13.2.4平面与平面位置关系（2）二面角
一、单选题
1．如图.是圆的直径，，，是圆上一点(不同于，)，且，则二面角的平面角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由圆的性质知：，根据线面垂直的判定得到面，即，结合二面角定义可确定二面角的平面角.
【详解】
∵是圆上一点(不同于，)，是圆的直径，
∴，，，即面，而面，
∴，又面面，，
∴由二面角的定义：为二面角的平面角.
故选：C
2．下列说法：
①两个相交平面所组成的图形叫做二面角；
②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；
③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
由二面角的定义判断.
【详解】
根据二面角的定义知①两个相交的半平面所组成的图形叫做二面角，故错误；
②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作棱的垂线所成的角，故错误；
③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置无关，故错误．
所以①②③都不正确．
故选：A
3．若以等腰直角三角形斜边上的高为棱，把它折成直二面角，则折后两条直角边的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可确定，由勾股定理可证得是正三角形，由此可得结果.
【详解】
如图①，，，则折起后,（图②），
设，则，，
图②中是正三角形，.
故选：C.
4．如图，在直三棱柱中，底面三角形是等边三角形，且，，则二面角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】B
【解析】
【分析】
首先取的中点，连接，，根据题意得到为二面角平面角，再计算其大小即可.
【详解】
取的中点，连接，，如图所示：
由题知： ，又因为为的中点，
所以，且
又因为，所以为二面角平面角.
因为，为锐角，所以.
故选：B
5．如图，二面角α-l-β的大小是60°，线段AB α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB，OC，则,,设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ，解三角形得解.
【详解】
如图，
作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB，OC，则OC⊥l．
则,,
设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ，
由图得sinθ＝＝＝sin30°·sin60°＝．
故选：C
【点睛】
方法点睛：求空间的角常用的方法有：（1）几何法（找作证指求）；（2）向量法.要根据已知条件灵活选择方法求解.
6．攒尖在中国古建筑（如宫殿、坛庙、园林等）中大量存在，攒尖式建筑的屋面在顶部交汇成宝顶，使整个屋顶呈棱锥或圆锥形状.始建于年的廓如亭（位于北京颐和园内，如图）是全国最大的攒尖亭宇，八角重檐，蔚为壮观.其檐平面呈正八边形，上檐边长为，宝顶到上檐平面的距离为，则攒尖坡度（即屋顶斜面与檐平面所成二面角的正切值）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正八边形的性质，结合二倍角正切公式及正切的定义求上檐平面中心到檐边的距离，再根据题设求攒尖坡度.
【详解】
由题设，上檐平面的八边形如下图示：，，且是的中点，
∴，而，
∴，(舍)，又，故，
由题设知：攒尖坡度为.
故选：D
二、多选题
7．如图，正四棱台的高为，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．二面角的大小为 D．点到面的距离为
【答案】ACD
【解析】
【分析】
直接利用正四棱台的几何结构特征及性质和勾股定理，以及二面角的平面角的定义及求法和等体积法，逐项判定，即可求解.
【详解】
如图所示，连接，设，连接，
由该几何体为正四棱台，所以侧面都是全等的梯形，所以，
对于A中，由，所以，
又由底面为正方形，所以，所以A正确；
对于B中，在中，，可得，所以B错误；
对于C中，因为底面为正方形，所以，
由为等腰直角三角形，且，可得，且，
所以为的平面角，
作，可证得平面，所以，
在直角中，，可得，
即二面角的大小为，所以C正确.
对于D中，由，可得点到平面的距离等于正四棱台的高，且高为，所以D正确.
故选：ACD.
8．如图，在矩形中，，，为线段上一点，且满足，现将沿折起使得折到，使得平面平面，则下列正确的是（ ）．
A．线段上存在一点（异于端点），使得直线与垂直
B．线段上存在一点（异于端点），使得直线面
C．直线与面成角正弦值为
D．面与面所成锐二面角正切值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】
利用线面垂直，面面垂直的判定与性质，得到线面角，面面角，计算之后可以判定CD,利用线面平行的判定与性质不难找到满足B的例子，利用反证法，结合线面垂直面面垂直的判定与性质可以证明A错误.
【详解】
如图所示，过D'作D'E⊥AB，垂足为E,∵平面平面，∴⊥平面ABC,
作EH⊥AF,垂足为H,连接D'H,∵AF⊥EH,AF⊥D'E,∴AF⊥平面D'EH,∴AF⊥D'H,
由于AD=2,DF=3,∴AF=,
∴DH=
连接EF，则∠为直线与平面ABC所成的角，
,
∵BC⊥AB, 平面平面，
∴BC⊥平面平面，∴BC⊥,
∴∠为面与面所成锐二面角，
,
当P位于靠近D'的线段D'B的四等分点时，
过P作AB的平行线交D'A与点R,则，且PR=CF,
∴四边形PRFC为平行四边形，
∴平面,
过A作AQ⊥BD'，垂足为Q,
由BC⊥平面ABD',BC 平面BCD',
可得平面BCD'⊥平面ABD',
∴AQ⊥平面BCD',∴AQ⊥CP,
假设CP⊥AD',则CP⊥平面ABD',
于是CP⊥BD',于是P与B重合，
这是题意所不允许的，
∴CP不可能与AD'垂直.
综上正确的是:BCD.
故选:BCD.
【点睛】
本题考查线面垂直，面面垂直的判定与性质，考查线面角，面面角，线面平行的判定与性质，属综合性难题，关键是熟练掌握使用线面，面面平行、垂直的判定定理和性质定理.
三、填空题
9．若是所在平面外一点，而和都是边长为2的正三角形，，则二面角的大小为____________.
【答案】.
【解析】
【分析】
取的中点，连接，则为二面角的平面角，在中，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，取的中点，连接，则为二面角的平面角，
因为，所以为直角三角形，所以.
【点睛】
本题主要考查了二面角的求解，其中解答中根据二面角的平面角的定义，得到为二面角的平面角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
10．如图，直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据面面垂直与线面垂直的性质定理，可得AC⊥BC，故△ACB为直角三角形，利用勾股定理可得BC的值；进而在Rt△BCD中，利用勾股定理可得CD的值.
【详解】
如图，连接BC，
∵二面角α－l－β为直二面角，ACα，且AC⊥l，∴AC⊥β.
又BCβ，∴AC⊥BC，
∴BC2＝AB2－AC2＝3.
又BD⊥CD，∴CD＝＝
【点睛】
本题考查了面面垂直与线面垂直的性质定理的应用，考查了求空间图形中线段的长度；计算时，一般将空间图形转化为平面图形，构造直角三角形，进而在直角三角形中，利用勾股定理计算求解.
四、解答题
11．如图梯形中，，，，且，将梯形沿折叠得到图，使平面平面，与相交于，点在上，且，是的中点，过三点的平面交于．
（1）证明:是的中点；
（2）证明:平面；
（3）是上一点，已知二面角为，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据翻折前后的几何关系，通过面面平行证明结论；
（2）根据线面位置关系的判定和性质，证明结论；
（3）先做出二面角的平面角再根据条件计算线段的比值.
【详解】
证明：（1）在图中过作则
图中，连接BD，CE，
又，，
，且
中，
，又不在平面 ACD内，平面ACD
平面，平面平面
，， 又是的中点，
是的中点；
（2）如图，在直角梯形中， ，
中，
又平面平面
平面，且
平面， 平面ACE
中，
，又由（1）Q是AC的中点，
，
平面，
又平面
，又
平面；
（3）如图，过作，过作于点G，连结
则为二面角的平面角，
， 设，
又，
中，，
由得，即，
∴
12．如图所示，在三棱柱中，点D是AB的中点．
(1)求证：平面．
(2)若平面ABC，，，，求二面角的平面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析．
(2)．
【解析】
【分析】
（1）连接交于点，连接，由中位线定理得，从而可得线面平行；
（2）证明平面，得是二面角的平面角，然后在三角形中求得其余弦值．
(1)
连接交于点，连接，如图，
则是中点，又是中点，所以，
平面，平面，所以平面；
(2)
平面，平面，所以，
又，是中点，所以，
，平面，所以平面，
平面，所以，所以是二面角的平面角，
由，，，得，，，所以，
．13.2.4平面与平面位置关系（2）二面角
一、单选题
1．如图.是圆的直径，，，是圆上一点(不同于，)，且，则二面角的平面角为（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法：
①两个相交平面所组成的图形叫做二面角；
②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；
③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．若以等腰直角三角形斜边上的高为棱，把它折成直二面角，则折后两条直角边的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在直三棱柱中，底面三角形是等边三角形，且，，则二面角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．如图，二面角α-l-β的大小是60°，线段AB α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
6．攒尖在中国古建筑（如宫殿、坛庙、园林等）中大量存在，攒尖式建筑的屋面在顶部交汇成宝顶，使整个屋顶呈棱锥或圆锥形状.始建于年的廓如亭（位于北京颐和园内，如图）是全国最大的攒尖亭宇，八角重檐，蔚为壮观.其檐平面呈正八边形，上檐边长为，宝顶到上檐平面的距离为，则攒尖坡度（即屋顶斜面与檐平面所成二面角的正切值）为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．如图，正四棱台的高为，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．二面角的大小为 D．点到面的距离为
8．如图，在矩形中，，，为线段上一点，且满足，现将沿折起使得折到，使得平面平面，则下列正确的是（ ）．
A．线段上存在一点（异于端点），使得直线与垂直
B．线段上存在一点（异于端点），使得直线面
C．直线与面成角正弦值为
D．面与面所成锐二面角正切值为
三、填空题
9．若是所在平面外一点，而和都是边长为2的正三角形，，则二面角的大小为____________.
10．如图，直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为________.
四、解答题
11．如图梯形中，，，，且，将梯形沿折叠得到图，使平面平面，与相交于，点在上，且，是的中点，过三点的平面交于．
（1）证明:是的中点；
（2）证明:平面；
（3）是上一点，已知二面角为，求的值．
12．如图所示，在三棱柱中，点D是AB的中点．
(1)求证：平面．
(2)若平面ABC，，，，求二面角的平面角的余弦值．
