所以，所以（或其补角）就是异面直线、所成的角，
又是正三角形，所以，所以异面直线、所成角的大小为，故D不正确，
故选：ABC.
三、填空题
8．如图，在直四棱柱中，当底面ABCD满足条件___________时，有.（只需填写一种正确条件即可）
【答案】(答案不唯一)
【解析】
【分析】
直四棱柱，是在上底面的投影，当时，可得，当然底面ABCD满足的条件也就能写出来了.
【详解】
根据直四棱柱可得：∥，且，所以四边形是矩形，所以∥，同理可证：∥，当时，可得：，且底面，而底面，所以，而，从而平面，因为平面，所以，所以当满足题意.
故答案为：.
9．，，是三直线，是平面，若，，，，且__________（填上一个条件即可），则有．
【答案】
【解析】
【分析】
由线面垂直的判定定理即可求解
【详解】
由线面垂直的判定定理可知：
，，，，且，
则，
故答案为：
10．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，且，若点为的中点，则点到平面的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由∥平面知，点到面的距离等于点到面的距离，把问题转化为解直角三角形问题．
【详解】
∵是正方形，∴，
又∵平面，平面，∴∥平面，
于是点到面的距离等于点到面的距离．
取中点，连接.
∵平面，∴，
∵是正方形，∴，
又∵，∴平面，
∵平面，∴平面平面，
∵为中点，，∴，
∴，又∵平面平面，
∴平面，∴点C到平面的距离为OC，
∵为等腰直角三角形，，∴，
∴点C到平面的距离等于，故点D到平面的距离等于．
故答案为：．
11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．当＝__时，D1E⊥平面AB1F．
【答案】1
【解析】
【分析】
要D1E⊥平面AB1F，先确定D1E⊥平面AB1F内的两条相交直线，由三垂线定理易证D1E⊥AB1，同理证明D1E⊥AF即可．
【详解】
解：连接A1B，则A1B是D1E在面ABB1A内的射影，
∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1，
于是D1E⊥平面AB1F，又平面AB1F，所以D1E⊥AF．
连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影．
∴D1E⊥AF，，因为，所以平面，
又平面，所以DE⊥AF．
∵ABCD是正方形，E是BC的中点．
∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，
即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F．
∴＝1时，D1E⊥平面AB1F．
故答案为：1.
12．如图，矩形中，，平面，若在线段上至少存在一个点满足，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
由已知中平面，在边上取点，使，由线面垂直的判定定理及性质可得满足条件时，，即以为直径，的中点为圆心的圆，再根据，，满足条件的点至少有1个，从而可得的取值范围．
【详解】
解：平面，平面，
，
又，，
平面，又平面，
，
所以点是以中点为圆心，以为直径的圆与的交点，
，，在线段上至少存在一个点满足，
．
故答案为：．
四、解答题
13．在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD．求证：l∥AE．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
根据线面平行的性质定理将问题转化为证明AE⊥平面PCD，再转化为AE⊥DC，然后再转化为CD⊥平面PAD，最后结合已知可证.
【详解】
证明：因为PA⊥平面ABCD，
CD 平面ABCD，
所以PA⊥CD．
又四边形ABCD是矩形，所以CD⊥AD．
因为PA∩AD＝A，PA 平面PAD，AD 平面PAD，
所以CD⊥平面PAD．
又AE 平面PAD，所以AE⊥DC．
因为AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD 平面PCD，CD 平面PCD，
所以AE⊥平面PCD．
因为l⊥平面PCD，
所以l∥AE．
14．如图所示，直三棱柱ABC A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，C点到AB1的距离为CE，D为AB的中点．求证：
(1)CD⊥AA1；
(2)AB1⊥平面CED.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由直棱柱的性质和线面垂直的性质可证；
（2）根据线面垂直判定定理将问题转化为CD⊥AB1，然后转化为证明CD⊥平面A1B1BA，然后结合已知条件可证.
(1)
由题意知AA1⊥平面ABC，CD 平面ABC，
所以CD⊥AA1.
(2)
因为D是AB的中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，所以CD⊥AB.
又CD⊥AA1，AB∩A1A＝A，AB 平面A1B1BA，A1A 平面A1B1BA，
所以CD⊥平面A1B1BA.
因为AB1 平面A1B1BA，
所以CD⊥AB1.
又CE⊥AB1，CD∩CE＝C，CD 平面CED，CE 平面CED，
所以AB1⊥平面CED.13.2.3直线与平面位置关系（2）线面垂直的判定与性质
一、单选题
1．在正方体中P，Q分别是和的中点，则下列判断错误的是（ ）
A． B．平面
C． D．平面
2．已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．一种特殊的四面体叫做“鳖臑”，它的四个面均为直角三角形.如图，在四面体PABC中，设E，F分别是PB，PC上的点，连接AE，AF，EF（此外不再增加任何连线），则图中直角三角形最多有（ ）
A．6个 B．8个
C．10个 D．12个
4．在四棱锥中，底面为正方形，底面，M是上一点，有以下四个命题：
甲：平面平面；
乙：；
丙：；
丁：.
如果只有一个命题是错误的，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．已知l，m表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
二、多选题
6．下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．在正方体，点分别是棱的中点，下列说法正确的是（ ）
A． B．平面
C．平面 D．异面直线、所成角的大小为
三、填空题
8．如图，在直四棱柱中，当底面ABCD满足条件___________时，有.（只需填写一种正确条件即可）
9．，，是三直线，是平面，若，，，，且__________（填上一个条件即可），则有．
10．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，且，若点为的中点，则点到平面的距离为______．
11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．当＝__时，D1E⊥平面AB1F．
12．如图，矩形中，，平面，若在线段上至少存在一个点满足，则的取值范围是________.
四、解答题
13．在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD．求证：l∥AE．
14．如图所示，直三棱柱ABC A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，C点到AB1的距离为CE，D为AB的中点．求证：
(1)CD⊥AA1；
(2)AB1⊥平面CED.
