13.2.4平面与平面位置关系（1）平面与平面平行的判定与性质
一、单选题
1．已知，是相异两平面，，是相异两直线，则下列命题中不正确的是（ ）
A．若∥，，则
B．若，，则∥
C．若，，则
D．若∥，，则∥
【答案】D
【解析】
【分析】
将上面条件放到长方体或正方体中，再结合性质定理和判定定理即可判断结论是否成立.
【详解】
因为，是相异两平面，，是相异两直线，知：
对于A：若∥，，则，故A正确；
对于B：若，，则∥，故B正确；
对于C：若，，则，故C正确；
对于D：若∥，，则与相交、平行或异面，故D不正确.
故选：D.
2．设为两个不同的平面，则的充要条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行
B．垂直于同一平面
C．平行于同一条直线
D．内的任何直线都与平行
【答案】D
【解析】
【分析】
根据面面平行、相交的知识确定正确选项.
【详解】
A选项，内有无数条直线与平行，与可能相交，A选项错误.
B选项，垂直于同一平面，与可能相交，B选项错误.
C选项，平行于同一条直线，与可能相交，C选项错误.
D选项，内的任何直线都与平行，则，D选项正确.
故选：D
3．在三棱台中，点在上，且，点是三角形内（含边界）的一个动点，且有平面平面，则动点的轨迹是（ ）
A．三角形边界的一部分 B．一个点
C．线段的一部分 D．圆的一部分
【答案】C
【解析】
【分析】
过作交于，连接，证明平面平面，得，即得结论．
【详解】
如图，过作交于，连接，
，平面，平面，所以平面，
同理平面，又，平面，
所以平面平面，所以，（不与重合，否则没有平面），
故选：C．
4．如图是某几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，其余均为等腰三角形，E，F，G，H 分别为的中点. 则在此几何体中，给出下列结论，其中正确的结论是（ ）
A．直线平面
B．直线与平面相交
C．直线平面
D．平面平面
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意作出立体图形如图所示.连接，则四点构成平面，然后根据线面、面面的平行，垂直的判定定理判断即可
【详解】
作出立体图形如图所示.连接四点构成平面.
对于A，根据图形可知直线与平面相交，两者不平行；
对于B，连接，设的中点为M，则M也是的中点，所以，又平面，平面，所以平面，故B错误；
对于C，由图知与不垂直，故C错误；
对于D，因为E，F分别是的中点，所以.又平面，平面，所以平面.同理， 平面.又，平面，平面，所以平面平面，故D正确，
故选：D.
5．如图，平面平面，，是内不同的两点，，是内不同的两点，，分别是线段，的中点，则下列所有正确判断的编号是（ ）
①当，共面时，直线
②当时，，两点不可能重合
③当，是异面直线时，直线一定与平行
④可能存在直线与垂直
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
【答案】A
【解析】
【分析】
对于①，由面面平行的性质定理判断即可，对于②，如图判断，对于③④，连接，取的中点，连接，则可得平面与平面都平行，从而可进行判断
【详解】
解：对于①，当，共面时，则平面平面，平面平面，因为平面平面，所以，所以①正确；
对于②，如图，当时，成立，而此时，两点重合，所以②错误；
对于③，如图，连接，取的中点，连接，因为，分别是线段，的中点，所以∥，∥，因为，，所以∥，∥，因为平面平面，所以∥，因为，所以平面∥，平面∥，因为平面，所以直线一定与平行，所以③正确，
对于④，由①可知，当，共面时，∥，因为，所以∥，由③可知，当，是异面直线时，直线一定与平行，综上，∥，所以④错误，
故选：A
6．正方体中，，分别为，的中点，平面与平面的交线为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用面面平行的性质定理转化到，再逐项分析求解即可.
【详解】
面平行于面
平面平面
平面与平面的交线为
由面面平行的性质定理可知，
有在正方形中，，
故三角形与三角形全等，设
故
故，故D对
显然
不垂直，故错误
不平行，故错误
显然不平行，故错误.
故选：D
【点睛】
本题不需要作出直线，只需要利用面面平行的性质定理将条件合理转化到，在平面中判断成立即可.体现了立体几何中空间问题平面化的基本方法.
二、多选题
7．如图，在正方体中，E为的中点，则下列条件中，能使直线平面的有（ ）
A．F为的中点 B．F为的中点 C．F为的中点 D．F为的中点
【答案】ACD
【解析】
【分析】
取棱的中点，说明与共面，证明平面平面，即可得．
【详解】
如图，分别是棱的中点，易证与共面，由，平面，平面，则平面，同理平面，而是平面内相交直线，则得平面平面，平面，则平面，观察各选项，ACD满足，
故选：ACD．
8．如图，在下列四个正方件中，A，B为正方件的两个顶点，M，N，P为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是( )
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
对于选项A：结合已知条件利用线线平行证明面面平行，然后利用面面平行的性质证明线面平行；对于选项BD：利用线线的位置关系即可判断线面的位置关系；对于选项C：利用线面平行的判定定理即可求解.
【详解】
对于A选项：过A作正方体的面对角线，且，如下图所示：
由已知条件可知，，
又因为，，
所以平面平面，
又因为平面，所以平面，故A正确；
对于B选项：连接正方体底面对角线BC和EF，相交于O，且BC与MP交于H，连接ON，
如下图所示：
由上图可知，O为的中点，故，
因为与平面相交，所以也与平面相交，故B错误；
对于选项C：连接NP所在面的正方体的面对角线EF，且，如下图所示：
由已知条件和正方体的结构特征可知，，
因为平面，平面，
所以平面，故C正确；
对于选项D：连接NP所在面的正方体的面对角线EF，且，如下图所示：
因为EF和NP相交，且平面，所以EF和平面相交，
从而与平面相交，故D错误.
故选：AC.
三、填空题
9．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC与N，则MN＝________AC.
【答案】##
【解析】
【分析】
由面面平行的性质结合已知可得∥，∥，再由，可得，然后由三角形中位线定理可求得结果
【详解】
∵平面∥平面，
平面平面，平面平面，
平面平面，平面平面，
∴∥，∥.
∵，∴.
∴∥，.
故答案为：
10．设平面，直线，则___________.
【答案】9
【解析】
【分析】
根据题意作出可能的示意图，根据面面平行的性质，可得到线线平行，从而列出比例式，解得答案,
【详解】
根据题意可作图如下：
因为直线，故可设它们确定的平面为m,
则m和α的交线为AC,和β的交线为BD,
因为 ，故 ,
故 ,即，则 ,
故答案为：9.
四、解答题
11．如图，正方形为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线，分别是的中点，．
(1)证明：平面；
(2)设平面与圆所在平面的交线为，证明：平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）连接、，根据圆柱的性质可得四边形为平行四边形，即可得到
为的中点，从而得到，即可得证；
（2）根据面面平行的性质得到，即可得证；
(1)
证明：如图连接、，
根据圆柱的性质可得且，所以四边形为平行四边形，
因为为的中点，所以为的中点，又为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面，
(2)
证明：根据圆柱的性质可得圆平面，
又平面圆，平面平面，
所以，
因为平面，平面，所以平面；
12．如图，已知是棱长为3的正方体，点E在上，点F在上，G在上，且.H是的中点．
(1)求证：B、E、、F四点共面；
(2)求证：平面平面.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析﹒
【解析】
【分析】
(1)在上取一点N使得，连接CN，EN，证明四边形为平行四边形即可证四点共面；
(2)由(1)知，可得平面；取BG中点为I，连接，易证∥HG∥BF，由此可得，HG∥平面，从而可得结论．
(1)
如图：
在上取一点N使得，连接CN，EN，则，则，
又∵，∴四边形是平行四边形，
∴且．
同理四边形DNEA是平行四边形，∴，且，
又且，∴且，
∴四边形CNEB是平行四边形，
∴且，
∴且，
∴四边形为平行四边形，从而B、E、、F四点共面；
(2)
由(1)知，，平面，平面，
∴平面，①
取BG中点为I，连接，则G是，H是，∴∥HG，
且BI∥，BI＝，∴四边形BI是平行四边形，∴∥BF，
∴BF∥HG，∵BF平面，HG平面，
∴平面，②
由①②，且，HG 平面，
∴平面平面．
13．如图所示，在正方体中，为底面的中心，是的中点，设是上的点，问：当点在什么位置时，平面平面？
【答案】当为的中点时，证明见解析.
【解析】
【分析】
证得平面和平面，根据面面平行的判定定理即可得出结论.
【详解】
当为的中点时，平面平面．
连接，因为为的中点，为的中点，所以．
又，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以．
又平面，平面，
所以平面．连接，则，
又为的中点，为的中点，
所以．平面，平面，
所以平面．
又，所以平面平面．13.2.4平面与平面位置关系（1）平面与平面平行的判定与性质
一、单选题
1．已知，是相异两平面，，是相异两直线，则下列命题中不正确的是（ ）
A．若∥，，则
B．若，，则∥
C．若，，则
D．若∥，，则∥
2．设为两个不同的平面，则的充要条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行
B．垂直于同一平面
C．平行于同一条直线
D．内的任何直线都与平行
3．在三棱台中，点在上，且，点是三角形内（含边界）的一个动点，且有平面平面，则动点的轨迹是（ ）
A．三角形边界的一部分 B．一个点
C．线段的一部分 D．圆的一部分
4．如图是某几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，其余均为等腰三角形，E，F，G，H 分别为的中点. 则在此几何体中，给出下列结论，其中正确的结论是（ ）
A．直线平面
B．直线与平面相交
C．直线平面
D．平面平面
5．如图，平面平面，，是内不同的两点，，是内不同的两点，，分别是线段，的中点，则下列所有正确判断的编号是（ ）
①当，共面时，直线
②当时，，两点不可能重合
③当，是异面直线时，直线一定与平行
④可能存在直线与垂直
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
6．正方体中，，分别为，的中点，平面与平面的交线为，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．如图，在正方体中，E为的中点，则下列条件中，能使直线平面的有（ ）
A．F为的中点 B．F为的中点 C．F为的中点 D．F为的中点
8．如图，在下列四个正方件中，A，B为正方件的两个顶点，M，N，P为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是( )
A． B．
C． D．
三、填空题
9．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC与N，则MN＝________AC.
10．设平面，直线，则___________.
四、解答题
11．如图，正方形为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线，分别是的中点，．
(1)证明：平面；
(2)设平面与圆所在平面的交线为，证明：平面．
12．如图，已知是棱长为3的正方体，点E在上，点F在上，G在上，且.H是的中点．
(1)求证：B、E、、F四点共面；
(2)求证：平面平面.
13．如图所示，在正方体中，为底面的中心，是的中点，设是上的点，问：当点在什么位置时，平面平面？
