13.2.4平面与平面位置关系（3）面面垂直判定与性质
一、单选题
1．已知平面α，β，γ，则下列命题中正确的是（ ）
A．α⊥β，β⊥γ，则α∥γ
B．α∥β，β⊥γ，则α⊥γ
C．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，β⊥γ，则a⊥b
D．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥α
【答案】B
【解析】
【分析】
根据面面垂直的判定定理构造反例否定A；利用面面垂直的性质定理和面面平行的性质，线面垂直的判定定理判定B正确；利用线面垂直的判定定理构造反例否定C,D.
【详解】
A中α，γ可以相交.
如图所示:
设直线a⊥平面β，过a任作两平面和，则，，而直线a，故A错误；
对于B,由β⊥γ，设,在内作a的垂线b,如图所示：
由面面垂直的性质定理可得，
由于α∥β,∴，
又∵，∴,
故B正确.
C中如图：
a与b不一定垂直,直线a,b可能垂直，也可能不垂直，甚至平行，故C错误；
D中当时，才能利用面面垂直的性质定理得到，没有此条件，则b可能与成任意的角度，甚至在内，不能判定b⊥α，
如图所示：
故D错误.
故选：B.
2．如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
【答案】C
【解析】
【分析】
利用垂直关系，结合面面垂直的判断定理，即可判断选项.
【详解】
因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC 平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.
故选：C
3．如图所示，在斜三棱柱中，，且，过作平面，垂足为，则点在（ ）
A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．内部
【答案】B
【解析】
【分析】
先通过线线垂直证明面，进而可得面面，由面面垂直的性质定理可得要过作平面，只需过作即可，则答案可求.
【详解】
连接，，，且，
面，又面ABC
面面，
面面，
要过作平面，则只需过作即可，
故点在直线上
故选：B.
4．矩形中，，是线段上的点，将沿折起，得到，使得平面平面，则当，与平面所成角相等时，的长度等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
找到点在平面ABCD上的投影，找到，与平面所成角，两者相等等价于，从而得到E为DC中点，从而求解出结果.
【详解】
过点作于点F，连接BF，CF，因为平面平面，交线为AE，所以平面ABC，所以，，则是与平面所成角，是与平面所成角，当，与平面所成角相等，即时，，即，故，则F为AE中点，因为，由三线合一得：，即E为DC中点，此时，，
过点F作FG⊥AB于点G，则，，所以，
所以
故选：A
5．下列命题正确的是（ ）
A．平面α内的一条直线a垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
B．若平面α⊥β，则α内的直线垂直于平面β
C．若平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β
D．若直线a与平面α内的无数条直线都垂直，则不能说一定有a⊥α
【答案】D
【解析】
【分析】
对于AB举出反例得出判断，由面面垂直的性质定理可以判断C，由线面垂直的定义可以判断D.
【详解】
A项，如图平面α内的一条直线a垂直于平面β内的无数条直线，但αβ，故A错误；
B项，如图平面α⊥β，但α内的直线不垂直于平面β，故B错误；
C项，平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线，只有当此直线在α内时才垂直于β，故C错误；
D项，a与平面α内的任意一条直线都垂直可以推出a⊥α，故D正确.
故选：D.
6．设m，n是不同的直线，，是不同的平面，下列说法正确的是
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，，则
【答案】C
【解析】
由线面的位置关系，面面平行与垂直的判断定理逐一判定、排除即可得到答案.
【详解】
在中，若，，则或，故错误；
在中，若，，，则与相交或平行，故错误；
在中，若，，则由面面垂直的判断得到，故正确；
在中，由，，， 故或，故 错误．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运空间想象能力，属于基础题．
二、多选题
7．（多选）如图所示，在三棱锥中，，下列结论正确的是（ ）
A．平面平面ABC B．平面平面ABC
C．平面平面VBC D．平面平面VBC
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用线面垂直、面面垂直的判定定理逐一判断即可.
【详解】
∵，∴，，又，
∴平面ABC，VA 面VAC,所以平面平面，故A对；
由平面ABC得．
，∴，，
∴平面．又平面，所以平面平面，故B对；
又平面，∴平面⊥平面，故D对，所以C错；
故选：ABD
8．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（ ）
A．在棱上存在点，使平面
B．异面直线与所成的角为90°
C．二面角的大小为45°
D．平面
【答案】ABC
【解析】
【分析】
选项A，取的中点，利用三角形知识得垂直关系，再利用线面垂直的判定定理证明平面；选项B，利用平面，可得；选项C，先作出并证明所求的二面角为，再利用直角三角形知识求解；选项D，利用反证法，假设平面，再证明平面，得到，与与的夹角为矛盾来说明.
【详解】
A选项：如图，取的中点，连接，
∵侧面为正三角形，，
又底面是菱形，，是等边三角形，
又为的中点，
又，，在平面内，且相交于点，
平面，故选项A正确；
B选项：由选项A知，平面，又平面，，
即异面直线与所成的角为90°，故选项B正确；
C选项：∵平面， ，
平面，，，
又平面平面，是二面角的平面角，
设，则，，
在直角中，，即，
故二面角的大小为，故选项C正确；
D选项：因为平面平面，，
所以平面，又平面，所以.
假设平面，则有，又，在平面内，且相交于点，
所以平面，又平面，所以，
而由题可知，与的夹角为，矛盾，故假设不成立，故选项D错误.
故选：ABC.
三、填空题
9．如图所示，在三棱柱中，已知ABCD和为是矩形，平面平面ABCD.若，则直线AB到面的距离为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
取的中点，连接，可证明面，得到直线AB到面的距离即为，根据条件得为直角三角形，即可得的长.
【详解】
取的中点，连接，
因为ABCD和为是矩形，
，又，
面，又面，
，又，
，
，得，又为的中点
，又，
面，
所以直线AB到面的距离即为，
平面平面ABCD，且平面平面ABCD，
面，又面
在中，
故答案为：.
10．已知是平面外的一条直线.给出下列三个论断：
①；②；③.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：______.
【答案】.或
【解析】
【分析】
根据空间直线和平面的判定定理及性质定理推理得出结论.
【详解】
（1）
说明：或
又是平面外的一条直线，，命题正确；
（2）
说明：设，取直线l//m，此时，，但直线l可能平行平面，也可能在平面中
所以命题不正确；
（3）
说明：平面内必存在一条直线与直线l平行，设为n，即，
又 ， 从而得：，所以命题正确.
故答案为：或
第II卷（非选择题）
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四、解答题
11．如图，已知三棱锥P ABC，∠ACB＝90°，D为AB的中点，且是正三角形，PA⊥PC.求证：
(1)PA⊥平面PBC；
(2)平面PAC⊥平面ABC.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意在可说明PA⊥PB，结合PA⊥PC即可证明结论.
（2）由（1）可得PA⊥BC.则可证明BC⊥平面PAC.即可证明结论.
(1)
因为是正三角形，
所以∠BPD＝60°，
因为D是AB的中点，
所以AD＝BD＝PD.
又∠ADP＝120°，所以∠DPA＝30°，
所以∠DPA＋∠BPD＝90°，
所以PA⊥PB.又PA⊥PC，PB∩PC＝P，PB平面PBC，PC平面PBC.
所以PA⊥平面PBC.
(2)
由（1）知PA⊥平面PBC，BC平面PBC
所以PA⊥BC.
因为∠ACB＝90°，
所以AC⊥BC.又PA∩AC＝A，PA平面PAC，AC平面PAC.
所以BC⊥平面PAC.
因为BC 平面ABC，
所以平面PAC⊥平面ABC.
12．如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD.
求证：AD⊥平面PCD.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
利用面面垂直的性质定理证明.
【详解】
证明：在矩形ABCD中，AD⊥CD，
又∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，AD 平面ABCD，
根据面面垂直的性质定理得：AD⊥平面PCD.
13．如图，矩形所在的平面，，分别是，的中点，
(1)求证：平面；
(2)求证：；
(3)若二面角大小为45°，求证：平面平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）取的中点，连结、，证明四边形为平行四边形，可得出，再利用直线与平面平行的判定定理可得出平面；
（2）证明平面，可得出，再由，可得出；
（3）由二面角大小为45°，可得，结合等腰三角形三线合一的思想得出，由（2）中，利用直线与平面垂直的判定定理可证明出平面，再由，可得出平面，而平面，进而可证明平面⊥平面.
(1)
证明：（1）取的中点，连结、，
、分别为、的中点，
且，
又四边形是矩形，则，
为的中点，
且，
，
四边形为平行四边形，
.
平面，平面，
平面；
(2)
平面，平面，
.
四边形为矩形，
，
，、平面，
平面，
平面，
，
由（1）知，，
；
(3)
因为平面，所以，，
所以就是二面角的平面角，即，
因为平面，所以，那么为等腰直角三角形，
因为是的中点，所以，又，所以，
根据（2）的结论，且，所以平面，
又平面，所以平面平面13.2.4平面与平面位置关系（3）面面垂直判定与性质
一、单选题
1．已知平面α，β，γ，则下列命题中正确的是（ ）
A．α⊥β，β⊥γ，则α∥γ
B．α∥β，β⊥γ，则α⊥γ
C．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，β⊥γ，则a⊥b
D．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥α
2．如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
3．如图所示，在斜三棱柱中，，且，过作平面，垂足为，则点在（ ）
A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．内部
4．矩形中，，是线段上的点，将沿折起，得到，使得平面平面，则当，与平面所成角相等时，的长度等于（ ）
A． B．
C． D．
5．下列命题正确的是（ ）
A．平面α内的一条直线a垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
B．若平面α⊥β，则α内的直线垂直于平面β
C．若平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β
D．若直线a与平面α内的无数条直线都垂直，则不能说一定有a⊥α
6．设m，n是不同的直线，，是不同的平面，下列说法正确的是
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，，则
二、多选题
7．（多选）如图所示，在三棱锥中，，下列结论正确的是（ ）
A．平面平面ABC B．平面平面ABC
C．平面平面VBC D．平面平面VBC
8．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（ ）
A．在棱上存在点，使平面
B．异面直线与所成的角为90°
C．二面角的大小为45°
D．平面
三、填空题
9．如图所示，在三棱柱中，已知ABCD和为是矩形，平面平面ABCD.若，则直线AB到面的距离为___________.
10．已知是平面外的一条直线.给出下列三个论断：
①；②；③.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：______.
四、解答题
11．如图，已知三棱锥P ABC，∠ACB＝90°，D为AB的中点，且是正三角形，PA⊥PC.求证：
(1)PA⊥平面PBC；
(2)平面PAC⊥平面ABC.
12．如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD.
求证：AD⊥平面PCD.
13．如图，矩形所在的平面，，分别是，的中点，
(1)求证：平面；
(2)求证：；
(3)若二面角大小为45°，求证：平面平面．
